कैलकुलस उदाहरण

$y = \frac{e^{2 x + 3}}{{(4 x - 1)}^{3}}$

चरण 1

भागफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ है, जहाँ $f (x) = e^{2 x + 3}$ और $g (x) = {(4 x - 1)}^{3}$ है.

$\frac{{(4 x - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [e^{2 x + 3}] - e^{2 x + 3} \frac{d}{d x} [{(4 x - 1)}^{3}]}{{({(4 x - 1)}^{3})}^{2}}$

चरण 2

घातांक को ${({(4 x - 1)}^{3})}^{2}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(4 x - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [e^{2 x + 3}] - e^{2 x + 3} \frac{d}{d x} [{(4 x - 1)}^{3}]}{{(4 x - 1)}^{3 \cdot 2}}$

चरण 2.2

$3$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{{(4 x - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [e^{2 x + 3}] - e^{2 x + 3} \frac{d}{d x} [{(4 x - 1)}^{3}]}{{(4 x - 1)}^{6}}$

चरण 3

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = e^{x}$ और $g (x) = 2 x + 3$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{1}$ को $2 x + 3$ के रूप में सेट करें.

$\frac{{(4 x - 1)}^{3} (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [2 x + 3]) - e^{2 x + 3} \frac{d}{d x} [{(4 x - 1)}^{3}]}{{(4 x - 1)}^{6}}$

चरण 3.2

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ $a^{u_{1}} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$\frac{{(4 x - 1)}^{3} (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [2 x + 3]) - e^{2 x + 3} \frac{d}{d x} [{(4 x - 1)}^{3}]}{{(4 x - 1)}^{6}}$

चरण 3.3

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $2 x + 3$ से बदलें.

$\frac{{(4 x - 1)}^{3} (e^{2 x + 3} \frac{d}{d x} [2 x + 3]) - e^{2 x + 3} \frac{d}{d x} [{(4 x - 1)}^{3}]}{{(4 x - 1)}^{6}}$

चरण 4

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $2 x + 3$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3]$ है.

$\frac{{(4 x - 1)}^{3} e^{2 x + 3} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3]) - e^{2 x + 3} \frac{d}{d x} [{(4 x - 1)}^{3}]}{{(4 x - 1)}^{6}}$

चरण 4.2

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$\frac{{(4 x - 1)}^{3} e^{2 x + 3} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]) - e^{2 x + 3} \frac{d}{d x} [{(4 x - 1)}^{3}]}{{(4 x - 1)}^{6}}$

चरण 4.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{{(4 x - 1)}^{3} e^{2 x + 3} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]) - e^{2 x + 3} \frac{d}{d x} [{(4 x - 1)}^{3}]}{{(4 x - 1)}^{6}}$

चरण 4.4

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{{(4 x - 1)}^{3} e^{2 x + 3} (2 + \frac{d}{d x} [3]) - e^{2 x + 3} \frac{d}{d x} [{(4 x - 1)}^{3}]}{{(4 x - 1)}^{6}}$

चरण 4.5

चूंकि $x$ के संबंध में $3$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $3$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{{(4 x - 1)}^{3} e^{2 x + 3} (2 + 0) - e^{2 x + 3} \frac{d}{d x} [{(4 x - 1)}^{3}]}{{(4 x - 1)}^{6}}$

चरण 4.6

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.6.1

$2$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{{(4 x - 1)}^{3} e^{2 x + 3} \cdot 2 - e^{2 x + 3} \frac{d}{d x} [{(4 x - 1)}^{3}]}{{(4 x - 1)}^{6}}$

चरण 4.6.2

$2$ को ${(4 x - 1)}^{3} e^{2 x + 3}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{2 \cdot ({(4 x - 1)}^{3} e^{2 x + 3}) - e^{2 x + 3} \frac{d}{d x} [{(4 x - 1)}^{3}]}{{(4 x - 1)}^{6}}$

चरण 5

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{3}$ और $g (x) = 4 x - 1$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{2}$ को $4 x - 1$ के रूप में सेट करें.

$\frac{2 {(4 x - 1)}^{3} e^{2 x + 3} - e^{2 x + 3} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d x} [4 x - 1])}{{(4 x - 1)}^{6}}$

चरण 5.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ $n {u_{2}}^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 3$ है.

$\frac{2 {(4 x - 1)}^{3} e^{2 x + 3} - e^{2 x + 3} (3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d x} [4 x - 1])}{{(4 x - 1)}^{6}}$

चरण 5.3

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $4 x - 1$ से बदलें.

$\frac{2 {(4 x - 1)}^{3} e^{2 x + 3} - e^{2 x + 3} (3 {(4 x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [4 x - 1])}{{(4 x - 1)}^{6}}$

चरण 6

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

$3$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{2 {(4 x - 1)}^{3} e^{2 x + 3} - 3 e^{2 x + 3} ({(4 x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [4 x - 1])}{{(4 x - 1)}^{6}}$

चरण 6.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $4 x - 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ है.

$\frac{2 {(4 x - 1)}^{3} e^{2 x + 3} - 3 e^{2 x + 3} ({(4 x - 1)}^{2} (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]))}{{(4 x - 1)}^{6}}$

चरण 6.3

चूंकि $4$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $4 x$ का व्युत्पन्न $4 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$\frac{2 {(4 x - 1)}^{3} e^{2 x + 3} - 3 e^{2 x + 3} ({(4 x - 1)}^{2} (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]))}{{(4 x - 1)}^{6}}$

चरण 6.4

$\frac{2 {(4 x - 1)}^{3} e^{2 x + 3} - 3 e^{2 x + 3} ({(4 x - 1)}^{2} (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]))}{{(4 x - 1)}^{6}}$

चरण 6.5

$4$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{2 {(4 x - 1)}^{3} e^{2 x + 3} - 3 e^{2 x + 3} ({(4 x - 1)}^{2} (4 + \frac{d}{d x} [- 1]))}{{(4 x - 1)}^{6}}$

चरण 6.6

चूंकि $x$ के संबंध में $- 1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{2 {(4 x - 1)}^{3} e^{2 x + 3} - 3 e^{2 x + 3} ({(4 x - 1)}^{2} (4 + 0))}{{(4 x - 1)}^{6}}$

चरण 6.7

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.7.1

$4$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{2 {(4 x - 1)}^{3} e^{2 x + 3} - 3 e^{2 x + 3} ({(4 x - 1)}^{2} \cdot 4)}{{(4 x - 1)}^{6}}$

चरण 6.7.2

$4$ को ${(4 x - 1)}^{2}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{2 {(4 x - 1)}^{3} e^{2 x + 3} - 3 e^{2 x + 3} (4 \cdot {(4 x - 1)}^{2})}{{(4 x - 1)}^{6}}$

चरण 6.7.3

$4$ को $- 3$ से गुणा करें.

$\frac{2 {(4 x - 1)}^{3} e^{2 x + 3} - 12 e^{2 x + 3} {(4 x - 1)}^{2}}{{(4 x - 1)}^{6}}$

चरण 7

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1.1

$2 {(4 x - 1)}^{3} e^{2 x + 3} - 12 e^{2 x + 3} {(4 x - 1)}^{2}$ में से $2 {(4 x - 1)}^{2} e^{2 x + 3}$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1.1.1

$2 {(4 x - 1)}^{3} e^{2 x + 3}$ में से $2 {(4 x - 1)}^{2} e^{2 x + 3}$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 {(4 x - 1)}^{2} e^{2 x + 3} (4 x - 1) - 12 e^{2 x + 3} {(4 x - 1)}^{2}}{{(4 x - 1)}^{6}}$

चरण 7.1.1.2

$- 12 e^{2 x + 3} {(4 x - 1)}^{2}$ में से $2 {(4 x - 1)}^{2} e^{2 x + 3}$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 {(4 x - 1)}^{2} e^{2 x + 3} (4 x - 1) + 2 {(4 x - 1)}^{2} e^{2 x + 3} (- 6)}{{(4 x - 1)}^{6}}$

चरण 7.1.1.3

$2 {(4 x - 1)}^{2} e^{2 x + 3} (4 x - 1) + 2 {(4 x - 1)}^{2} e^{2 x + 3} (- 6)$ में से $2 {(4 x - 1)}^{2} e^{2 x + 3}$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 {(4 x - 1)}^{2} e^{2 x + 3} (4 x - 1 - 6)}{{(4 x - 1)}^{6}}$

चरण 7.1.2

$- 1$ में से $6$ घटाएं.

$\frac{2 {(4 x - 1)}^{2} e^{2 x + 3} (4 x - 7)}{{(4 x - 1)}^{6}}$

चरण 7.2

${(4 x - 1)}^{2}$ और ${(4 x - 1)}^{6}$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1

$2 {(4 x - 1)}^{2} e^{2 x + 3} (4 x - 7)$ में से ${(4 x - 1)}^{2}$ का गुणनखंड करें.

$\frac{{(4 x - 1)}^{2} (2 e^{2 x + 3} (4 x - 7))}{{(4 x - 1)}^{6}}$

चरण 7.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.2.1

${(4 x - 1)}^{6}$ में से ${(4 x - 1)}^{2}$ का गुणनखंड करें.

$\frac{{(4 x - 1)}^{2} (2 e^{2 x + 3} (4 x - 7))}{{(4 x - 1)}^{2} {(4 x - 1)}^{4}}$

चरण 7.2.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{{(4 x - 1)}^{2} (2 e^{2 x + 3} (4 x - 7))}{{(4 x - 1)}^{2} {(4 x - 1)}^{4}}$

चरण 7.2.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{2 e^{2 x + 3} (4 x - 7)}{{(4 x - 1)}^{4}}$