कैलकुलस उदाहरण

$y = x^{\frac{1}{x}}$

चरण 1

समीकरण के दोनों पक्षों का अवकलन करें.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{x}})$

चरण 2

$x$ के संबंध में $y$ का व्युत्पन्न $y'$ है.

$y'$

चरण 3

समीकरण के दाएं पक्ष का अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

विभेदन को सरल बनाने के लिए लघुगणक के गुणों का उपयोग करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.1

$x^{\frac{1}{x}}$ को $e^{\ln (x^{\frac{1}{x}})}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{\frac{1}{x}})}]$

चरण 3.1.2

$\frac{1}{x}$ को लघुगणक के बाहर ले जाकर $\ln (x^{\frac{1}{x}})$ का प्रसार करें.

$\frac{d}{d x} [e^{\frac{1}{x} \ln (x)}]$

चरण 3.2

$\frac{1}{x}$ और $\ln (x)$ को मिलाएं.

$\frac{d}{d x} [e^{\frac{\ln (x)}{x}}]$

चरण 3.3

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = e^{x}$ और $g (x) = \frac{\ln (x)}{x}$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $\frac{\ln (x)}{x}$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\frac{\ln (x)}{x}]$

चरण 3.3.2

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ $a^{u} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$e^{u} \frac{d}{d x} [\frac{\ln (x)}{x}]$

चरण 3.3.3

$u$ की सभी घटनाओं को $\frac{\ln (x)}{x}$ से बदलें.

$e^{\frac{\ln (x)}{x}} \frac{d}{d x} [\frac{\ln (x)}{x}]$

चरण 3.4

भागफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ है, जहाँ $f (x) = \ln (x)$ और $g (x) = x$ है.

$e^{\frac{\ln (x)}{x}} \frac{x \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

चरण 3.5

$x$ के संबंध में $\ln (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{x}$ है.

$e^{\frac{\ln (x)}{x}} \frac{x \frac{1}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

चरण 3.6

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.6.1

$x$ और $\frac{1}{x}$ को मिलाएं.

$e^{\frac{\ln (x)}{x}} \frac{\frac{x}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

चरण 3.6.2

$x$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.6.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$e^{\frac{\ln (x)}{x}} \frac{\frac{x}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

चरण 3.6.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$e^{\frac{\ln (x)}{x}} \frac{1 - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

चरण 3.6.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$e^{\frac{\ln (x)}{x}} \frac{1 - \ln (x) \cdot 1}{x^{2}}$

चरण 3.6.4

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.6.4.1

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$e^{\frac{\ln (x)}{x}} \frac{1 - \ln (x)}{x^{2}}$

चरण 3.6.4.2

$e^{\frac{\ln (x)}{x}}$ और $\frac{1 - \ln (x)}{x^{2}}$ को मिलाएं.

$\frac{e^{\frac{\ln (x)}{x}} (1 - \ln (x))}{x^{2}}$

चरण 3.7

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.7.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{e^{\frac{\ln (x)}{x}} \cdot 1 + e^{\frac{\ln (x)}{x}} (- \ln (x))}{x^{2}}$

चरण 3.7.2

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.7.2.1

$e^{\frac{\ln (x)}{x}}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{e^{\frac{\ln (x)}{x}} + e^{\frac{\ln (x)}{x}} (- \ln (x))}{x^{2}}$

चरण 3.7.2.2

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$\frac{e^{\frac{\ln (x)}{x}} - e^{\frac{\ln (x)}{x}} \ln (x)}{x^{2}}$

चरण 3.7.3

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{- e^{\frac{\ln (x)}{x}} \ln (x) + e^{\frac{\ln (x)}{x}}}{x^{2}}$

चरण 4

बाईं ओर को दाईं ओर के बराबर सेट करके समीकरण को सुधारें.

$y' = \frac{- e^{\frac{\ln (x)}{x}} \ln (x) + e^{\frac{\ln (x)}{x}}}{x^{2}}$

चरण 5

$y'$ को $\frac{d y}{d x}$ से बदलें.

$\frac{d y}{d x} = \frac{- e^{\frac{\ln (x)}{x}} \ln (x) + e^{\frac{\ln (x)}{x}}}{x^{2}}$