कैलकुलस उदाहरण

$y = \ln (e^{x} + x e^{x})$

चरण 1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \ln (x)$ और $g (x) = e^{x} + x e^{x}$ है.

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चरण 1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $e^{x} + x e^{x}$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [e^{x} + x e^{x}]$

चरण 1.2

$u$ के संबंध में $\ln (u)$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{u}$ है.

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [e^{x} + x e^{x}]$

चरण 1.3

$u$ की सभी घटनाओं को $e^{x} + x e^{x}$ से बदलें.

$\frac{1}{e^{x} + x e^{x}} \frac{d}{d x} [e^{x} + x e^{x}]$

चरण 2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $e^{x} + x e^{x}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [x e^{x}]$ है.

$\frac{1}{e^{x} + x e^{x}} (\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [x e^{x}])$

चरण 3

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ $a^{x} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$\frac{1}{e^{x} + x e^{x}} (e^{x} + \frac{d}{d x} [x e^{x}])$

चरण 4

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = x$ और $g (x) = e^{x}$ है.

$\frac{1}{e^{x} + x e^{x}} (e^{x} + x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x])$

चरण 5

$\frac{1}{e^{x} + x e^{x}} (e^{x} + x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x])$

चरण 6

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें.

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चरण 6.1

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{1}{e^{x} + x e^{x}} (e^{x} + x e^{x} + e^{x} \cdot 1)$

चरण 6.2

पदों को जोड़कर सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1

$e^{x}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{e^{x} + x e^{x}} (e^{x} + x e^{x} + e^{x})$

चरण 6.2.2

$e^{x}$ और $e^{x}$ जोड़ें.

$\frac{1}{e^{x} + x e^{x}} (x e^{x} + 2 e^{x})$

चरण 7

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

$\frac{1}{e^{x} + x e^{x}} (x e^{x} + 2 e^{x})$ के गुणनखंडों को फिर से क्रमित करें.

$(x e^{x} + 2 e^{x}) \frac{1}{e^{x} + x e^{x}}$

चरण 7.2

$e^{x} + x e^{x}$ में से $e^{x}$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1

$1$ से गुणा करें.

$(x e^{x} + 2 e^{x}) \frac{1}{e^{x} \cdot 1 + x e^{x}}$

चरण 7.2.2

$x e^{x}$ में से $e^{x}$ का गुणनखंड करें.

$(x e^{x} + 2 e^{x}) \frac{1}{e^{x} \cdot 1 + e^{x} x}$

चरण 7.2.3

$e^{x} \cdot 1 + e^{x} x$ में से $e^{x}$ का गुणनखंड करें.

$(x e^{x} + 2 e^{x}) \frac{1}{e^{x} (1 + x)}$

चरण 7.3

$x e^{x} + 2 e^{x}$ को $\frac{1}{e^{x} (1 + x)}$ से गुणा करें.

$\frac{x e^{x} + 2 e^{x}}{e^{x} (1 + x)}$

चरण 7.4

$x e^{x} + 2 e^{x}$ में से $e^{x}$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.4.1

$x e^{x}$ में से $e^{x}$ का गुणनखंड करें.

$\frac{e^{x} x + 2 e^{x}}{e^{x} (1 + x)}$

चरण 7.4.2

$2 e^{x}$ में से $e^{x}$ का गुणनखंड करें.

$\frac{e^{x} x + e^{x} \cdot 2}{e^{x} (1 + x)}$

चरण 7.4.3

$e^{x} x + e^{x} \cdot 2$ में से $e^{x}$ का गुणनखंड करें.

$\frac{e^{x} (x + 2)}{e^{x} (1 + x)}$

चरण 7.5

$e^{x}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.5.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{e^{x} (x + 2)}{e^{x} (1 + x)}$

चरण 7.5.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{x + 2}{1 + x}$