कैलकुलस उदाहरण

$y = \arccos (\frac{1}{1 + x^{2}})$

चरण 1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \arccos (x)$ और $g (x) = \frac{1}{1 + x^{2}}$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{1}$ को $\frac{1}{1 + x^{2}}$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u_{1}} [\arccos (u_{1})] \frac{d}{d x} [\frac{1}{1 + x^{2}}]$

चरण 1.2

$u_{1}$ के संबंध में $\arccos (u_{1})$ का व्युत्पन्न $- \frac{1}{\sqrt{1 - {u_{1}}^{2}}}$ है.

$- \frac{1}{\sqrt{1 - {u_{1}}^{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{1 + x^{2}}]$

चरण 1.3

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $\frac{1}{1 + x^{2}}$ से बदलें.

$- \frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{1 + x^{2}})}^{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{1 + x^{2}}]$

चरण 2

$\frac{1}{1 + x^{2}}$ को ${(1 + x^{2})}^{- 1}$ के रूप में फिर से लिखें.

$- \frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{1 + x^{2}})}^{2}}} \frac{d}{d x} [{(1 + x^{2})}^{- 1}]$

चरण 3

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{- 1}$ और $g (x) = 1 + x^{2}$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{2}$ को $1 + x^{2}$ के रूप में सेट करें.

$- \frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{1 + x^{2}})}^{2}}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

चरण 3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ $n {u_{2}}^{n - 1}$ है, जहाँ $n = - 1$ है.

$- \frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{1 + x^{2}})}^{2}}} (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

चरण 3.3

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $1 + x^{2}$ से बदलें.

$- \frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{1 + x^{2}})}^{2}}} (- {(1 + x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

चरण 4

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$1 \frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{1 + x^{2}})}^{2}}} ({(1 + x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

चरण 4.2

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{1 + x^{2}})}^{2}}}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{1 + x^{2}})}^{2}}} ({(1 + x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

चरण 4.2.2

${(1 + x^{2})}^{- 2}$ और $\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{1 + x^{2}})}^{2}}}$ को मिलाएं.

$\frac{{(1 + x^{2})}^{- 2}}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{1 + x^{2}})}^{2}}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

चरण 4.2.3

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का उपयोग करके ${(1 + x^{2})}^{- 2}$ को भाजक में ले जाएँ.

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{1 + x^{2}})}^{2}} {(1 + x^{2})}^{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

चरण 4.3

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $1 + x^{2}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ है.

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{1 + x^{2}})}^{2}} {(1 + x^{2})}^{2}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

चरण 4.4

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{1 + x^{2}})}^{2}} {(1 + x^{2})}^{2}} (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

चरण 4.5

$0$ और $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ जोड़ें.

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{1 + x^{2}})}^{2}} {(1 + x^{2})}^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

चरण 4.6

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{1 + x^{2}})}^{2}} {(1 + x^{2})}^{2}} (2 x)$

चरण 4.7

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.7.1

$2$ और $\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{1 + x^{2}})}^{2}} {(1 + x^{2})}^{2}}$ को मिलाएं.

$\frac{2}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{1 + x^{2}})}^{2}} {(1 + x^{2})}^{2}} x$

चरण 4.7.2

$\frac{2}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{1 + x^{2}})}^{2}} {(1 + x^{2})}^{2}}$ और $x$ को मिलाएं.

$\frac{2 x}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{1 + x^{2}})}^{2}} {(1 + x^{2})}^{2}}$

चरण 5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

उत्पाद नियम को $\frac{1}{1 + x^{2}}$ पर लागू करें.

$\frac{2 x}{\sqrt{1 - \frac{1^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}}} {(1 + x^{2})}^{2}}$

चरण 5.2

एक का कोई भी घात एक होता है.

$\frac{2 x}{\sqrt{1 - \frac{1}{{(1 + x^{2})}^{2}}} {(1 + x^{2})}^{2}}$

चरण 5.3

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{2 x}{{(1 + x^{2})}^{2} \sqrt{1 - \frac{1}{{(1 + x^{2})}^{2}}}}$

चरण 5.4

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.1

एक सामान्य भाजक के साथ $1$ को भिन्न के रूप में लिखें.

$\frac{2 x}{{(1 + x^{2})}^{2} \sqrt{\frac{{(1 + x^{2})}^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}} - \frac{1}{{(1 + x^{2})}^{2}}}}$

चरण 5.4.2

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{2 x}{{(1 + x^{2})}^{2} \sqrt{\frac{{(1 + x^{2})}^{2} - 1}{{(1 + x^{2})}^{2}}}}$

चरण 5.4.3

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{2 x}{{(1 + x^{2})}^{2} \sqrt{\frac{{(1 + x^{2})}^{2} - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}}}$

चरण 5.4.4

$\frac{{(1 + x^{2})}^{2} - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ को गुणनखंड रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.4.1

$1$ को $1^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{2 x}{{(1 + x^{2})}^{2} \sqrt{\frac{{(1 + x^{2})}^{2} - 1^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}}}$

चरण 5.4.4.2

चूंकि दोनों पद पूर्ण वर्ग हैं, इसलिए वर्ग सूत्र $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ के अंतर का उपयोग करके गुणनखंड निकालें जहां $a = 1 + x^{2}$ और $b = 1$ .

$\frac{2 x}{{(1 + x^{2})}^{2} \sqrt{\frac{(1 + x^{2} + 1) (1 + x^{2} - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}}}$

चरण 5.4.4.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.4.3.1

$1$ और $1$ जोड़ें.

$\frac{2 x}{{(1 + x^{2})}^{2} \sqrt{\frac{(x^{2} + 2) (1 + x^{2} - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}}}$

चरण 5.4.4.3.2

$1$ में से $1$ घटाएं.

$\frac{2 x}{{(1 + x^{2})}^{2} \sqrt{\frac{(x^{2} + 2) (x^{2} + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}}}$

चरण 5.4.4.3.3

$x^{2}$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{2 x}{{(1 + x^{2})}^{2} \sqrt{\frac{(x^{2} + 2) x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}}}$

चरण 5.4.5

$\frac{(x^{2} + 2) x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ को ${(\frac{x}{x^{2} + 1})}^{2} (x^{2} + 2)$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.5.1

$(x^{2} + 2) x^{2}$ में से पूर्ण घात $x^{2}$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 x}{{(1 + x^{2})}^{2} \sqrt{\frac{x^{2} (x^{2} + 2)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}}}$

चरण 5.4.5.2

${(x^{2} + 1)}^{2}$ में से पूर्ण घात ${(x^{2} + 1)}^{2}$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 x}{{(1 + x^{2})}^{2} \sqrt{\frac{x^{2} (x^{2} + 2)}{{(x^{2} + 1)}^{2} \cdot 1}}}$

चरण 5.4.5.3

भिन्न को पुनर्व्यवस्थित करें $\frac{x^{2} (x^{2} + 2)}{{(x^{2} + 1)}^{2} \cdot 1}$ .

$\frac{2 x}{{(1 + x^{2})}^{2} \sqrt{{(\frac{x}{x^{2} + 1})}^{2} (x^{2} + 2)}}$

चरण 5.4.6

करणी से पदों को बाहर निकालें.

$\frac{2 x}{{(1 + x^{2})}^{2} (\frac{x}{x^{2} + 1} \sqrt{x^{2} + 2})}$

चरण 5.4.7

$\frac{x}{x^{2} + 1}$ और $\sqrt{x^{2} + 2}$ को मिलाएं.

$\frac{2 x}{{(1 + x^{2})}^{2} \frac{x \sqrt{x^{2} + 2}}{x^{2} + 1}}$

चरण 5.5

${(1 + x^{2})}^{2}$ और $\frac{x \sqrt{x^{2} + 2}}{x^{2} + 1}$ को मिलाएं.

$\frac{2 x}{\frac{{(1 + x^{2})}^{2} (x \sqrt{x^{2} + 2})}{x^{2} + 1}}$

चरण 5.6

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.6.1

${(1 + x^{2})}^{2}$ और $x^{2} + 1$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.6.1.1

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{2 x}{\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} x \sqrt{x^{2} + 2}}{x^{2} + 1}}$

चरण 5.6.1.2

${(x^{2} + 1)}^{2} x \sqrt{x^{2} + 2}$ में से $x^{2} + 1$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 x}{\frac{(x^{2} + 1) ((x^{2} + 1) x \sqrt{x^{2} + 2})}{x^{2} + 1}}$

चरण 5.6.1.3

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.6.1.3.1

$1$ से गुणा करें.

$\frac{2 x}{\frac{(x^{2} + 1) ((x^{2} + 1) x \sqrt{x^{2} + 2})}{(x^{2} + 1) \cdot 1}}$

चरण 5.6.1.3.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 x}{\frac{(x^{2} + 1) ((x^{2} + 1) x \sqrt{x^{2} + 2})}{(x^{2} + 1) \cdot 1}}$

चरण 5.6.1.3.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{2 x}{\frac{(x^{2} + 1) x \sqrt{x^{2} + 2}}{1}}$

चरण 5.6.1.3.4

$(x^{2} + 1) x \sqrt{x^{2} + 2}$ को $1$ से विभाजित करें.

$\frac{2 x}{(x^{2} + 1) x \sqrt{x^{2} + 2}}$

चरण 5.6.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{2 x}{(x^{2} x + 1 x) \sqrt{x^{2} + 2}}$

चरण 5.6.3

घातांक जोड़कर $x^{2}$ को $x$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.6.3.1

$x^{2}$ को $x$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.6.3.1.1

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{2 x}{(x^{2} x^{1} + 1 x) \sqrt{x^{2} + 2}}$

चरण 5.6.3.1.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{2 x}{(x^{2 + 1} + 1 x) \sqrt{x^{2} + 2}}$

चरण 5.6.3.2

$2$ और $1$ जोड़ें.

$\frac{2 x}{(x^{3} + 1 x) \sqrt{x^{2} + 2}}$

चरण 5.6.4

$x$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{2 x}{(x^{3} + x) \sqrt{x^{2} + 2}}$

चरण 5.6.5

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{2 x}{x^{3} \sqrt{x^{2} + 2} + x \sqrt{x^{2} + 2}}$

चरण 5.6.6

$x^{3} \sqrt{x^{2} + 2} + x \sqrt{x^{2} + 2}$ में से $x \sqrt{x^{2} + 2}$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.6.6.1

$x^{3} \sqrt{x^{2} + 2}$ में से $x \sqrt{x^{2} + 2}$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 x}{x \sqrt{x^{2} + 2} (x^{2}) + x \sqrt{x^{2} + 2}}$

चरण 5.6.6.2

$x \sqrt{x^{2} + 2}$ में से $x \sqrt{x^{2} + 2}$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 x}{x \sqrt{x^{2} + 2} (x^{2}) + x \sqrt{x^{2} + 2} (1)}$

चरण 5.6.6.3

$x \sqrt{x^{2} + 2} (x^{2}) + x \sqrt{x^{2} + 2} (1)$ में से $x \sqrt{x^{2} + 2}$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 x}{x \sqrt{x^{2} + 2} (x^{2} + 1)}$

चरण 5.7

$x$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.7.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 x}{x \sqrt{x^{2} + 2} (x^{2} + 1)}$

चरण 5.7.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{2}{\sqrt{x^{2} + 2} (x^{2} + 1)}$

चरण 5.8

$\frac{2}{\sqrt{x^{2} + 2} (x^{2} + 1)}$ को $\frac{\sqrt{x^{2} + 2}}{\sqrt{x^{2} + 2}}$ से गुणा करें.

$\frac{2}{\sqrt{x^{2} + 2} (x^{2} + 1)} \cdot \frac{\sqrt{x^{2} + 2}}{\sqrt{x^{2} + 2}}$

चरण 5.9

भाजक को मिलाएं और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.9.1

$\frac{2}{\sqrt{x^{2} + 2} (x^{2} + 1)}$ को $\frac{\sqrt{x^{2} + 2}}{\sqrt{x^{2} + 2}}$ से गुणा करें.

$\frac{2 \sqrt{x^{2} + 2}}{\sqrt{x^{2} + 2} (x^{2} + 1) \sqrt{x^{2} + 2}}$

चरण 5.9.2

$\sqrt{x^{2} + 2}$ ले जाएं.

$\frac{2 \sqrt{x^{2} + 2}}{(x^{2} + 1) (\sqrt{x^{2} + 2} \sqrt{x^{2} + 2})}$

चरण 5.9.3

$\sqrt{x^{2} + 2}$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{2 \sqrt{x^{2} + 2}}{(x^{2} + 1) ({\sqrt{x^{2} + 2}}^{1} \sqrt{x^{2} + 2})}$

चरण 5.9.4

$\sqrt{x^{2} + 2}$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{2 \sqrt{x^{2} + 2}}{(x^{2} + 1) ({\sqrt{x^{2} + 2}}^{1} {\sqrt{x^{2} + 2}}^{1})}$

चरण 5.9.5

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{2 \sqrt{x^{2} + 2}}{(x^{2} + 1) {\sqrt{x^{2} + 2}}^{1 + 1}}$

चरण 5.9.6

$1$ और $1$ जोड़ें.

$\frac{2 \sqrt{x^{2} + 2}}{(x^{2} + 1) {\sqrt{x^{2} + 2}}^{2}}$

चरण 5.9.7

${\sqrt{x^{2} + 2}}^{2}$ को $x^{2} + 2$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.9.7.1

$\sqrt{x^{2} + 2}$ को ${(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$\frac{2 \sqrt{x^{2} + 2}}{(x^{2} + 1) {({(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

चरण 5.9.7.2

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 \sqrt{x^{2} + 2}}{(x^{2} + 1) {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

चरण 5.9.7.3

$\frac{1}{2}$ और $2$ को मिलाएं.

$\frac{2 \sqrt{x^{2} + 2}}{(x^{2} + 1) {(x^{2} + 2)}^{\frac{2}{2}}}$

चरण 5.9.7.4

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.9.7.4.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 \sqrt{x^{2} + 2}}{(x^{2} + 1) {(x^{2} + 2)}^{\frac{2}{2}}}$

चरण 5.9.7.4.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{2 \sqrt{x^{2} + 2}}{(x^{2} + 1) {(x^{2} + 2)}^{1}}$

चरण 5.9.7.5

सरल करें.

$\frac{2 \sqrt{x^{2} + 2}}{(x^{2} + 1) (x^{2} + 2)}$