कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = \frac{2 x^{2}}{x^{2} - 1}$

चरण 1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $\frac{2 x^{2}}{x^{2} - 1}$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{x^{2} - 1}]$ है.

$f' (x) = 2 \frac{d}{d x} (\frac{x^{2}}{x^{2} - 1})$

चरण 1.1.2

भागफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ है, जहाँ $f (x) = x^{2}$ और $g (x) = x^{2} - 1$ है.

$f' (x) = 2 (\frac{(x^{2} - 1) \frac{d}{d x} (x^{2}) - x^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)}{{(x^{2} - 1)}^{2}})$

चरण 1.1.3

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.3.1

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$f' (x) = 2 (\frac{(x^{2} - 1) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)}{{(x^{2} - 1)}^{2}})$

चरण 1.1.3.2

$2$ को $x^{2} - 1$ के बाईं ओर ले जाएं.

$f' (x) = 2 (\frac{2 \cdot ((x^{2} - 1) x) - x^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)}{{(x^{2} - 1)}^{2}})$

चरण 1.1.3.3

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{2} - 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ है.

$f' (x) = 2 (\frac{2 (x^{2} - 1) x - x^{2} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 1))}{{(x^{2} - 1)}^{2}})$

चरण 1.1.3.4

$f' (x) = 2 (\frac{2 (x^{2} - 1) x - x^{2} (2 x + \frac{d}{d x} (- 1))}{{(x^{2} - 1)}^{2}})$

चरण 1.1.3.5

चूंकि $x$ के संबंध में $- 1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$f' (x) = 2 (\frac{2 (x^{2} - 1) x - x^{2} (2 x + 0)}{{(x^{2} - 1)}^{2}})$

चरण 1.1.3.6

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.3.6.1

$2 x$ और $0$ जोड़ें.

$f' (x) = 2 (\frac{2 (x^{2} - 1) x - x^{2} (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}})$

चरण 1.1.3.6.2

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$f' (x) = 2 (\frac{2 (x^{2} - 1) x - 2 x^{2} x}{{(x^{2} - 1)}^{2}})$

चरण 1.1.4

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (x) = 2 (\frac{2 (x^{2} - 1) x - 2 (x \cdot x^{2})}{{(x^{2} - 1)}^{2}})$

चरण 1.1.5

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$f' (x) = 2 (\frac{2 (x^{2} - 1) x - 2 x^{1 + 2}}{{(x^{2} - 1)}^{2}})$

चरण 1.1.6

$1$ और $2$ जोड़ें.

$f' (x) = 2 (\frac{2 (x^{2} - 1) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 1)}^{2}})$

चरण 1.1.7

$2$ और $\frac{2 (x^{2} - 1) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$ को मिलाएं.

$f' (x) = \frac{2 (2 (x^{2} - 1) x - 2 x^{3})}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

चरण 1.1.8

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.8.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$f' (x) = \frac{2 ((2 x^{2} + 2 \cdot - 1) x - 2 x^{3})}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

चरण 1.1.8.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$f' (x) = \frac{2 (2 x^{2} x + 2 \cdot (- 1 x) - 2 x^{3})}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

चरण 1.1.8.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$f' (x) = \frac{2 (2 x^{2} x) + 2 (2 \cdot (- 1 x)) + 2 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

चरण 1.1.8.4

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.8.4.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.8.4.1.1

घातांक जोड़कर $x^{2}$ को $x$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.8.4.1.1.1

$x$ ले जाएं.

$f' (x) = \frac{2 (2 (x \cdot x^{2})) + 2 (2 \cdot (- 1 x)) + 2 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

चरण 1.1.8.4.1.1.2

$x$ को $x^{2}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.8.4.1.1.2.1

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (x) = \frac{2 (2 (x \cdot x^{2})) + 2 (2 \cdot (- 1 x)) + 2 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

चरण 1.1.8.4.1.1.2.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$f' (x) = \frac{2 (2 x^{1 + 2}) + 2 (2 \cdot (- 1 x)) + 2 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

चरण 1.1.8.4.1.1.3

$1$ और $2$ जोड़ें.

$f' (x) = \frac{2 (2 x^{3}) + 2 (2 \cdot (- 1 x)) + 2 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

चरण 1.1.8.4.1.2

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$f' (x) = \frac{4 x^{3} + 2 (2 \cdot (- 1 x)) + 2 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

चरण 1.1.8.4.1.3

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$f' (x) = \frac{4 x^{3} + 2 (- 2 x) + 2 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

चरण 1.1.8.4.1.4

$- 2$ को $2$ से गुणा करें.

$f' (x) = \frac{4 x^{3} - 4 x + 2 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

चरण 1.1.8.4.1.5

$- 2$ को $2$ से गुणा करें.

$f' (x) = \frac{4 x^{3} - 4 x - 4 x^{3}}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

चरण 1.1.8.4.2

$4 x^{3} - 4 x - 4 x^{3}$ में विपरीत पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.8.4.2.1

$4 x^{3}$ में से $4 x^{3}$ घटाएं.

$f' (x) = \frac{- 4 x + 0}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

चरण 1.1.8.4.2.2

$- 4 x$ और $0$ जोड़ें.

$f' (x) = \frac{- 4 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

चरण 1.1.8.5

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$f' (x) = - \frac{4 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

चरण 1.1.8.6

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.8.6.1

$1$ को $1^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$f' (x) = - \frac{4 x}{{(x^{2} - 1^{2})}^{2}}$

चरण 1.1.8.6.2

चूंकि दोनों पद पूर्ण वर्ग हैं, इसलिए वर्ग सूत्र $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ के अंतर का उपयोग करके गुणनखंड निकालें जहां $a = x$ और $b = 1$ .

$f' (x) = - \frac{4 x}{{((x + 1) (x - 1))}^{2}}$

चरण 1.1.8.6.3

उत्पाद नियम को $(x + 1) (x - 1)$ पर लागू करें.

$f' (x) = - \frac{4 x}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

चरण 1.2

$f (x)$ का पहला व्युत्पन्न बटे $x$ , $- \frac{4 x}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$ है.

$- \frac{4 x}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

चरण 2

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें, फिर समीकरण $- \frac{4 x}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}} = 0$ को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें.

$- \frac{4 x}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}} = 0$

चरण 2.2

न्यूमेरेटर को शून्य के बराबर सेट करें.

$4 x = 0$

चरण 2.3

$4 x = 0$ के प्रत्येक पद को $4$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

$4 x = 0$ के प्रत्येक पद को $4$ से विभाजित करें.

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

चरण 2.3.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.1

$4$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

चरण 2.3.2.1.2

$x$ को $1$ से विभाजित करें.

$x = \frac{0}{4}$

चरण 2.3.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.3.1

$0$ को $4$ से विभाजित करें.

$x = 0$

चरण 3

वे मान ज्ञात करें जहाँ व्युत्पन्न अपरिभाषित है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$\frac{4 x}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$ में भाजक को $0$ के बराबर सेट करें ताकि यह पता लगाया जा सके कि व्यंजक कहां अपरिभाषित है.

${(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} = 0$

चरण 3.2

$x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

यदि समीकरण के बांये पक्ष में कोई अकेला गुणनखंड $0$ के बराबर हो, तो सम्पूर्ण व्यंजक $0$ के बराबर होगा.

${(x + 1)}^{2} = 0$

${(x - 1)}^{2} = 0$

चरण 3.2.2

${(x + 1)}^{2}$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.2.1

${(x + 1)}^{2}$ को $0$ के बराबर सेट करें.

${(x + 1)}^{2} = 0$

चरण 3.2.2.2

$x$ के लिए ${(x + 1)}^{2} = 0$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.2.2.1

$x + 1$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x + 1 = 0$

चरण 3.2.2.2.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $1$ घटाएं.

$x = - 1$

चरण 3.2.3

${(x - 1)}^{2}$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.3.1

${(x - 1)}^{2}$ को $0$ के बराबर सेट करें.

${(x - 1)}^{2} = 0$

चरण 3.2.3.2

$x$ के लिए ${(x - 1)}^{2} = 0$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.3.2.1

$x - 1$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x - 1 = 0$

चरण 3.2.3.2.2

समीकरण के दोनों पक्षों में $1$ जोड़ें.

$x = 1$

चरण 3.2.4

अंतिम हल वो सभी मान हैं जो ${(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} = 0$ को सिद्ध करते हैं.

$x = - 1, 1$

चरण 3.3

समीकरण अपरिभाषित है जहाँ भाजक $0$ के बराबर है, एक वर्गमूल का तर्क $0$ से कम है या एक लघुगणक का तर्क $0$ से कम या उसके बराबर है.

$x = - 1, x = 1$

चरण 4

प्रत्येक $x$ मान पर $\frac{2 x^{2}}{x^{2} - 1}$ का मूल्यांकन करें जहां व्युत्पन्न $0$ या अपरिभाषित है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$x = 0$ पर मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1

$0$ को $x$ से प्रतिस्थापित करें.

$\frac{2 {(0)}^{2}}{{(0)}^{2} - 1}$

चरण 4.1.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.2.1

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$\frac{2 \cdot 0}{0^{2} - 1}$

चरण 4.1.2.2

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.2.2.1

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$\frac{2 \cdot 0}{0 - 1}$

चरण 4.1.2.2.2

$0$ में से $1$ घटाएं.

$\frac{2 \cdot 0}{- 1}$

चरण 4.1.2.3

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.2.3.1

$2$ को $0$ से गुणा करें.

$\frac{0}{- 1}$

चरण 4.1.2.3.2

$0$ को $- 1$ से विभाजित करें.

$0$

चरण 4.2

$x = - 1$ पर मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1

$- 1$ को $x$ से प्रतिस्थापित करें.

$\frac{2 {(- 1)}^{2}}{{(- 1)}^{2} - 1}$

चरण 4.2.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.2.1

$- 1$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{2 {(- 1)}^{2}}{1 - 1}$

चरण 4.2.2.2

$1$ में से $1$ घटाएं.

$\frac{2 {(- 1)}^{2}}{0}$

चरण 4.2.2.3

व्यंजक में $0$ से एक भाग होता है. व्यंजक अपरिभाषित है.

अपरिभाषित

चरण 4.3

$x = 1$ पर मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.1

$1$ को $x$ से प्रतिस्थापित करें.

$\frac{2 {(1)}^{2}}{{(1)}^{2} - 1}$

चरण 4.3.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.2.1

एक का कोई भी घात एक होता है.

$\frac{2 {(1)}^{2}}{1 - 1}$

चरण 4.3.2.2

$1$ में से $1$ घटाएं.

$\frac{2 {(1)}^{2}}{0}$

चरण 4.3.2.3

व्यंजक में $0$ से एक भाग होता है. व्यंजक अपरिभाषित है.

अपरिभाषित

चरण 4.4

सभी बिंदुओं को सूचीबद्ध करें.

$(0, 0)$

चरण 5