कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = \frac{2 x}{\sqrt{x^{2} + 7}}$

चरण 1

पता करें कि व्यंजक/अभिव्यक्ति $\frac{2 x \sqrt{x^{2} + 7}}{x^{2} + 7}$ कहाँ अपरिभाषित है.

व्यंजक का डोमेन सभी वास्तविक संख्याएँ हैं सिवाय जहाँ व्यंजक अपरिभाषित है. इस स्थिति में, कोई वास्तविक संख्या नहीं है जो व्यंजक को अपरिभाषित बनाती है.

चरण 2

ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी अनंत असंबद्धता वाले क्षेत्रों में पाए जाते हैं.

कोई ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी नहीं

चरण 3

हॉरिजॉन्टल ऐसिम्प्टोट पता करने के लिए $lim_{x \to \infty} \frac{2 x \sqrt{x^{2} + 7}}{x^{2} + 7}$ का मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

कम करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.1

$\sqrt{x^{2} + 7}$ को ${(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x {(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 7}$

चरण 3.1.2

$2 x {(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}}$ में से $x^{2} + 7$ का गुणनखंड करें.

$lim_{x \to \infty} \frac{(x^{2} + 7) (2 x {(x^{2} + 7)}^{- \frac{1}{2}})}{x^{2} + 7}$

चरण 3.1.3

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.3.1

$1$ से गुणा करें.

$lim_{x \to \infty} \frac{(x^{2} + 7) (2 x {(x^{2} + 7)}^{- \frac{1}{2}})}{(x^{2} + 7) \cdot 1}$

चरण 3.1.3.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$lim_{x \to \infty} \frac{(x^{2} + 7) (2 x {(x^{2} + 7)}^{- \frac{1}{2}})}{(x^{2} + 7) \cdot 1}$

चरण 3.1.3.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x {(x^{2} + 7)}^{- \frac{1}{2}}}{1}$

चरण 3.1.3.4

$2 x {(x^{2} + 7)}^{- \frac{1}{2}}$ को $1$ से विभाजित करें.

$lim_{x \to \infty} 2 x {(x^{2} + 7)}^{- \frac{1}{2}}$

चरण 3.1.4

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का उपयोग करके ${(x^{2} + 7)}^{- \frac{1}{2}}$ को भाजक में ले जाएँ.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{{(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 3.2

$2$ पद को सीमा से बाभाजक ले जाएं क्योंकि यह $x$ के संबंध में स्थिर है.

$2 lim_{x \to \infty} \frac{x}{{(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 3.3

${(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}}$ को $\sqrt{x^{2} + 7}$ के रूप में फिर से लिखें.

$2 lim_{x \to \infty} \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 7}}$

चरण 3.4

न्यूमेरेटर और भाजक को भाजक में $x$ की उच्चतम घात से विभाजित करें, जो कि $x = \sqrt{x^{2}}$ है.

$2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x}}{\sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{7}{x^{2}}}}$

चरण 3.5

सीमा का मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.1

$x$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{7}{x^{2}}}}$

चरण 3.5.2

$x^{2}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{7}{x^{2}}}}$

चरण 3.5.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{7}{x^{2}}}}$

चरण 3.5.3

जैसे ही $x$ $\infty$ की ओर आता है, सीमा भागफल नियम का उपयोग करके सीमा को विभाजित करें.

$2 \frac{lim_{x \to \infty} 1}{lim_{x \to \infty} \sqrt{1 + \frac{7}{x^{2}}}}$

चरण 3.5.4

$1$ की सीमा का मान ज्ञात करें जो $x$ के $\infty$ पर पहुँचने पर स्थिर होती है.

$2 \frac{1}{lim_{x \to \infty} \sqrt{1 + \frac{7}{x^{2}}}}$

चरण 3.5.5

रेडिकल साइन के तहत सीमा को स्थानांतरित करें.

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{7}{x^{2}}}}$

चरण 3.5.6

जैसे-जैसे $x$ $\infty$ के करीब पहुंचता है, सीमा पर योग नियम का उपयोग करके सीमा को विभाजित करें.

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} \frac{7}{x^{2}}}}$

चरण 3.5.7

$1$ की सीमा का मान ज्ञात करें जो $x$ के $\infty$ पर पहुँचने पर स्थिर होती है.

$2 \frac{1}{\sqrt{1 + lim_{x \to \infty} \frac{7}{x^{2}}}}$

चरण 3.5.8

$7$ पद को सीमा से बाभाजक ले जाएं क्योंकि यह $x$ के संबंध में स्थिर है.

$2 \frac{1}{\sqrt{1 + 7 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}}$

चरण 3.6

चूँकि इसका न्यूमेरेटर एक वास्तविक संख्या तक पहुँचता है, जबकि इसका भाजक असीम होता है, इसलिए भिन्न $\frac{1}{x^{2}}$ $0$ के करीब पहुंच जाता है.

$2 \frac{1}{\sqrt{1 + 7 \cdot 0}}$

चरण 3.7

उत्तर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.7.1

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.7.1.1

$7$ को $0$ से गुणा करें.

$2 \frac{1}{\sqrt{1 + 0}}$

चरण 3.7.1.2

$1$ और $0$ जोड़ें.

$2 \frac{1}{\sqrt{1}}$

चरण 3.7.1.3

$1$ का कोई भी मूल $1$ होता है.

$2 (\frac{1}{1})$

चरण 3.7.2

$1$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.7.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$2 (\frac{1}{1})$

चरण 3.7.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$2 \cdot 1$

चरण 3.7.3

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$2$

चरण 4

हॉरिजॉन्टल ऐसिम्प्टोट पता करने के लिए $lim_{x \to - \infty} \frac{2 x \sqrt{x^{2} + 7}}{x^{2} + 7}$ का मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

कम करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 x {(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 7}$

चरण 4.1.2

$2 x {(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}}$ में से $x^{2} + 7$ का गुणनखंड करें.

$lim_{x \to - \infty} \frac{(x^{2} + 7) (2 x {(x^{2} + 7)}^{- \frac{1}{2}})}{x^{2} + 7}$

चरण 4.1.3

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.3.1

$1$ से गुणा करें.

$lim_{x \to - \infty} \frac{(x^{2} + 7) (2 x {(x^{2} + 7)}^{- \frac{1}{2}})}{(x^{2} + 7) \cdot 1}$

चरण 4.1.3.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$lim_{x \to - \infty} \frac{(x^{2} + 7) (2 x {(x^{2} + 7)}^{- \frac{1}{2}})}{(x^{2} + 7) \cdot 1}$

चरण 4.1.3.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 x {(x^{2} + 7)}^{- \frac{1}{2}}}{1}$

चरण 4.1.3.4

$2 x {(x^{2} + 7)}^{- \frac{1}{2}}$ को $1$ से विभाजित करें.

$lim_{x \to - \infty} 2 x {(x^{2} + 7)}^{- \frac{1}{2}}$

चरण 4.1.4

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 x}{{(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 4.2

$2$ पद को सीमा से बाभाजक ले जाएं क्योंकि यह $x$ के संबंध में स्थिर है.

$2 lim_{x \to - \infty} \frac{x}{{(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 4.3

${(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}}$ को $\sqrt{x^{2} + 7}$ के रूप में फिर से लिखें.

$2 lim_{x \to - \infty} \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 7}}$

चरण 4.4

न्यूमेरेटर और भाजक को भाजक में $x$ की उच्चतम घात से विभाजित करें, जो कि $x = - \sqrt{x^{2}}$ है.

$2 lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{x}{x}}{- \sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{7}{x^{2}}}}$

चरण 4.5

सीमा का मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.5.1

$x$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$2 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{- \sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{7}{x^{2}}}}$

चरण 4.5.2

$x^{2}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.5.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$2 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{- \sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{7}{x^{2}}}}$

चरण 4.5.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$2 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{- \sqrt{1 + \frac{7}{x^{2}}}}$

चरण 4.5.3

जैसे ही $x$ $- \infty$ की ओर आता है, सीमा भागफल नियम का उपयोग करके सीमा को विभाजित करें.

$2 \frac{lim_{x \to - \infty} 1}{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{1 + \frac{7}{x^{2}}}}$

चरण 4.5.4

$1$ की सीमा का मान ज्ञात करें जो $x$ के $- \infty$ पर पहुँचने पर स्थिर होती है.

$2 \frac{1}{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{1 + \frac{7}{x^{2}}}}$

चरण 4.5.5

$- 1$ पद को सीमा से बाभाजक ले जाएं क्योंकि यह $x$ के संबंध में स्थिर है.

$2 \frac{1}{- lim_{x \to - \infty} \sqrt{1 + \frac{7}{x^{2}}}}$

चरण 4.5.6

रेडिकल साइन के तहत सीमा को स्थानांतरित करें.

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} 1 + \frac{7}{x^{2}}}}$

चरण 4.5.7

जैसे-जैसे $x$ $- \infty$ के करीब पहुंचता है, सीमा पर योग नियम का उपयोग करके सीमा को विभाजित करें.

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} 1 + lim_{x \to - \infty} \frac{7}{x^{2}}}}$

चरण 4.5.8

$1$ की सीमा का मान ज्ञात करें जो $x$ के $- \infty$ पर पहुँचने पर स्थिर होती है.

$2 \frac{1}{- \sqrt{1 + lim_{x \to - \infty} \frac{7}{x^{2}}}}$

चरण 4.5.9

$7$ पद को सीमा से बाभाजक ले जाएं क्योंकि यह $x$ के संबंध में स्थिर है.

$2 \frac{1}{- \sqrt{1 + 7 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{2}}}}$

चरण 4.6

$2 \frac{1}{- \sqrt{1 + 7 \cdot 0}}$

चरण 4.7

उत्तर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.7.1

$1$ और $- 1$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.7.1.1

$1$ को $- 1 (- 1)$ के रूप में फिर से लिखें.

$2 \frac{- 1 (- 1)}{- \sqrt{1 + 7 \cdot 0}}$

चरण 4.7.1.2

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$2 (- \frac{1}{\sqrt{1 + 7 \cdot 0}})$

चरण 4.7.2

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.7.2.1

$7$ को $0$ से गुणा करें.

$2 (- \frac{1}{\sqrt{1 + 0}})$

चरण 4.7.2.2

$1$ और $0$ जोड़ें.

$2 (- \frac{1}{\sqrt{1}})$

चरण 4.7.2.3

$1$ का कोई भी मूल $1$ होता है.

$2 (- \frac{1}{1})$

चरण 4.7.3

$1$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.7.3.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$2 (- \frac{1}{1})$

चरण 4.7.3.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$2 (- 1 \cdot 1)$

चरण 4.7.4

$2 (- 1 \cdot 1)$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.7.4.1

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$2 \cdot - 1$

चरण 4.7.4.2

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$- 2$

चरण 5

हॉरिजॉन्टल ऐसिम्प्टोट की सूची बनाएंं:

$y = 2, - 2$

चरण 6

तिरछी अनंतस्पर्शी को पता करने के लिए बहुपद भाजन का उपयोग करें. चूँकि इस व्यंजक में एक मूलांक है, इसलिए बहुपद भाजन नहीं किया जा सकता है.

परोक्ष अनंतस्पर्शी नहीं ढूँढ सकता

चरण 7

यह सभी अनंतस्पर्शी का सेट है.

कोई ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी नहीं

हॉरिजॉन्टल ऐसिम्प्टोट: $y = 2, - 2$

परोक्ष अनंतस्पर्शी नहीं ढूँढ सकता

चरण 8