कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = x^{8} {(x - 1)}^{7}$

चरण 1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = x^{8}$ और $g (x) = {(x - 1)}^{7}$ है.

$f' (x) = x^{8} \frac{d}{d x} ({(x - 1)}^{7}) + {(x - 1)}^{7} \frac{d}{d x} (x^{8})$

चरण 1.1.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{7}$ और $g (x) = x - 1$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $x - 1$ के रूप में सेट करें.

$f' (x) = x^{8} (\frac{d}{d u} (u^{7}) \frac{d}{d x} (x - 1)) + {(x - 1)}^{7} \frac{d}{d x} (x^{8})$

चरण 1.1.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 7$ है.

$f' (x) = x^{8} (7 u^{6} \frac{d}{d x} (x - 1)) + {(x - 1)}^{7} \frac{d}{d x} (x^{8})$

चरण 1.1.2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $x - 1$ से बदलें.

$f' (x) = x^{8} (7 {(x - 1)}^{6} \frac{d}{d x} (x - 1)) + {(x - 1)}^{7} \frac{d}{d x} (x^{8})$

चरण 1.1.3

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.3.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x - 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ है.

$f' (x) = x^{8} (7 {(x - 1)}^{6} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 1))) + {(x - 1)}^{7} \frac{d}{d x} (x^{8})$

चरण 1.1.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$f' (x) = x^{8} (7 {(x - 1)}^{6} (1 + \frac{d}{d x} (- 1))) + {(x - 1)}^{7} \frac{d}{d x} (x^{8})$

चरण 1.1.3.3

चूंकि $x$ के संबंध में $- 1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$f' (x) = x^{8} (7 {(x - 1)}^{6} (1 + 0)) + {(x - 1)}^{7} \frac{d}{d x} (x^{8})$

चरण 1.1.3.4

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.3.4.1

$1$ और $0$ जोड़ें.

$f' (x) = x^{8} (7 {(x - 1)}^{6} \cdot 1) + {(x - 1)}^{7} \frac{d}{d x} (x^{8})$

चरण 1.1.3.4.2

$7$ को $1$ से गुणा करें.

$f' (x) = x^{8} (7 {(x - 1)}^{6}) + {(x - 1)}^{7} \frac{d}{d x} (x^{8})$

चरण 1.1.3.5

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 8$ है.

$f' (x) = x^{8} (7 {(x - 1)}^{6}) + {(x - 1)}^{7} (8 x^{7})$

चरण 1.1.3.6

$8$ को ${(x - 1)}^{7}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$f' (x) = x^{8} (7 {(x - 1)}^{6}) + 8 \cdot ({(x - 1)}^{7} x^{7})$

चरण 1.1.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.4.1

$x^{8} (7 {(x - 1)}^{6}) + 8 {(x - 1)}^{7} x^{7}$ में से $x^{7} {(x - 1)}^{6}$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.4.1.1

$x^{8} (7 {(x - 1)}^{6})$ में से $x^{7} {(x - 1)}^{6}$ का गुणनखंड करें.

$f' (x) = x^{7} {(x - 1)}^{6} (x \cdot (7)) + 8 {(x - 1)}^{7} x^{7}$

चरण 1.1.4.1.2

$8 {(x - 1)}^{7} x^{7}$ में से $x^{7} {(x - 1)}^{6}$ का गुणनखंड करें.

$f' (x) = x^{7} {(x - 1)}^{6} (x \cdot (7)) + x^{7} {(x - 1)}^{6} (8 (x - 1))$

चरण 1.1.4.1.3

$x^{7} {(x - 1)}^{6} (x \cdot (7)) + x^{7} {(x - 1)}^{6} (8 (x - 1))$ में से $x^{7} {(x - 1)}^{6}$ का गुणनखंड करें.

$f' (x) = x^{7} {(x - 1)}^{6} (x \cdot (7) + 8 (x - 1))$

चरण 1.1.4.2

$7$ को $x$ के बाईं ओर ले जाएं.

$f' (x) = x^{7} {(x - 1)}^{6} (7 x + 8 (x - 1))$

चरण 1.2

$f (x)$ का पहला व्युत्पन्न बटे $x$ , $x^{7} {(x - 1)}^{6} (7 x + 8 (x - 1))$ है.

$x^{7} {(x - 1)}^{6} (7 x + 8 (x - 1))$

चरण 2

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें, फिर समीकरण $x^{7} {(x - 1)}^{6} (7 x + 8 (x - 1)) = 0$ को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें.

$x^{7} {(x - 1)}^{6} (7 x + 8 (x - 1)) = 0$

चरण 2.2

यदि समीकरण के बांये पक्ष में कोई अकेला गुणनखंड $0$ के बराबर हो, तो सम्पूर्ण व्यंजक $0$ के बराबर होगा.

$x^{7} = 0$

${(x - 1)}^{6} = 0$

$7 x + 8 (x - 1) = 0$

चरण 2.3

$x^{7}$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

$x^{7}$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x^{7} = 0$

चरण 2.3.2

$x$ के लिए $x^{7} = 0$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[7]{0}$

चरण 2.3.2.2

$\sqrt[7]{0}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.2.1

$0$ को $0^{7}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \sqrt[7]{0^{7}}$

चरण 2.3.2.2.2

वास्तविक संख्या मानकर, करणी के अंतर्गत से पदों को बाहर निकालें.

$x = 0$

चरण 2.4

${(x - 1)}^{6}$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.1

${(x - 1)}^{6}$ को $0$ के बराबर सेट करें.

${(x - 1)}^{6} = 0$

चरण 2.4.2

$x$ के लिए ${(x - 1)}^{6} = 0$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.2.1

$x - 1$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x - 1 = 0$

चरण 2.4.2.2

समीकरण के दोनों पक्षों में $1$ जोड़ें.

$x = 1$

चरण 2.5

$7 x + 8 (x - 1)$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.1

$7 x + 8 (x - 1)$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$7 x + 8 (x - 1) = 0$

चरण 2.5.2

$x$ के लिए $7 x + 8 (x - 1) = 0$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.2.1

$7 x + 8 (x - 1)$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.2.1.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.2.1.1.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$7 x + 8 x + 8 \cdot - 1 = 0$

चरण 2.5.2.1.1.2

$8$ को $- 1$ से गुणा करें.

$7 x + 8 x - 8 = 0$

चरण 2.5.2.1.2

$7 x$ और $8 x$ जोड़ें.

$15 x - 8 = 0$

चरण 2.5.2.2

समीकरण के दोनों पक्षों में $8$ जोड़ें.

$15 x = 8$

चरण 2.5.2.3

$15 x = 8$ के प्रत्येक पद को $15$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.2.3.1

$15 x = 8$ के प्रत्येक पद को $15$ से विभाजित करें.

$\frac{15 x}{15} = \frac{8}{15}$

चरण 2.5.2.3.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.2.3.2.1

$15$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.2.3.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{15 x}{15} = \frac{8}{15}$

चरण 2.5.2.3.2.1.2

$x$ को $1$ से विभाजित करें.

$x = \frac{8}{15}$

चरण 2.6

अंतिम हल वो सभी मान हैं जो $x^{7} {(x - 1)}^{6} (7 x + 8 (x - 1)) = 0$ को सिद्ध करते हैं.

$x = 0, 1, \frac{8}{15}$

चरण 3

वे मान ज्ञात करें जहाँ व्युत्पन्न अपरिभाषित है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

व्यंजक का डोमेन सभी वास्तविक संख्याएँ हैं सिवाय जहाँ व्यंजक अपरिभाषित है. इस स्थिति में, कोई वास्तविक संख्या नहीं है जो व्यंजक को अपरिभाषित बनाती है.

चरण 4

प्रत्येक $x$ मान पर $x^{8} {(x - 1)}^{7}$ का मूल्यांकन करें जहां व्युत्पन्न $0$ या अपरिभाषित है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$x = 0$ पर मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1

$0$ को $x$ से प्रतिस्थापित करें.

${(0)}^{8} {((0) - 1)}^{7}$

चरण 4.1.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.2.1

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$0 {((0) - 1)}^{7}$

चरण 4.1.2.2

$0$ में से $1$ घटाएं.

$0 {(- 1)}^{7}$

चरण 4.1.2.3

$- 1$ को $7$ के घात तक बढ़ाएं.

$0 \cdot - 1$

चरण 4.1.2.4

$0$ को $- 1$ से गुणा करें.

$0$

चरण 4.2

$x = 1$ पर मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1

$1$ को $x$ से प्रतिस्थापित करें.

${(1)}^{8} {((1) - 1)}^{7}$

चरण 4.2.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.2.1

एक का कोई भी घात एक होता है.

$1 {((1) - 1)}^{7}$

चरण 4.2.2.2

${((1) - 1)}^{7}$ को $1$ से गुणा करें.

${((1) - 1)}^{7}$

चरण 4.2.2.3

$1$ में से $1$ घटाएं.

$0^{7}$

चरण 4.2.2.4

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$0$

चरण 4.3

$x = \frac{8}{15}$ पर मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.1

$\frac{8}{15}$ को $x$ से प्रतिस्थापित करें.

${(\frac{8}{15})}^{8} {((\frac{8}{15}) - 1)}^{7}$

चरण 4.3.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.2.1

उत्पाद नियम को $\frac{8}{15}$ पर लागू करें.

$\frac{8^{8}}{15^{8}} {((\frac{8}{15}) - 1)}^{7}$

चरण 4.3.2.2

$8$ को $8$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{16777216}{15^{8}} {((\frac{8}{15}) - 1)}^{7}$

चरण 4.3.2.3

$15$ को $8$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{16777216}{2562890625} {((\frac{8}{15}) - 1)}^{7}$

चरण 4.3.2.4

$- 1$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{15}{15}$ से गुणा करें.

$\frac{16777216}{2562890625} {(\frac{8}{15} - 1 \cdot \frac{15}{15})}^{7}$

चरण 4.3.2.5

$- 1$ और $\frac{15}{15}$ को मिलाएं.

$\frac{16777216}{2562890625} {(\frac{8}{15} + \frac{- 1 \cdot 15}{15})}^{7}$

चरण 4.3.2.6

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{16777216}{2562890625} {(\frac{8 - 1 \cdot 15}{15})}^{7}$

चरण 4.3.2.7

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.2.7.1

$- 1$ को $15$ से गुणा करें.

$\frac{16777216}{2562890625} {(\frac{8 - 15}{15})}^{7}$

चरण 4.3.2.7.2

$8$ में से $15$ घटाएं.

$\frac{16777216}{2562890625} {(\frac{- 7}{15})}^{7}$

चरण 4.3.2.8

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\frac{16777216}{2562890625} {(- \frac{7}{15})}^{7}$

चरण 4.3.2.9

घातांक वितरण करने के लिए घात नियम ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ का उपयोग करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.2.9.1

उत्पाद नियम को $- \frac{7}{15}$ पर लागू करें.

$\frac{16777216}{2562890625} ({(- 1)}^{7} {(\frac{7}{15})}^{7})$

चरण 4.3.2.9.2

उत्पाद नियम को $\frac{7}{15}$ पर लागू करें.

$\frac{16777216}{2562890625} ({(- 1)}^{7} \frac{7^{7}}{15^{7}})$

चरण 4.3.2.10

$- 1$ को $7$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{16777216}{2562890625} (- \frac{7^{7}}{15^{7}})$

चरण 4.3.2.11

$7$ को $7$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{16777216}{2562890625} (- \frac{823543}{15^{7}})$

चरण 4.3.2.12

$15$ को $7$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{16777216}{2562890625} (- \frac{823543}{170859375})$

चरण 4.3.2.13

$\frac{16777216}{2562890625} (- \frac{823543}{170859375})$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.2.13.1

$\frac{16777216}{2562890625}$ को $\frac{823543}{170859375}$ से गुणा करें.

$- \frac{16777216 \cdot 823543}{2562890625 \cdot 170859375}$

चरण 4.3.2.13.2

$16777216$ को $823543$ से गुणा करें.

$- \frac{13816758796288}{2562890625 \cdot 170859375}$

चरण 4.3.2.13.3

$2562890625$ को $170859375$ से गुणा करें.

$- \frac{13816758796288}{437893890380859375}$

चरण 4.4

सभी बिंदुओं को सूचीबद्ध करें.

$(0, 0), (1, 0), (\frac{8}{15}, - \frac{13816758796288}{437893890380859375})$

चरण 5