कैलकुलस उदाहरण

y = ln ({(x)}^{ln (x)})

$y = \ln ({(x)}^{\ln (x)})$

चरण 1

कोष्ठक हटा दें.

y = ln (x^{ln (x)})

$y = \ln (x^{\ln (x)})$

चरण 2

समीकरण के दोनों पक्षों का अवकलन करें.

\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (ln (x^{ln (x)}))

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\ln (x^{\ln (x)}))$

चरण 3

x

$x$ के संबंध में

y

$y$ का व्युत्पन्न

$y'$ है.

$y'$

चरण 4

समीकरण के दाएं पक्ष का अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि

$\frac{d}{d x} [f (g (x))]$

$f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ

$f (x) = \ln (x)$ और

$g (x) = x^{\ln (x)}$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1

चेन रूल लागू करने के लिए,

$u_{1}$ को

$x^{\ln (x)}$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [x^{\ln (x)}]$

चरण 4.1.2

$u_{1}$ के संबंध में

$\ln (u_{1})$ का व्युत्पन्न

$\frac{1}{u_{1}}$ है.

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [x^{\ln (x)}]$

चरण 4.1.3

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को

$x^{\ln (x)}$ से बदलें.

$\frac{1}{x^{\ln (x)}} \frac{d}{d x} [x^{\ln (x)}]$

चरण 4.2

विभेदन को सरल बनाने के लिए लघुगणक के गुणों का उपयोग करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1

$x^{\ln (x)}$ को

$e^{\ln (x^{\ln (x)})}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{1}{x^{\ln (x)}} \frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{\ln (x)})}]$

चरण 4.2.2

$\ln (x)$ को लघुगणक के बाहर ले जाकर

$\ln (x^{\ln (x)})$ का प्रसार करें.

$\frac{1}{x^{\ln (x)}} \frac{d}{d x} [e^{\ln (x) \ln (x)}]$

चरण 4.3

$\ln (x)$ को

$1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{1}{x^{\ln (x)}} \frac{d}{d x} [e^{\ln^{1} (x) \ln (x)}]$

चरण 4.4

$\ln (x)$ को

$1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{1}{x^{\ln (x)}} \frac{d}{d x} [e^{\ln^{1} (x) \ln^{1} (x)}]$

चरण 4.5

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{1}{x^{\ln (x)}} \frac{d}{d x} [e^{{\ln (x)}^{1 + 1}}]$

चरण 4.6

$1$ और

$1$ जोड़ें.

$\frac{1}{x^{\ln (x)}} \frac{d}{d x} [e^{\ln^{2} (x)}]$

चरण 4.7

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि

$\frac{d}{d x} [f (g (x))]$

$f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ

$f (x) = e^{x}$ और

$g (x) = \ln^{2} (x)$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.7.1

चेन रूल लागू करने के लिए,

$u_{2}$ को

$\ln^{2} (x)$ के रूप में सेट करें.

$\frac{1}{x^{\ln (x)}} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)])$

चरण 4.7.2

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि

$\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$

$a^{u_{2}} \ln (a)$ है, जहाँ

$a$ =

$e$ है.

$\frac{1}{x^{\ln (x)}} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)])$

चरण 4.7.3

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को

$\ln^{2} (x)$ से बदलें.

$\frac{1}{x^{\ln (x)}} (e^{\ln^{2} (x)} \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)])$

चरण 4.8

$e^{\ln^{2} (x)}$ और

$\frac{1}{x^{\ln (x)}}$ को मिलाएं.

$\frac{e^{\ln^{2} (x)}}{x^{\ln (x)}} \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)]$

चरण 4.9

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि

$\frac{d}{d x} [f (g (x))]$

$f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ

$f (x) = x^{2}$ और

$g (x) = \ln (x)$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.9.1

चेन रूल लागू करने के लिए,

$u_{3}$ को

$\ln (x)$ के रूप में सेट करें.

$\frac{e^{\ln^{2} (x)}}{x^{\ln (x)}} (\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{2}] \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

चरण 4.9.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि

$\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{n}]$

$n {u_{3}}^{n - 1}$ है, जहाँ

$n = 2$ है.

$\frac{e^{\ln^{2} (x)}}{x^{\ln (x)}} (2 u_{3} \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

चरण 4.9.3

$u_{3}$ की सभी घटनाओं को

$\ln (x)$ से बदलें.

$\frac{e^{\ln^{2} (x)}}{x^{\ln (x)}} (2 \ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

चरण 4.10

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.10.1

$2$ और

$\frac{e^{\ln^{2} (x)}}{x^{\ln (x)}}$ को मिलाएं.

$\frac{2 e^{\ln^{2} (x)}}{x^{\ln (x)}} (\ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

चरण 4.10.2

$\ln (x)$ और

$\frac{2 e^{\ln^{2} (x)}}{x^{\ln (x)}}$ को मिलाएं.

$\frac{\ln (x) (2 e^{\ln^{2} (x)})}{x^{\ln (x)}} \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

चरण 4.11

$x$ के संबंध में

$\ln (x)$ का व्युत्पन्न

$\frac{1}{x}$ है.

$\frac{\ln (x) (2 e^{\ln^{2} (x)})}{x^{\ln (x)}} \cdot \frac{1}{x}$

चरण 4.12

$\frac{\ln (x) (2 e^{\ln^{2} (x)})}{x^{\ln (x)}}$ को

$\frac{1}{x}$ से गुणा करें.

$\frac{\ln (x) (2 e^{\ln^{2} (x)})}{x^{\ln (x)} x}$

चरण 4.13

$x^{\ln (x)}$ को

$x$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.13.1

$x$ को

$1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{\ln (x) (2 e^{\ln^{2} (x)})}{x^{\ln (x)} x^{1}}$

चरण 4.13.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{\ln (x) (2 e^{\ln^{2} (x)})}{x^{\ln (x) + 1}}$

चरण 4.14

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.14.1

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$\frac{2 \ln (x) e^{\ln^{2} (x)}}{x^{\ln (x) + 1}}$

चरण 4.14.2

$2$ को लघुगणक के अंदर ले जाकर

$2 \ln (x)$ को सरल करें.

$\frac{\ln (x^{2}) e^{\ln^{2} (x)}}{x^{\ln (x) + 1}}$

चरण 4.14.3

गुणनखंडों को

$\ln (x^{2}) e^{\ln^{2} (x)}$ में पुन: क्रमित करें.

$\frac{e^{\ln^{2} (x)} \ln (x^{2})}{x^{\ln (x) + 1}}$

चरण 5

बाईं ओर को दाईं ओर के बराबर सेट करके समीकरण को सुधारें.

$y' = \frac{e^{\ln^{2} (x)} \ln (x^{2})}{x^{\ln (x) + 1}}$

चरण 6

$y'$ को

$\frac{d y}{d x}$ से बदलें.

$\frac{d y}{d x} = \frac{e^{\ln^{2} (x)} \ln (x^{2})}{x^{\ln (x) + 1}}$