कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = \frac{2 e^{x} - 6}{e^{x} + 1}$

चरण 1

पता करें कि व्यंजक/अभिव्यक्ति $\frac{2 e^{x} - 6}{e^{x} + 1}$ कहाँ अपरिभाषित है.

व्यंजक का डोमेन सभी वास्तविक संख्याएँ हैं सिवाय जहाँ व्यंजक अपरिभाषित है. इस स्थिति में, कोई वास्तविक संख्या नहीं है जो व्यंजक को अपरिभाषित बनाती है.

चरण 2

ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी अनंत असंबद्धता वाले क्षेत्रों में पाए जाते हैं.

कोई ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी नहीं

चरण 3

हॉरिजॉन्टल ऐसिम्प्टोट पता करने के लिए $lim_{x \to \infty} \frac{2 e^{x} - 6}{e^{x} + 1}$ का मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

एल 'हॉस्पिटल' का नियम लागू करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.1

न्यूमेरेटर की सीमा और भाजक की सीमा का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.1.1

न्यूमेरेटर की सीमा और भाजक की सीमा लें.

$\frac{lim_{x \to \infty} 2 e^{x} - 6}{lim_{x \to \infty} e^{x} + 1}$

चरण 3.1.1.2

न्यूमेरेटर की सीमा का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.1.2.1

जैसे-जैसे $x$ $\infty$ के करीब पहुंचता है, सीमा पर योग नियम का उपयोग करके सीमा को विभाजित करें.

$\frac{lim_{x \to \infty} 2 e^{x} - lim_{x \to \infty} 6}{lim_{x \to \infty} e^{x} + 1}$

चरण 3.1.1.2.2

चूँकि फलन $e^{x}$ $\infty$ की ओर एप्रोच करता है, इसलिए फलन का धनात्मक स्थिरांक $2$ गुना भी $\infty$ की ओर एप्रोच करता है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.1.2.2.1

सतत एकाधिक $2$ हटाई गई लिमिट पर विचार करें.

$\frac{lim_{x \to \infty} e^{x} - lim_{x \to \infty} 6}{lim_{x \to \infty} e^{x} + 1}$

चरण 3.1.1.2.2.2

चूँकि घातांक $x$ $\infty$ की ओर एप्रोच करता है, इसलिए मान $e^{x}$ $\infty$ की ओर एप्रोच करता है.

$\frac{\infty - lim_{x \to \infty} 6}{lim_{x \to \infty} e^{x} + 1}$

चरण 3.1.1.2.3

सीमा का मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.1.2.3.1

$6$ की सीमा का मान ज्ञात करें जो $x$ के $\infty$ पर पहुँचने पर स्थिर होती है.

$\frac{\infty - 1 \cdot 6}{lim_{x \to \infty} e^{x} + 1}$

चरण 3.1.1.2.3.2

उत्तर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.1.2.3.2.1

$- 1$ को $6$ से गुणा करें.

$\frac{\infty - 6}{lim_{x \to \infty} e^{x} + 1}$

चरण 3.1.1.2.3.2.2

अनंत में कोई संख्या से जोड़ या घटाव करने पर परिणाम एक संख्या अनंत होती है.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{x} + 1}$

चरण 3.1.1.3

भाजक की सीमा का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.1.3.1

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{x} + lim_{x \to \infty} 1}$

चरण 3.1.1.3.2

चूँकि घातांक $x$ $\infty$ की ओर एप्रोच करता है, इसलिए मान $e^{x}$ $\infty$ की ओर एप्रोच करता है.

$\frac{\infty}{\infty + lim_{x \to \infty} 1}$

चरण 3.1.1.3.3

$1$ की सीमा का मान ज्ञात करें जो $x$ के $\infty$ पर पहुँचने पर स्थिर होती है.

$\frac{\infty}{\infty + 1}$

चरण 3.1.1.3.4

अनंत में कोई संख्या से जोड़ या घटाव करने पर परिणाम एक संख्या अनंत होती है.

$\frac{\infty}{\infty}$

चरण 3.1.1.3.5

अनंत से विभाजित अनंत परिणाम अपरिभाषित होता है.

अपरिभाषित

$\frac{\infty}{\infty}$

चरण 3.1.1.4

अनंत से विभाजित अनंत परिणाम अपरिभाषित होता है.

अपरिभाषित

$\frac{\infty}{\infty}$

चरण 3.1.2

चूंकि $\frac{\infty}{\infty}$ अनिश्चित रूप का है, इसलिए L'Hospital' का नियम लागू करें. L'Hospital' के नियम में कहा गया है कि कार्यों के भागफल की सीमा उनके व्युत्पन्न के भागफल की सीमा के बराबर है.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 e^{x} - 6}{e^{x} + 1} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [2 e^{x} - 6]}{\frac{d}{d x} [e^{x} + 1]}$

चरण 3.1.3

न्यूमेरेटर और भाजक का व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.3.1

न्यूमेरेटर और भाजक में अंतर करें.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [2 e^{x} - 6]}{\frac{d}{d x} [e^{x} + 1]}$

चरण 3.1.3.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $2 e^{x} - 6$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [2 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 6]$ है.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [2 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 6]}{\frac{d}{d x} [e^{x} + 1]}$

चरण 3.1.3.3

$\frac{d}{d x} [2 e^{x}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.3.3.1

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 e^{x}$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ है.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 6]}{\frac{d}{d x} [e^{x} + 1]}$

चरण 3.1.3.3.2

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ $a^{x} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 e^{x} + \frac{d}{d x} [- 6]}{\frac{d}{d x} [e^{x} + 1]}$

चरण 3.1.3.4

चूंकि $x$ के संबंध में $- 6$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 6$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 e^{x} + 0}{\frac{d}{d x} [e^{x} + 1]}$

चरण 3.1.3.5

$2 e^{x}$ और $0$ जोड़ें.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 e^{x}}{\frac{d}{d x} [e^{x} + 1]}$

चरण 3.1.3.6

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $e^{x} + 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [1]$ है.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 e^{x}}{\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [1]}$

चरण 3.1.3.7

$lim_{x \to \infty} \frac{2 e^{x}}{e^{x} + \frac{d}{d x} [1]}$

चरण 3.1.3.8

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 e^{x}}{e^{x} + 0}$

चरण 3.1.3.9

$e^{x}$ और $0$ जोड़ें.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 e^{x}}{e^{x}}$

चरण 3.1.4

$e^{x}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.4.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 e^{x}}{e^{x}}$

चरण 3.1.4.2

$2$ को $1$ से विभाजित करें.

$lim_{x \to \infty} 2$

चरण 3.2

$2$ की सीमा का मान ज्ञात करें जो $x$ के $\infty$ पर पहुँचने पर स्थिर होती है.

$2$

चरण 4

हॉरिजॉन्टल ऐसिम्प्टोट पता करने के लिए $lim_{x \to - \infty} \frac{2 e^{x} - 6}{e^{x} + 1}$ का मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

सीमा का मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1

जैसे ही $x$ $- \infty$ की ओर आता है, सीमा भागफल नियम का उपयोग करके सीमा को विभाजित करें.

$\frac{lim_{x \to - \infty} 2 e^{x} - 6}{lim_{x \to - \infty} e^{x} + 1}$

चरण 4.1.2

जैसे-जैसे $x$ $- \infty$ के करीब पहुंचता है, सीमा पर योग नियम का उपयोग करके सीमा को विभाजित करें.

$\frac{lim_{x \to - \infty} 2 e^{x} - lim_{x \to - \infty} 6}{lim_{x \to - \infty} e^{x} + 1}$

चरण 4.1.3

$2$ पद को सीमा से बाभाजक ले जाएं क्योंकि यह $x$ के संबंध में स्थिर है.

$\frac{2 lim_{x \to - \infty} e^{x} - lim_{x \to - \infty} 6}{lim_{x \to - \infty} e^{x} + 1}$

चरण 4.2

चूँकि घातांक $x$ $- \infty$ की ओर एप्रोच करता है, इसलिए मान $e^{x}$ $0$ की ओर एप्रोच करता है.

$\frac{2 \cdot 0 - lim_{x \to - \infty} 6}{lim_{x \to - \infty} e^{x} + 1}$

चरण 4.3

सीमा का मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.1

$6$ की सीमा का मान ज्ञात करें जो $x$ के $- \infty$ पर पहुँचने पर स्थिर होती है.

$\frac{2 \cdot 0 - 1 \cdot 6}{lim_{x \to - \infty} e^{x} + 1}$

चरण 4.3.2

$\frac{2 \cdot 0 - 1 \cdot 6}{lim_{x \to - \infty} e^{x} + lim_{x \to - \infty} 1}$

चरण 4.4

चूँकि घातांक $x$ $- \infty$ की ओर एप्रोच करता है, इसलिए मान $e^{x}$ $0$ की ओर एप्रोच करता है.

$\frac{2 \cdot 0 - 1 \cdot 6}{0 + lim_{x \to - \infty} 1}$

चरण 4.5

सीमा का मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.5.1

$1$ की सीमा का मान ज्ञात करें जो $x$ के $- \infty$ पर पहुँचने पर स्थिर होती है.

$\frac{2 \cdot 0 - 1 \cdot 6}{0 + 1}$

चरण 4.5.2

उत्तर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.5.2.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.5.2.1.1

$2$ को $0$ से गुणा करें.

$\frac{0 - 1 \cdot 6}{0 + 1}$

चरण 4.5.2.1.2

$- 1$ को $6$ से गुणा करें.

$\frac{0 - 6}{0 + 1}$

चरण 4.5.2.1.3

$0$ में से $6$ घटाएं.

$\frac{- 6}{0 + 1}$

चरण 4.5.2.2

$0$ और $1$ जोड़ें.

$\frac{- 6}{1}$

चरण 4.5.2.3

$- 6$ को $1$ से विभाजित करें.

$- 6$

चरण 5

हॉरिजॉन्टल ऐसिम्प्टोट की सूची बनाएंं:

$y = 2, - 6$

चरण 6

कोई तिरछी अनंतस्पर्शी नहीं है क्योंकि न्यूमेरेटर की डिग्री भाजक की डिग्री से कम या उसके बराबर है.

कोई तिरछी अनंतस्पर्शी नहीं

चरण 7

यह सभी अनंतस्पर्शी का सेट है.

कोई ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी नहीं

हॉरिजॉन्टल ऐसिम्प्टोट: $y = 2, - 6$

कोई तिरछी अनंतस्पर्शी नहीं

चरण 8