कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = \frac{x}{x^{2} + 1}$

चरण 1

व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

भागफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ है, जहाँ $f (x) = x$ और $g (x) = x^{2} + 1$ है.

$\frac{(x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

चरण 1.2

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{(x^{2} + 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

चरण 1.2.2

$x^{2} + 1$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{x^{2} + 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

चरण 1.2.3

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{2} + 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ है.

$\frac{x^{2} + 1 - x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

चरण 1.2.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$\frac{x^{2} + 1 - x (2 x + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

चरण 1.2.5

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{x^{2} + 1 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

चरण 1.2.6

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.6.1

$2 x$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{x^{2} + 1 - x (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

चरण 1.2.6.2

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{x^{2} + 1 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

चरण 1.3

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{x^{2} + 1 - 2 (x^{1} x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

चरण 1.4

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{x^{2} + 1 - 2 (x^{1} x^{1})}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

चरण 1.5

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{x^{2} + 1 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

चरण 1.6

$1$ और $1$ जोड़ें.

$\frac{x^{2} + 1 - 2 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

चरण 1.7

$x^{2}$ में से $2 x^{2}$ घटाएं.

$\frac{- x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

चरण 2

व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें, फिर समीकरण $\frac{- x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = 0$ को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

न्यूमेरेटर को शून्य के बराबर सेट करें.

$- x^{2} + 1 = 0$

चरण 2.2

$x$ के लिए समीकरण को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $1$ घटाएं.

$- x^{2} = - 1$

चरण 2.2.2

$- x^{2} = - 1$ के प्रत्येक पद को $- 1$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.2.1

$- x^{2} = - 1$ के प्रत्येक पद को $- 1$ से विभाजित करें.

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

चरण 2.2.2.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.2.2.1

दो नकारात्मक मानों को विभाजित करने से एक सकारात्मक परिणाम प्राप्त होता है.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

चरण 2.2.2.2.2

$x^{2}$ को $1$ से विभाजित करें.

$x^{2} = \frac{- 1}{- 1}$

चरण 2.2.2.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.2.3.1

$- 1$ को $- 1$ से विभाजित करें.

$x^{2} = 1$

चरण 2.2.3

बाईं ओर के घातांक को समाप्त करने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों का निर्दिष्ट मूल लें I

$x = \pm \sqrt{1}$

चरण 2.2.4

$1$ का कोई भी मूल $1$ होता है.

$x = \pm 1$

चरण 2.2.5

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.5.1

सबसे पहले, पहला समाधान पता करने के लिए $\pm$ के धनात्मक मान का उपयोग करें.

$x = 1$

चरण 2.2.5.2

इसके बाद, दूसरा हल ज्ञात करने के लिए $\pm$ के ऋणात्मक मान का उपयोग करें.

$x = - 1$

चरण 2.2.5.3

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

$x = 1, - 1$

चरण 3

मूल फलन $f (x) = \frac{x}{x^{2} + 1}$ को $x = 1$ मान के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

व्यंजक में चर $x$ को $1$ से बदलें.

$f (1) = \frac{1}{{(1)}^{2} + 1}$

चरण 3.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1.1

एक का कोई भी घात एक होता है.

$f (1) = \frac{1}{1 + 1}$

चरण 3.2.1.2

$1$ और $1$ जोड़ें.

$f (1) = \frac{1}{2}$

चरण 3.2.2

अंतिम उत्तर $\frac{1}{2}$ है.

$\frac{1}{2}$

चरण 4

मूल फलन $f (x) = \frac{x}{x^{2} + 1}$ को $x = - 1$ मान के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

व्यंजक में चर $x$ को $- 1$ से बदलें.

$f (- 1) = \frac{- 1}{{(- 1)}^{2} + 1}$

चरण 4.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1.1

$- 1$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f (- 1) = \frac{- 1}{1 + 1}$

चरण 4.2.1.2

$1$ और $1$ जोड़ें.

$f (- 1) = \frac{- 1}{2}$

चरण 4.2.2

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$f (- 1) = - \frac{1}{2}$

चरण 4.2.3

अंतिम उत्तर $- \frac{1}{2}$ है.

$- \frac{1}{2}$

चरण 5

फलन $f (x) = \frac{x}{x^{2} + 1}$ पर क्षैतिज स्पर्शरेखाएं $y = \frac{1}{2}, y = - \frac{1}{2}$ हैं.

$y = \frac{1}{2}, y = - \frac{1}{2}$

चरण 6