कैलकुलस उदाहरण

$4 x^{2} + 9 y^{2} = 36$

चरण 1

Solve the equation as $y$ in terms of $x$ .

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $4 x^{2}$ घटाएं.

$9 y^{2} = 36 - 4 x^{2}$

चरण 1.2

$9 y^{2} = 36 - 4 x^{2}$ के प्रत्येक पद को $9$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

$9 y^{2} = 36 - 4 x^{2}$ के प्रत्येक पद को $9$ से विभाजित करें.

$\frac{9 y^{2}}{9} = \frac{36}{9} + \frac{- 4 x^{2}}{9}$

चरण 1.2.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.2.1

$9$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{9 y^{2}}{9} = \frac{36}{9} + \frac{- 4 x^{2}}{9}$

चरण 1.2.2.1.2

$y^{2}$ को $1$ से विभाजित करें.

$y^{2} = \frac{36}{9} + \frac{- 4 x^{2}}{9}$

चरण 1.2.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.3.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.3.1.1

$36$ को $9$ से विभाजित करें.

$y^{2} = 4 + \frac{- 4 x^{2}}{9}$

चरण 1.2.3.1.2

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$y^{2} = 4 - \frac{4 x^{2}}{9}$

चरण 1.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{4 - \frac{4 x^{2}}{9}}$

चरण 1.4

$\pm \sqrt{4 - \frac{4 x^{2}}{9}}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.1

घातांक का उपयोग करके व्यंजक लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.1.1

$4$ को $2^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$y = \pm \sqrt{2^{2} - \frac{4 x^{2}}{9}}$

चरण 1.4.1.2

$\frac{4 x^{2}}{9}$ को ${(\frac{2 x}{3})}^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$y = \pm \sqrt{2^{2} - {(\frac{2 x}{3})}^{2}}$

चरण 1.4.2

चूंकि दोनों पद पूर्ण वर्ग हैं, इसलिए वर्ग सूत्र $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ के अंतर का उपयोग करके गुणनखंड निकालें जहां $a = 2$ और $b = \frac{2 x}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{(2 + \frac{2 x}{3}) (2 - \frac{2 x}{3})}$

चरण 1.4.3

$2$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{3}{3}$ से गुणा करें.

$y = \pm \sqrt{(2 \cdot \frac{3}{3} + \frac{2 x}{3}) (2 - \frac{2 x}{3})}$

चरण 1.4.4

$2$ और $\frac{3}{3}$ को मिलाएं.

$y = \pm \sqrt{(\frac{2 \cdot 3}{3} + \frac{2 x}{3}) (2 - \frac{2 x}{3})}$

चरण 1.4.5

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$y = \pm \sqrt{\frac{2 \cdot 3 + 2 x}{3} (2 - \frac{2 x}{3})}$

चरण 1.4.6

$2 \cdot 3 + 2 x$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.6.1

$2 \cdot 3$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$y = \pm \sqrt{\frac{2 (3) + 2 x}{3} (2 - \frac{2 x}{3})}$

चरण 1.4.6.2

$2 x$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$y = \pm \sqrt{\frac{2 (3) + 2 (x)}{3} (2 - \frac{2 x}{3})}$

चरण 1.4.6.3

$2 (3) + 2 (x)$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$y = \pm \sqrt{\frac{2 (3 + x)}{3} (2 - \frac{2 x}{3})}$

चरण 1.4.7

$2$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{3}{3}$ से गुणा करें.

$y = \pm \sqrt{\frac{2 (3 + x)}{3} (2 \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 x}{3})}$

चरण 1.4.8

$2$ और $\frac{3}{3}$ को मिलाएं.

$y = \pm \sqrt{\frac{2 (3 + x)}{3} (\frac{2 \cdot 3}{3} - \frac{2 x}{3})}$

चरण 1.4.9

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$y = \pm \sqrt{\frac{2 (3 + x)}{3} \cdot \frac{2 \cdot 3 - 2 x}{3}}$

चरण 1.4.10

$2 \cdot 3 - 2 x$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.10.1

$2 \cdot 3$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$y = \pm \sqrt{\frac{2 (3 + x)}{3} \cdot \frac{2 (3) - 2 x}{3}}$

चरण 1.4.10.2

$- 2 x$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$y = \pm \sqrt{\frac{2 (3 + x)}{3} \cdot \frac{2 (3) + 2 (- x)}{3}}$

चरण 1.4.10.3

$2 (3) + 2 (- x)$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$y = \pm \sqrt{\frac{2 (3 + x)}{3} \cdot \frac{2 (3 - x)}{3}}$

चरण 1.4.11

$\frac{2 (3 + x)}{3}$ को $\frac{2 (3 - x)}{3}$ से गुणा करें.

$y = \pm \sqrt{\frac{2 (3 + x) (2 (3 - x))}{3 \cdot 3}}$

चरण 1.4.12

गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.12.1

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$y = \pm \sqrt{\frac{4 (3 + x) (3 - x)}{3 \cdot 3}}$

चरण 1.4.12.2

$3$ को $3$ से गुणा करें.

$y = \pm \sqrt{\frac{4 (3 + x) (3 - x)}{9}}$

चरण 1.4.13

$\frac{4 (3 + x) (3 - x)}{9}$ को ${(\frac{2}{3})}^{2} ((3 + x) (3 - x))$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.13.1

$4 (3 + x) (3 - x)$ में से पूर्ण घात $2^{2}$ का गुणनखंड करें.

$y = \pm \sqrt{\frac{2^{2} ((3 + x) (3 - x))}{9}}$

चरण 1.4.13.2

$9$ में से पूर्ण घात $3^{2}$ का गुणनखंड करें.

$y = \pm \sqrt{\frac{2^{2} ((3 + x) (3 - x))}{3^{2} \cdot 1}}$

चरण 1.4.13.3

भिन्न को पुनर्व्यवस्थित करें $\frac{2^{2} ((3 + x) (3 - x))}{3^{2} \cdot 1}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{2}{3})}^{2} ((3 + x) (3 - x))}$

चरण 1.4.14

करणी से पदों को बाहर निकालें.

$y = \pm \frac{2}{3} \sqrt{(3 + x) (3 - x)}$

चरण 1.4.15

$\frac{2}{3}$ और $\sqrt{(3 + x) (3 - x)}$ को मिलाएं.

$y = \pm \frac{2 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{3}$

चरण 1.5

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.1

सबसे पहले, पहला समाधान पता करने के लिए $\pm$ के धनात्मक मान का उपयोग करें.

$y = \frac{2 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{3}$

चरण 1.5.2

इसके बाद, दूसरा हल ज्ञात करने के लिए $\pm$ के ऋणात्मक मान का उपयोग करें.

$y = - \frac{2 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{3}$

चरण 1.5.3

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

$y = \frac{2 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{3}$

$y = - \frac{2 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{3}$

$y = \frac{2 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{3}$

$y = - \frac{2 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{3}$

$y = \frac{2 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{3}$

$y = - \frac{2 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{3}$

चरण 2

Set each solution of $y$ as a function of $x$ .

$y = \frac{2 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{3} \to f (x) = \frac{2 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{3}$

$y = - \frac{2 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{3} \to f (x) = - \frac{2 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{3}$

चरण 3

Because the $y$ variable in the equation $4 x^{2} + 9 y^{2} = 36$ has a degree greater than $1$ , use implicit differentiation to solve for the derivative $\frac{d y}{d x}$ .

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

समीकरण के दोनों पक्षों का अवकलन करें.

$\frac{d}{d x} (4 x^{2} + 9 y^{2}) = \frac{d}{d x} (36)$

चरण 3.2

समीकरण के बाएँ पक्ष का अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $4 x^{2} + 9 y^{2}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 y^{2}]$ है.

$\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 y^{2}]$

चरण 3.2.2

$\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.2.1

चूंकि $4$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $4 x^{2}$ का व्युत्पन्न $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ है.

$4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 y^{2}]$

चरण 3.2.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$4 (2 x) + \frac{d}{d x} [9 y^{2}]$

चरण 3.2.2.3

$2$ को $4$ से गुणा करें.

$8 x + \frac{d}{d x} [9 y^{2}]$

चरण 3.2.3

$\frac{d}{d x} [9 y^{2}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.3.1

चूंकि $9$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $9 y^{2}$ का व्युत्पन्न $9 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ है.

$8 x + 9 \frac{d}{d x} [y^{2}]$

चरण 3.2.3.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{2}$ और $g (x) = y$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.3.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $y$ के रूप में सेट करें.

$8 x + 9 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

चरण 3.2.3.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$8 x + 9 (2 u \frac{d}{d x} [y])$

चरण 3.2.3.2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $y$ से बदलें.

$8 x + 9 (2 y \frac{d}{d x} [y])$

चरण 3.2.3.3

$\frac{d}{d x} [y]$ को $y'$ के रूप में फिर से लिखें.

$8 x + 9 (2 y y')$

चरण 3.2.3.4

$2$ को $9$ से गुणा करें.

$8 x + 18 y y'$

चरण 3.2.4

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$18 y y' + 8 x$

चरण 3.3

चूंकि $x$ के संबंध में $36$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $36$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$0$

चरण 3.4

बाईं ओर को दाईं ओर के बराबर सेट करके समीकरण को सुधारें.

$18 y y' + 8 x = 0$

चरण 3.5

$y'$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $8 x$ घटाएं.

$18 y y' = - 8 x$

चरण 3.5.2

$18 y y' = - 8 x$ के प्रत्येक पद को $18 y$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.2.1

$18 y y' = - 8 x$ के प्रत्येक पद को $18 y$ से विभाजित करें.

$\frac{18 y y'}{18 y} = \frac{- 8 x}{18 y}$

चरण 3.5.2.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.2.2.1

$18$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.2.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{18 y y'}{18 y} = \frac{- 8 x}{18 y}$

चरण 3.5.2.2.1.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 8 x}{18 y}$

चरण 3.5.2.2.2

$y$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.2.2.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 8 x}{18 y}$

चरण 3.5.2.2.2.2

$y'$ को $1$ से विभाजित करें.

$y' = \frac{- 8 x}{18 y}$

चरण 3.5.2.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.2.3.1

$- 8$ और $18$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.2.3.1.1

$- 8 x$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$y' = \frac{2 (- 4 x)}{18 y}$

चरण 3.5.2.3.1.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.2.3.1.2.1

$18 y$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$y' = \frac{2 (- 4 x)}{2 (9 y)}$

चरण 3.5.2.3.1.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$y' = \frac{2 (- 4 x)}{2 (9 y)}$

चरण 3.5.2.3.1.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$y' = \frac{- 4 x}{9 y}$

चरण 3.5.2.3.2

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$y' = - \frac{4 x}{9 y}$

चरण 3.6

$y'$ को $\frac{d y}{d x}$ से बदलें.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{4 x}{9 y}$

चरण 4

व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें, फिर समीकरण $- \frac{4 x}{9 y} = 0$ को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

न्यूमेरेटर को शून्य के बराबर सेट करें.

$4 x = 0$

चरण 4.2

$4 x = 0$ के प्रत्येक पद को $4$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1

$4 x = 0$ के प्रत्येक पद को $4$ से विभाजित करें.

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

चरण 4.2.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.2.1

$4$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

चरण 4.2.2.1.2

$x$ को $1$ से विभाजित करें.

$x = \frac{0}{4}$

चरण 4.2.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.3.1

$0$ को $4$ से विभाजित करें.

$x = 0$

चरण 5

Solve the function $f (x) = \frac{2 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{3}$ at $x = 0$ .

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

व्यंजक में चर $x$ को $0$ से बदलें.

$f (0) = \frac{2 \sqrt{(3 + 0) (3 - (0))}}{3}$

चरण 5.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

कोष्ठक हटा दें.

$f (0) = \frac{2 \sqrt{(3 + 0) (3 - (0))}}{3}$

चरण 5.2.2

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.2.1

$3$ और $0$ जोड़ें.

$f (0) = \frac{2 \sqrt{3 (3 - (0))}}{3}$

चरण 5.2.2.2

$- 1$ को $0$ से गुणा करें.

$f (0) = \frac{2 \sqrt{3 (3 + 0)}}{3}$

चरण 5.2.2.3

$3$ और $0$ जोड़ें.

$f (0) = \frac{2 \sqrt{3 \cdot 3}}{3}$

चरण 5.2.2.4

$3$ को $3$ से गुणा करें.

$f (0) = \frac{2 \sqrt{9}}{3}$

चरण 5.2.2.5

$9$ को $3^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$f (0) = \frac{2 \sqrt{3^{2}}}{3}$

चरण 5.2.2.6

धनात्मक वास्तविक संख्या मानकर, करणी के अंतर्गत पदों को बाहर निकालें.

$f (0) = \frac{2 \cdot 3}{3}$

चरण 5.2.3

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.3.1

$2$ को $3$ से गुणा करें.

$f (0) = \frac{6}{3}$

चरण 5.2.3.2

$6$ को $3$ से विभाजित करें.

$f (0) = 2$

चरण 5.2.4

अंतिम उत्तर $2$ है.

$2$

चरण 6

Solve the function $f (x) = - \frac{2 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{3}$ at $x = 0$ .

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

व्यंजक में चर $x$ को $0$ से बदलें.

$f (0) = - \frac{2 \sqrt{(3 + 0) (3 - (0))}}{3}$

चरण 6.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1

कोष्ठक हटा दें.

$f (0) = - \frac{2 \sqrt{(3 + 0) (3 - (0))}}{3}$

चरण 6.2.2

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.2.1

$3$ और $0$ जोड़ें.

$f (0) = - \frac{2 \sqrt{3 (3 - (0))}}{3}$

चरण 6.2.2.2

$- 1$ को $0$ से गुणा करें.

$f (0) = - \frac{2 \sqrt{3 (3 + 0)}}{3}$

चरण 6.2.2.3

$3$ और $0$ जोड़ें.

$f (0) = - \frac{2 \sqrt{3 \cdot 3}}{3}$

चरण 6.2.2.4

$3$ को $3$ से गुणा करें.

$f (0) = - \frac{2 \sqrt{9}}{3}$

चरण 6.2.2.5

$9$ को $3^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$f (0) = - \frac{2 \sqrt{3^{2}}}{3}$

चरण 6.2.2.6

धनात्मक वास्तविक संख्या मानकर, करणी के अंतर्गत पदों को बाहर निकालें.

$f (0) = - \frac{2 \cdot 3}{3}$

चरण 6.2.3

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.3.1

$2$ को $3$ से गुणा करें.

$f (0) = - \frac{6}{3}$

चरण 6.2.3.2

$6$ को $3$ से विभाजित करें.

$f (0) = - 1 \cdot 2$

चरण 6.2.3.3

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$f (0) = - 2$

चरण 6.2.4

अंतिम उत्तर $- 2$ है.

$- 2$

चरण 7

The horizontal tangent lines are $y = 2, y = - 2$

$y = 2, y = - 2$

चरण 8