कैलकुलस उदाहरण

$y = {(1 + x^{2})}^{\sin (x)}$

चरण 1

विभेदन को सरल बनाने के लिए लघुगणक के गुणों का उपयोग करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

${(1 + x^{2})}^{\sin (x)}$ को $e^{\ln ({(1 + x^{2})}^{\sin (x)})}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{d}{d x} [e^{\ln ({(1 + x^{2})}^{\sin (x)})}]$

चरण 1.2

$\sin (x)$ को लघुगणक के बाहर ले जाकर $\ln ({(1 + x^{2})}^{\sin (x)})$ का प्रसार करें.

$\frac{d}{d x} [e^{\sin (x) \ln (1 + x^{2})}]$

चरण 2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = e^{x}$ और $g (x) = \sin (x) \ln (1 + x^{2})$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{1}$ को $\sin (x) \ln (1 + x^{2})$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [\sin (x) \ln (1 + x^{2})]$

चरण 2.2

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ $a^{u_{1}} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [\sin (x) \ln (1 + x^{2})]$

चरण 2.3

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $\sin (x) \ln (1 + x^{2})$ से बदलें.

$e^{\sin (x) \ln (1 + x^{2})} \frac{d}{d x} [\sin (x) \ln (1 + x^{2})]$

चरण 3

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = \sin (x)$ और $g (x) = \ln (1 + x^{2})$ है.

$e^{\sin (x) \ln (1 + x^{2})} (\sin (x) \frac{d}{d x} [\ln (1 + x^{2})] + \ln (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

चरण 4

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \ln (x)$ और $g (x) = 1 + x^{2}$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{2}$ को $1 + x^{2}$ के रूप में सेट करें.

$e^{\sin (x) \ln (1 + x^{2})} (\sin (x) (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]) + \ln (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

चरण 4.2

$u_{2}$ के संबंध में $\ln (u_{2})$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{u_{2}}$ है.

$e^{\sin (x) \ln (1 + x^{2})} (\sin (x) (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]) + \ln (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

चरण 4.3

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $1 + x^{2}$ से बदलें.

$e^{\sin (x) \ln (1 + x^{2})} (\sin (x) (\frac{1}{1 + x^{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]) + \ln (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

चरण 5

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

$\frac{1}{1 + x^{2}}$ और $\sin (x)$ को मिलाएं.

$e^{\sin (x) \ln (1 + x^{2})} (\frac{\sin (x)}{1 + x^{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}] + \ln (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

चरण 5.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $1 + x^{2}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ है.

$e^{\sin (x) \ln (1 + x^{2})} (\frac{\sin (x)}{1 + x^{2}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \ln (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

चरण 5.3

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$e^{\sin (x) \ln (1 + x^{2})} (\frac{\sin (x)}{1 + x^{2}} (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \ln (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

चरण 5.4

$0$ और $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ जोड़ें.

$e^{\sin (x) \ln (1 + x^{2})} (\frac{\sin (x)}{1 + x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \ln (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

चरण 5.5

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$e^{\sin (x) \ln (1 + x^{2})} (\frac{\sin (x)}{1 + x^{2}} (2 x) + \ln (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

चरण 5.6

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

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चरण 5.6.1

$2$ और $\frac{\sin (x)}{1 + x^{2}}$ को मिलाएं.

$e^{\sin (x) \ln (1 + x^{2})} (\frac{2 \sin (x)}{1 + x^{2}} x + \ln (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

चरण 5.6.2

$\frac{2 \sin (x)}{1 + x^{2}}$ और $x$ को मिलाएं.

$e^{\sin (x) \ln (1 + x^{2})} (\frac{2 \sin (x) x}{1 + x^{2}} + \ln (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

चरण 6

$x$ के संबंध में $\sin (x)$ का व्युत्पन्न $\cos (x)$ है.

$e^{\sin (x) \ln (1 + x^{2})} (\frac{2 \sin (x) x}{1 + x^{2}} + \ln (1 + x^{2}) \cos (x))$

चरण 7

$\ln (1 + x^{2}) \cos (x)$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}}$ से गुणा करें.

$e^{\sin (x) \ln (1 + x^{2})} (\frac{2 \sin (x) x}{1 + x^{2}} + \frac{\ln (1 + x^{2}) \cos (x) (1 + x^{2})}{1 + x^{2}})$

चरण 8

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$e^{\sin (x) \ln (1 + x^{2})} \frac{2 \sin (x) x + \ln (1 + x^{2}) \cos (x) (1 + x^{2})}{1 + x^{2}}$

चरण 9

$e^{\sin (x) \ln (1 + x^{2})}$ और $\frac{2 \sin (x) x + \ln (1 + x^{2}) \cos (x) (1 + x^{2})}{1 + x^{2}}$ को मिलाएं.

$\frac{e^{\sin (x) \ln (1 + x^{2})} (2 \sin (x) x + \ln (1 + x^{2}) \cos (x) (1 + x^{2}))}{1 + x^{2}}$

चरण 10

सरल करें.

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चरण 10.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

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चरण 10.1.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1.1.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{e^{\sin (x) \ln (1 + x^{2})} (2 \sin (x) x + \ln (1 + x^{2}) \cos (x) \cdot 1 + \ln (1 + x^{2}) \cos (x) x^{2})}{1 + x^{2}}$

चरण 10.1.1.2

$\ln (1 + x^{2})$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{e^{\sin (x) \ln (1 + x^{2})} (2 \sin (x) x + \ln (1 + x^{2}) \cos (x) + \ln (1 + x^{2}) \cos (x) x^{2})}{1 + x^{2}}$

चरण 10.1.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{e^{\sin (x) \ln (1 + x^{2})} (2 \sin (x) x) + e^{\sin (x) \ln (1 + x^{2})} (\ln (1 + x^{2}) \cos (x)) + e^{\sin (x) \ln (1 + x^{2})} (\ln (1 + x^{2}) \cos (x) x^{2})}{1 + x^{2}}$

चरण 10.1.3

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$\frac{2 e^{\sin (x) \ln (1 + x^{2})} \sin (x) x + e^{\sin (x) \ln (1 + x^{2})} \ln (1 + x^{2}) \cos (x) + e^{\sin (x) \ln (1 + x^{2})} \ln (1 + x^{2}) \cos (x) x^{2}}{1 + x^{2}}$

चरण 10.1.4

गुणनखंडों को $2 e^{\sin (x) \ln (1 + x^{2})} \sin (x) x + e^{\sin (x) \ln (1 + x^{2})} \ln (1 + x^{2}) \cos (x) + e^{\sin (x) \ln (1 + x^{2})} \ln (1 + x^{2}) \cos (x) x^{2}$ में पुन: क्रमित करें.

$\frac{2 x e^{\sin (x) \ln (1 + x^{2})} \sin (x) + e^{\sin (x) \ln (1 + x^{2})} \ln (1 + x^{2}) \cos (x) + x^{2} e^{\sin (x) \ln (1 + x^{2})} \ln (1 + x^{2}) \cos (x)}{1 + x^{2}}$

चरण 10.2

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{2 e^{\sin (x) \ln (1 + x^{2})} x \sin (x) + e^{\sin (x) \ln (1 + x^{2})} \cos (x) \ln (1 + x^{2}) + e^{\sin (x) \ln (1 + x^{2})} x^{2} \cos (x) \ln (1 + x^{2})}{x^{2} + 1}$