कैलकुलस उदाहरण

$y^{2} = x^{3} + 3 x^{2}$

चरण 1

Solve the equation as $y$ in terms of $x$ .

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

बाईं ओर के घातांक को समाप्त करने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों का निर्दिष्ट मूल लें I

$y = \pm \sqrt{x^{3} + 3 x^{2}}$

चरण 1.2

$\pm \sqrt{x^{3} + 3 x^{2}}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

$x^{3} + 3 x^{2}$ में से $x^{2}$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1.1

$x^{3}$ में से $x^{2}$ का गुणनखंड करें.

$y = \pm \sqrt{x^{2} x + 3 x^{2}}$

चरण 1.2.1.2

$3 x^{2}$ में से $x^{2}$ का गुणनखंड करें.

$y = \pm \sqrt{x^{2} x + x^{2} \cdot 3}$

चरण 1.2.1.3

$x^{2} x + x^{2} \cdot 3$ में से $x^{2}$ का गुणनखंड करें.

$y = \pm \sqrt{x^{2} (x + 3)}$

चरण 1.2.2

करणी से पदों को बाहर निकालें.

$y = \pm x \sqrt{x + 3}$

चरण 1.3

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

सबसे पहले, पहला समाधान पता करने के लिए $\pm$ के धनात्मक मान का उपयोग करें.

$y = x \sqrt{x + 3}$

चरण 1.3.2

इसके बाद, दूसरा हल ज्ञात करने के लिए $\pm$ के ऋणात्मक मान का उपयोग करें.

$y = - x \sqrt{x + 3}$

चरण 1.3.3

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

$y = x \sqrt{x + 3}$

$y = - x \sqrt{x + 3}$

$y = x \sqrt{x + 3}$

$y = - x \sqrt{x + 3}$

$y = x \sqrt{x + 3}$

$y = - x \sqrt{x + 3}$

चरण 2

Set each solution of $y$ as a function of $x$ .

$y = x \sqrt{x + 3} \to f (x) = x \sqrt{x + 3}$

$y = - x \sqrt{x + 3} \to f (x) = - x \sqrt{x + 3}$

चरण 3

Because the $y$ variable in the equation $y^{2} = x^{3} + 3 x^{2}$ has a degree greater than $1$ , use implicit differentiation to solve for the derivative $\frac{d y}{d x}$ .

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

समीकरण के दोनों पक्षों का अवकलन करें.

$\frac{d}{d x} (y^{2}) = \frac{d}{d x} (x^{3} + 3 x^{2})$

चरण 3.2

समीकरण के बाएँ पक्ष का अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{2}$ और $g (x) = y$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $y$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

चरण 3.2.1.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$2 u \frac{d}{d x} [y]$

चरण 3.2.1.3

$u$ की सभी घटनाओं को $y$ से बदलें.

$2 y \frac{d}{d x} [y]$

चरण 3.2.2

$\frac{d}{d x} [y]$ को $y'$ के रूप में फिर से लिखें.

$2 y y'$

चरण 3.3

समीकरण के दाएं पक्ष का अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{3} + 3 x^{2}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ है.

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

चरण 3.3.1.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 3$ है.

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

चरण 3.3.2

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.2.1

चूंकि $3$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $3 x^{2}$ का व्युत्पन्न $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ है.

$3 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

चरण 3.3.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$3 x^{2} + 3 (2 x)$

चरण 3.3.2.3

$2$ को $3$ से गुणा करें.

$3 x^{2} + 6 x$

चरण 3.4

बाईं ओर को दाईं ओर के बराबर सेट करके समीकरण को सुधारें.

$2 y y' = 3 x^{2} + 6 x$

चरण 3.5

$2 y y' = 3 x^{2} + 6 x$ के प्रत्येक पद को $2 y$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.1

$2 y y' = 3 x^{2} + 6 x$ के प्रत्येक पद को $2 y$ से विभाजित करें.

$\frac{2 y y'}{2 y} = \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{6 x}{2 y}$

चरण 3.5.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.2.1

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 y y'}{2 y} = \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{6 x}{2 y}$

चरण 3.5.2.1.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{y y'}{y} = \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{6 x}{2 y}$

चरण 3.5.2.2

$y$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.2.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{y y'}{y} = \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{6 x}{2 y}$

चरण 3.5.2.2.2

$y'$ को $1$ से विभाजित करें.

$y' = \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{6 x}{2 y}$

चरण 3.5.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.3.1

$6$ और $2$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.3.1.1

$6 x$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$y' = \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{2 (3 x)}{2 y}$

चरण 3.5.3.1.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.3.1.2.1

$2 y$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$y' = \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{2 (3 x)}{2 (y)}$

चरण 3.5.3.1.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$y' = \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{2 (3 x)}{2 y}$

चरण 3.5.3.1.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$y' = \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{3 x}{y}$

चरण 3.6

$y'$ को $\frac{d y}{d x}$ से बदलें.

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{3 x}{y}$

चरण 4

व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें, फिर समीकरण $\frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{3 x}{y} = 0$ को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

समीकरण के पदों का LCD पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1

मान की एक सूची के LCD को पता करना उन मान के भाजक के LCM को पता करने के समान है.

$2 y, y, 1$

चरण 4.1.2

चूँकि $2 y, y, 1$ में संख्याएँ और चर दोनों शामिल हैं, LCM को खोजने के लिए दो चरण हैं. संख्यात्मक भाग $2, 1, 1$ के लिए LCM खोजें फिर चर भाग $y^{1}, y^{1}$ के लिए LCM पता करें.

चरण 4.1.3

LCM (लघुत्तम समापवर्तक) सबसे छोटी धनात्मक संख्या है जिसे सभी संख्याएँ समान रूप से विभाजित करती हैं.

1. प्रत्येक संख्या के अभाज्य गुणनखंडों की सूची बनाइए.

2. प्रत्येक गुणनखंड को किसी भी संख्या में जितनी बार आता है उतनी बार गुणा करें.

चरण 4.1.4

चूंकि $2$ का $1$ और $2$ के अलावा कोई गुणनखंड नहीं है.

$2$ एक अभाज्य संख्या है

चरण 4.1.5

संख्या $1$ एक अभाज्य संख्या नहीं है क्योंकि इसका केवल एक धनात्मक गुणनखंड है, जो स्वयं है.

अभाज्य संख्या नहीं

चरण 4.1.6

$2, 1, 1$ का LCM (लघुत्तम समापवर्तक) सभी अभाज्य गुणन खंड में से किसी एक संख्या में आने वाली सबसे बड़ी संख्या को गुणा करने का परिणाम है.

$2$

चरण 4.1.7

$y^{1}$ का गुणनखंड $y$ ही है.

$y^{1} = y$

$y$ $1$ बार आता है.

चरण 4.1.8

$y^{1}, y^{1}$ का LCM (न्यूनतम सामान्य गुणक) सभी अभाज्य गुणन खंडों को किसी भी पद में जितनी बार वे आते हैं, गुणा करने का परिणाम है.

$y$

चरण 4.1.9

$2 y, y, 1$ के लिए LCM (लघुत्तम समापवर्तक) संख्यात्मक भाग $2$ को चर भाग से गुणा किया जाता है.

$2 y$

चरण 4.2

भिन्नों को हटाने के लिए $\frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{3 x}{y} = 0$ के प्रत्येक पद को $2 y$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1

$\frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{3 x}{y} = 0$ के प्रत्येक पद को $2 y$ से गुणा करें.

$\frac{3 x^{2}}{2 y} (2 y) + \frac{3 x}{y} (2 y) = 0 (2 y)$

चरण 4.2.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.2.1.1

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$2 \frac{3 x^{2}}{2 y} y + \frac{3 x}{y} (2 y) = 0 (2 y)$

चरण 4.2.2.1.2

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.2.1.2.1

$2 y$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$2 \frac{3 x^{2}}{2 (y)} y + \frac{3 x}{y} (2 y) = 0 (2 y)$

चरण 4.2.2.1.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$2 \frac{3 x^{2}}{2 y} y + \frac{3 x}{y} (2 y) = 0 (2 y)$

चरण 4.2.2.1.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{3 x^{2}}{y} y + \frac{3 x}{y} (2 y) = 0 (2 y)$

चरण 4.2.2.1.3

$y$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.2.1.3.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{3 x^{2}}{y} y + \frac{3 x}{y} (2 y) = 0 (2 y)$

चरण 4.2.2.1.3.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$3 x^{2} + \frac{3 x}{y} (2 y) = 0 (2 y)$

चरण 4.2.2.1.4

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$3 x^{2} + 2 \frac{3 x}{y} y = 0 (2 y)$

चरण 4.2.2.1.5

$2 \frac{3 x}{y}$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.2.1.5.1

$2$ और $\frac{3 x}{y}$ को मिलाएं.

$3 x^{2} + \frac{2 (3 x)}{y} y = 0 (2 y)$

चरण 4.2.2.1.5.2

$3$ को $2$ से गुणा करें.

$3 x^{2} + \frac{6 x}{y} y = 0 (2 y)$

चरण 4.2.2.1.6

$y$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.2.1.6.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$3 x^{2} + \frac{6 x}{y} y = 0 (2 y)$

चरण 4.2.2.1.6.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$3 x^{2} + 6 x = 0 (2 y)$

चरण 4.2.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.3.1

$0 (2 y)$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.3.1.1

$2$ को $0$ से गुणा करें.

$3 x^{2} + 6 x = 0 y$

चरण 4.2.3.1.2

$0$ को $y$ से गुणा करें.

$3 x^{2} + 6 x = 0$

चरण 4.3

समीकरण को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.1

$3 x^{2} + 6 x$ में से $3 x$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.1.1

$3 x^{2}$ में से $3 x$ का गुणनखंड करें.

$3 x (x) + 6 x = 0$

चरण 4.3.1.2

$6 x$ में से $3 x$ का गुणनखंड करें.

$3 x (x) + 3 x (2) = 0$

चरण 4.3.1.3

$3 x (x) + 3 x (2)$ में से $3 x$ का गुणनखंड करें.

$3 x (x + 2) = 0$

चरण 4.3.2

यदि समीकरण के बांये पक्ष में कोई अकेला गुणनखंड $0$ के बराबर हो, तो सम्पूर्ण व्यंजक $0$ के बराबर होगा.

$x = 0$

$x + 2 = 0$

चरण 4.3.3

$x$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x = 0$

चरण 4.3.4

$x + 2$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.4.1

$x + 2$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x + 2 = 0$

चरण 4.3.4.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $2$ घटाएं.

$x = - 2$

चरण 4.3.5

अंतिम हल वो सभी मान हैं जो $3 x (x + 2) = 0$ को सिद्ध करते हैं.

$x = 0, - 2$

चरण 5

Solve the function $f (x) = x \sqrt{x + 3}$ at $x = 0$ .

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

व्यंजक में चर $x$ को $0$ से बदलें.

$f (0) = (0) \sqrt{(0) + 3}$

चरण 5.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

$0$ और $3$ जोड़ें.

$f (0) = 0 \sqrt{3}$

चरण 5.2.2

$0$ को $\sqrt{3}$ से गुणा करें.

$f (0) = 0$

चरण 5.2.3

अंतिम उत्तर $0$ है.

$0$

चरण 6

Solve the function $f (x) = x \sqrt{x + 3}$ at $x = - 2$ .

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

व्यंजक में चर $x$ को $- 2$ से बदलें.

$f (- 2) = (- 2) \sqrt{(- 2) + 3}$

चरण 6.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1

$- 2$ और $3$ जोड़ें.

$f (- 2) = - 2 \sqrt{1}$

चरण 6.2.2

$1$ का कोई भी मूल $1$ होता है.

$f (- 2) = - 2 \cdot 1$

चरण 6.2.3

$- 2$ को $1$ से गुणा करें.

$f (- 2) = - 2$

चरण 6.2.4

अंतिम उत्तर $- 2$ है.

$- 2$

चरण 7

Solve the function $f (x) = - x \sqrt{x + 3}$ at $x = - 2$ .

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

व्यंजक में चर $x$ को $- 2$ से बदलें.

$f (- 2) = 2 \sqrt{(- 2) + 3}$

चरण 7.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1

$- 2$ और $3$ जोड़ें.

$f (- 2) = 2 \sqrt{1}$

चरण 7.2.2

$1$ का कोई भी मूल $1$ होता है.

$f (- 2) = 2 \cdot 1$

चरण 7.2.3

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$f (- 2) = 2$

चरण 7.2.4

अंतिम उत्तर $2$ है.

$2$

चरण 8

The horizontal tangent lines are $y = 0, y = 0, y = - 2, y = 2$

$y = 0, y = 0, y = - 2, y = 2$

चरण 9