कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = \frac{x}{x^{2} + 9}$

चरण 1

व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

भागफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ है, जहाँ $f (x) = x$ और $g (x) = x^{2} + 9$ है.

$\frac{(x^{2} + 9) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

चरण 1.2

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{(x^{2} + 9) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

चरण 1.2.2

$x^{2} + 9$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{x^{2} + 9 - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

चरण 1.2.3

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{2} + 9$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$ है.

$\frac{x^{2} + 9 - x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9])}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

चरण 1.2.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$\frac{x^{2} + 9 - x (2 x + \frac{d}{d x} [9])}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

चरण 1.2.5

चूंकि $x$ के संबंध में $9$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $9$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{x^{2} + 9 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

चरण 1.2.6

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.6.1

$2 x$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{x^{2} + 9 - x (2 x)}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

चरण 1.2.6.2

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{x^{2} + 9 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

चरण 1.3

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{x^{2} + 9 - 2 (x^{1} x)}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

चरण 1.4

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{x^{2} + 9 - 2 (x^{1} x^{1})}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

चरण 1.5

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{x^{2} + 9 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

चरण 1.6

$1$ और $1$ जोड़ें.

$\frac{x^{2} + 9 - 2 x^{2}}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

चरण 1.7

$x^{2}$ में से $2 x^{2}$ घटाएं.

$\frac{- x^{2} + 9}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

चरण 2

व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें, फिर समीकरण $\frac{- x^{2} + 9}{{(x^{2} + 9)}^{2}} = 0$ को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

न्यूमेरेटर को शून्य के बराबर सेट करें.

$- x^{2} + 9 = 0$

चरण 2.2

$x$ के लिए समीकरण को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $9$ घटाएं.

$- x^{2} = - 9$

चरण 2.2.2

$- x^{2} = - 9$ के प्रत्येक पद को $- 1$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.2.1

$- x^{2} = - 9$ के प्रत्येक पद को $- 1$ से विभाजित करें.

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 9}{- 1}$

चरण 2.2.2.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.2.2.1

दो नकारात्मक मानों को विभाजित करने से एक सकारात्मक परिणाम प्राप्त होता है.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 9}{- 1}$

चरण 2.2.2.2.2

$x^{2}$ को $1$ से विभाजित करें.

$x^{2} = \frac{- 9}{- 1}$

चरण 2.2.2.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.2.3.1

$- 9$ को $- 1$ से विभाजित करें.

$x^{2} = 9$

चरण 2.2.3

बाईं ओर के घातांक को समाप्त करने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों का निर्दिष्ट मूल लें I

$x = \pm \sqrt{9}$

चरण 2.2.4

$\pm \sqrt{9}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.4.1

$9$ को $3^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \pm \sqrt{3^{2}}$

चरण 2.2.4.2

धनात्मक वास्तविक संख्या मानकर, करणी के अंतर्गत पदों को बाहर निकालें.

$x = \pm 3$

चरण 2.2.5

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.5.1

सबसे पहले, पहला समाधान पता करने के लिए $\pm$ के धनात्मक मान का उपयोग करें.

$x = 3$

चरण 2.2.5.2

इसके बाद, दूसरा हल ज्ञात करने के लिए $\pm$ के ऋणात्मक मान का उपयोग करें.

$x = - 3$

चरण 2.2.5.3

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

$x = 3, - 3$

चरण 3

मूल फलन $f (x) = \frac{x}{x^{2} + 9}$ को $x = 3$ मान के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

व्यंजक में चर $x$ को $3$ से बदलें.

$f (3) = \frac{3}{{(3)}^{2} + 9}$

चरण 3.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1.1

$3$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f (3) = \frac{3}{9 + 9}$

चरण 3.2.1.2

$9$ और $9$ जोड़ें.

$f (3) = \frac{3}{18}$

चरण 3.2.2

$3$ और $18$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.2.1

$3$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$f (3) = \frac{3 (1)}{18}$

चरण 3.2.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.2.2.1

$18$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$f (3) = \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 6}$

चरण 3.2.2.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f (3) = \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 6}$

चरण 3.2.2.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f (3) = \frac{1}{6}$

चरण 3.2.3

अंतिम उत्तर $\frac{1}{6}$ है.

$\frac{1}{6}$

चरण 4

मूल फलन $f (x) = \frac{x}{x^{2} + 9}$ को $x = - 3$ मान के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

व्यंजक में चर $x$ को $- 3$ से बदलें.

$f (- 3) = \frac{- 3}{{(- 3)}^{2} + 9}$

चरण 4.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1.1

$- 3$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f (- 3) = \frac{- 3}{9 + 9}$

चरण 4.2.1.2

$9$ और $9$ जोड़ें.

$f (- 3) = \frac{- 3}{18}$

चरण 4.2.2

सामान्य गुणनखंडों को रद्द करके व्यंजक को छोटा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.2.1

$- 3$ और $18$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.2.1.1

$- 3$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$f (- 3) = \frac{3 (- 1)}{18}$

चरण 4.2.2.1.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.2.1.2.1

$18$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$f (- 3) = \frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 6}$

चरण 4.2.2.1.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f (- 3) = \frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 6}$

चरण 4.2.2.1.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f (- 3) = \frac{- 1}{6}$

चरण 4.2.2.2

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$f (- 3) = - \frac{1}{6}$

चरण 4.2.3

अंतिम उत्तर $- \frac{1}{6}$ है.

$- \frac{1}{6}$

चरण 5

फलन $f (x) = \frac{x}{x^{2} + 9}$ पर क्षैतिज स्पर्शरेखाएं $y = \frac{1}{6}, y = - \frac{1}{6}$ हैं.

$y = \frac{1}{6}, y = - \frac{1}{6}$

चरण 6