कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = (x - 1) (x^{2} - 8 x + 7)$

चरण 1

व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = x - 1$ और $g (x) = x^{2} - 8 x + 7$ है.

$(x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x + 7] + (x^{2} - 8 x + 7) \frac{d}{d x} [x - 1]$

चरण 1.2

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{2} - 8 x + 7$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [7]$ है.

$(x - 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [7]) + (x^{2} - 8 x + 7) \frac{d}{d x} [x - 1]$

चरण 1.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$(x - 1) (2 x + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [7]) + (x^{2} - 8 x + 7) \frac{d}{d x} [x - 1]$

चरण 1.2.3

चूंकि $- 8$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 8 x$ का व्युत्पन्न $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$(x - 1) (2 x - 8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7]) + (x^{2} - 8 x + 7) \frac{d}{d x} [x - 1]$

चरण 1.2.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$(x - 1) (2 x - 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [7]) + (x^{2} - 8 x + 7) \frac{d}{d x} [x - 1]$

चरण 1.2.5

$- 8$ को $1$ से गुणा करें.

$(x - 1) (2 x - 8 + \frac{d}{d x} [7]) + (x^{2} - 8 x + 7) \frac{d}{d x} [x - 1]$

चरण 1.2.6

चूंकि $x$ के संबंध में $7$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $7$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$(x - 1) (2 x - 8 + 0) + (x^{2} - 8 x + 7) \frac{d}{d x} [x - 1]$

चरण 1.2.7

$2 x - 8$ और $0$ जोड़ें.

$(x - 1) (2 x - 8) + (x^{2} - 8 x + 7) \frac{d}{d x} [x - 1]$

चरण 1.2.8

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x - 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ है.

$(x - 1) (2 x - 8) + (x^{2} - 8 x + 7) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

चरण 1.2.9

$(x - 1) (2 x - 8) + (x^{2} - 8 x + 7) (1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

चरण 1.2.10

चूंकि $x$ के संबंध में $- 1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$(x - 1) (2 x - 8) + (x^{2} - 8 x + 7) (1 + 0)$

चरण 1.2.11

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.11.1

$1$ और $0$ जोड़ें.

$(x - 1) (2 x - 8) + (x^{2} - 8 x + 7) \cdot 1$

चरण 1.2.11.2

$x^{2} - 8 x + 7$ को $1$ से गुणा करें.

$(x - 1) (2 x - 8) + x^{2} - 8 x + 7$

चरण 1.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$(x - 1) (2 x) + (x - 1) \cdot - 8 + x^{2} - 8 x + 7$

चरण 1.3.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$x (2 x) - 1 (2 x) + (x - 1) \cdot - 8 + x^{2} - 8 x + 7$

चरण 1.3.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$x (2 x) - 1 (2 x) + x \cdot - 8 - 1 \cdot - 8 + x^{2} - 8 x + 7$

चरण 1.3.4

पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.4.1

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$2 (x^{1} x) - 1 (2 x) + x \cdot - 8 - 1 \cdot - 8 + x^{2} - 8 x + 7$

चरण 1.3.4.2

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$2 (x^{1} x^{1}) - 1 (2 x) + x \cdot - 8 - 1 \cdot - 8 + x^{2} - 8 x + 7$

चरण 1.3.4.3

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$2 x^{1 + 1} - 1 (2 x) + x \cdot - 8 - 1 \cdot - 8 + x^{2} - 8 x + 7$

चरण 1.3.4.4

$1$ और $1$ जोड़ें.

$2 x^{2} - 1 (2 x) + x \cdot - 8 - 1 \cdot - 8 + x^{2} - 8 x + 7$

चरण 1.3.4.5

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$2 x^{2} - 2 x + x \cdot - 8 - 1 \cdot - 8 + x^{2} - 8 x + 7$

चरण 1.3.4.6

$- 8$ को $x$ के बाईं ओर ले जाएं.

$2 x^{2} - 2 x - 8 \cdot x - 1 \cdot - 8 + x^{2} - 8 x + 7$

चरण 1.3.4.7

$- 1$ को $- 8$ से गुणा करें.

$2 x^{2} - 2 x - 8 x + 8 + x^{2} - 8 x + 7$

चरण 1.3.4.8

$- 2 x$ में से $8 x$ घटाएं.

$2 x^{2} - 10 x + 8 + x^{2} - 8 x + 7$

चरण 1.3.4.9

$2 x^{2}$ और $x^{2}$ जोड़ें.

$3 x^{2} - 10 x + 8 - 8 x + 7$

चरण 1.3.4.10

$- 10 x$ में से $8 x$ घटाएं.

$3 x^{2} - 18 x + 8 + 7$

चरण 1.3.4.11

$8$ और $7$ जोड़ें.

$3 x^{2} - 18 x + 15$

चरण 2

व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें, फिर समीकरण $3 x^{2} - 18 x + 15 = 0$ को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

समीकरण के बाएँ पक्ष का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

$3 x^{2} - 18 x + 15$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1.1

$3 x^{2}$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$3 (x^{2}) - 18 x + 15 = 0$

चरण 2.1.1.2

$- 18 x$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$3 (x^{2}) + 3 (- 6 x) + 15 = 0$

चरण 2.1.1.3

$15$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$3 x^{2} + 3 (- 6 x) + 3 \cdot 5 = 0$

चरण 2.1.1.4

$3 x^{2} + 3 (- 6 x)$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$3 (x^{2} - 6 x) + 3 \cdot 5 = 0$

चरण 2.1.1.5

$3 (x^{2} - 6 x) + 3 \cdot 5$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$3 (x^{2} - 6 x + 5) = 0$

चरण 2.1.2

गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.1

AC विधि का उपयोग करके $x^{2} - 6 x + 5$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.1.1

$x^{2} + b x + c$ के स्वरूप पर विचार करें. पूर्णांकों का एक ऐसा युग्म ज्ञात कीजिए जिसका गुणनफल $c$ है और जिसका योग $b$ है और इस स्थिति में जिसका गुणनफल $5$ है और जिसका योग $- 6$ है.

$- 5, - 1$

चरण 2.1.2.1.2

इन पूर्णांकों का प्रयोग करते हुए गुणनखंड लिखें.

$3 ((x - 5) (x - 1)) = 0$

चरण 2.1.2.2

अनावश्यक कोष्ठक हटा दें.

$3 (x - 5) (x - 1) = 0$

चरण 2.2

यदि समीकरण के बांये पक्ष में कोई अकेला गुणनखंड $0$ के बराबर हो, तो सम्पूर्ण व्यंजक $0$ के बराबर होगा.

$x - 5 = 0$

$x - 1 = 0$

चरण 2.3

$x - 5$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

$x - 5$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x - 5 = 0$

चरण 2.3.2

समीकरण के दोनों पक्षों में $5$ जोड़ें.

$x = 5$

चरण 2.4

$x - 1$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.1

$x - 1$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x - 1 = 0$

चरण 2.4.2

समीकरण के दोनों पक्षों में $1$ जोड़ें.

$x = 1$

चरण 2.5

अंतिम हल वो सभी मान हैं जो $3 (x - 5) (x - 1) = 0$ को सिद्ध करते हैं.

$x = 5, 1$

चरण 3

मूल फलन $f (x) = (x - 1) (x^{2} - 8 x + 7)$ को $x = 5$ मान के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

व्यंजक में चर $x$ को $5$ से बदलें.

$f (5) = ((5) - 1) ({(5)}^{2} - 8 \cdot 5 + 7)$

चरण 3.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

$5$ में से $1$ घटाएं.

$f (5) = 4 ({(5)}^{2} - 8 \cdot 5 + 7)$

चरण 3.2.2

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.2.1

$5$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f (5) = 4 (25 - 8 \cdot 5 + 7)$

चरण 3.2.2.2

$- 8$ को $5$ से गुणा करें.

$f (5) = 4 (25 - 40 + 7)$

चरण 3.2.3

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.3.1

$25$ में से $40$ घटाएं.

$f (5) = 4 (- 15 + 7)$

चरण 3.2.3.2

$- 15$ और $7$ जोड़ें.

$f (5) = 4 \cdot - 8$

चरण 3.2.3.3

$4$ को $- 8$ से गुणा करें.

$f (5) = - 32$

चरण 3.2.4

अंतिम उत्तर $- 32$ है.

$- 32$

चरण 4

मूल फलन $f (x) = (x - 1) (x^{2} - 8 x + 7)$ को $x = 1$ मान के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

व्यंजक में चर $x$ को $1$ से बदलें.

$f (1) = ((1) - 1) ({(1)}^{2} - 8 \cdot 1 + 7)$

चरण 4.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1

$1$ में से $1$ घटाएं.

$f (1) = 0 ({(1)}^{2} - 8 \cdot 1 + 7)$

चरण 4.2.2

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.2.1

एक का कोई भी घात एक होता है.

$f (1) = 0 (1 - 8 \cdot 1 + 7)$

चरण 4.2.2.2

$- 8$ को $1$ से गुणा करें.

$f (1) = 0 (1 - 8 + 7)$

चरण 4.2.3

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.3.1

$1$ में से $8$ घटाएं.

$f (1) = 0 (- 7 + 7)$

चरण 4.2.3.2

$- 7$ और $7$ जोड़ें.

$f (1) = 0 \cdot 0$

चरण 4.2.3.3

$0$ को $0$ से गुणा करें.

$f (1) = 0$

चरण 4.2.4

अंतिम उत्तर $0$ है.

$0$

चरण 5

फलन $f (x) = (x - 1) (x^{2} - 8 x + 7)$ पर क्षैतिज स्पर्शरेखाएं $y = - 32, y = 0$ हैं.

$y = - 32, y = 0$

चरण 6