कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = x e^{- x}$

चरण 1

व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = x$ और $g (x) = e^{- x}$ है.

$x \frac{d}{d x} [e^{- x}] + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]$

चरण 1.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = e^{x}$ और $g (x) = - x$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $- x$ के रूप में सेट करें.

$x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]$

चरण 1.2.2

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ $a^{u} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$x (e^{u} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]$

चरण 1.2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $- x$ से बदलें.

$x (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]$

चरण 1.3

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

चूंकि $- 1$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- x$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d x} [x]$ है.

$x (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]$

चरण 1.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$x (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]$

चरण 1.3.3

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.3.1

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$x (e^{- x} \cdot - 1) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]$

चरण 1.3.3.2

$- 1$ को $e^{- x}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$x (- 1 \cdot e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]$

चरण 1.3.3.3

$- 1 e^{- x}$ को $- e^{- x}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x (- e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]$

चरण 1.3.4

$x (- e^{- x}) + e^{- x} \cdot 1$

चरण 1.3.5

$e^{- x}$ को $1$ से गुणा करें.

$x (- e^{- x}) + e^{- x}$

चरण 1.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.1

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$- e^{- x} x + e^{- x}$

चरण 1.4.2

गुणनखंडों को $- e^{- x} x + e^{- x}$ में पुन: क्रमित करें.

$- x e^{- x} + e^{- x}$

चरण 2

व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें, फिर समीकरण $- x e^{- x} + e^{- x} = 0$ को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$- x e^{- x} + e^{- x}$ में से $e^{- x}$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

$- x e^{- x}$ में से $e^{- x}$ का गुणनखंड करें.

$e^{- x} (- x) + e^{- x} = 0$

चरण 2.1.2

$1$ से गुणा करें.

$e^{- x} (- x) + e^{- x} \cdot 1 = 0$

चरण 2.1.3

$e^{- x} (- x) + e^{- x} \cdot 1$ में से $e^{- x}$ का गुणनखंड करें.

$e^{- x} (- x + 1) = 0$

चरण 2.2

यदि समीकरण के बांये पक्ष में कोई अकेला गुणनखंड $0$ के बराबर हो, तो सम्पूर्ण व्यंजक $0$ के बराबर होगा.

$e^{- x} = 0$

$- x + 1 = 0$

चरण 2.3

$e^{- x}$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

$e^{- x}$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$e^{- x} = 0$

चरण 2.3.2

$x$ के लिए $e^{- x} = 0$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.1

घातांक से चर को हटाने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लें.

$\ln (e^{- x}) = \ln (0)$

चरण 2.3.2.2

समीकरण हल नहीं किया जा सकता क्योंकि $\ln (0)$ अपरिभाषित है.

अपरिभाषित

चरण 2.3.2.3

$e^{- x} = 0$ का कोई हल नहीं है

कोई हल नहीं

चरण 2.4

$- x + 1$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.1

$- x + 1$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$- x + 1 = 0$

चरण 2.4.2

$x$ के लिए $- x + 1 = 0$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.2.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $1$ घटाएं.

$- x = - 1$

चरण 2.4.2.2

$- x = - 1$ के प्रत्येक पद को $- 1$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.2.2.1

$- x = - 1$ के प्रत्येक पद को $- 1$ से विभाजित करें.

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

चरण 2.4.2.2.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.2.2.2.1

दो नकारात्मक मानों को विभाजित करने से एक सकारात्मक परिणाम प्राप्त होता है.

$\frac{x}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

चरण 2.4.2.2.2.2

$x$ को $1$ से विभाजित करें.

$x = \frac{- 1}{- 1}$

चरण 2.4.2.2.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.2.2.3.1

$- 1$ को $- 1$ से विभाजित करें.

$x = 1$

चरण 2.5

अंतिम हल वो सभी मान हैं जो $e^{- x} (- x + 1) = 0$ को सिद्ध करते हैं.

$x = 1$

चरण 3

मूल फलन $f (x) = x e^{- x}$ को $x = 1$ मान के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

व्यंजक में चर $x$ को $1$ से बदलें.

$f (1) = (1) \cdot e^{- (1)}$

चरण 3.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

$e^{- (1)}$ को $1$ से गुणा करें.

$f (1) = e^{- (1)}$

चरण 3.2.2

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$f (1) = e^{- 1}$

चरण 3.2.3

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$f (1) = \frac{1}{e}$

चरण 3.2.4

अंतिम उत्तर $\frac{1}{e}$ है.

$\frac{1}{e}$

चरण 4

फलन $f (x) = x e^{- x}$ पर क्षैतिज स्पर्शरेखा $y = \frac{1}{e}$ है.

$y = \frac{1}{e}$

चरण 5