कैलकुलस उदाहरण

$y = \frac{\sqrt{x}}{x + 1}$

चरण 1

$y$ को $x$ के एक फलन के रूप में सेट करें.

$f (x) = \frac{\sqrt{x}}{x + 1}$

चरण 2

व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$\sqrt{x}$ को $x^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x + 1}]$

चरण 2.2

भागफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ है, जहाँ $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ और $g (x) = x + 1$ है.

$\frac{(x + 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

चरण 2.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = \frac{1}{2}$ है.

$\frac{(x + 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

चरण 2.4

$- 1$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$\frac{(x + 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

चरण 2.5

$- 1$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{(x + 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

चरण 2.6

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{(x + 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

चरण 2.7

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.7.1

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{(x + 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

चरण 2.7.2

$1$ में से $2$ घटाएं.

$\frac{(x + 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

चरण 2.8

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.8.1

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\frac{(x + 1) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

चरण 2.8.2

$\frac{1}{2}$ और $x^{- \frac{1}{2}}$ को मिलाएं.

$\frac{(x + 1) \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

चरण 2.8.3

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का उपयोग करके $x^{- \frac{1}{2}}$ को भाजक में ले जाएँ.

$\frac{(x + 1) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

चरण 2.9

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x + 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ है.

$\frac{(x + 1) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

चरण 2.10

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{(x + 1) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} (1 + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

चरण 2.11

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{(x + 1) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} (1 + 0)}{{(x + 1)}^{2}}$

चरण 2.12

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.12.1

$1$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{(x + 1) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} \cdot 1}{{(x + 1)}^{2}}$

चरण 2.12.2

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{(x + 1) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}}}{{(x + 1)}^{2}}$

चरण 2.13

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.13.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{x \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}}}{{(x + 1)}^{2}}$

चरण 2.13.2

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.13.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.13.2.1.1

$x$ और $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ को मिलाएं.

$\frac{\frac{x}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}}}{{(x + 1)}^{2}}$

चरण 2.13.2.1.2

ऋणात्मक घातांक नियम $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ का उपयोग करके $x^{\frac{1}{2}}$ को न्यूमेरेटर में ले जाएं.

$\frac{\frac{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}}{2} + 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}}}{{(x + 1)}^{2}}$

चरण 2.13.2.1.3

घातांक जोड़कर $x$ को $x^{- \frac{1}{2}}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.13.2.1.3.1

$x$ को $x^{- \frac{1}{2}}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.13.2.1.3.1.1

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{\frac{x^{1} x^{- \frac{1}{2}}}{2} + 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}}}{{(x + 1)}^{2}}$

चरण 2.13.2.1.3.1.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{\frac{x^{1 - \frac{1}{2}}}{2} + 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}}}{{(x + 1)}^{2}}$

चरण 2.13.2.1.3.2

एक सामान्य भाजक के साथ $1$ को भिन्न के रूप में लिखें.

$\frac{\frac{x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}{2} + 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}}}{{(x + 1)}^{2}}$

चरण 2.13.2.1.3.3

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{\frac{x^{\frac{2 - 1}{2}}}{2} + 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}}}{{(x + 1)}^{2}}$

चरण 2.13.2.1.3.4

$2$ में से $1$ घटाएं.

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}}}{{(x + 1)}^{2}}$

चरण 2.13.2.1.4

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}}}{{(x + 1)}^{2}}$

चरण 2.13.2.2

$- x^{\frac{1}{2}}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - x^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x + 1)}^{2}}$

चरण 2.13.2.3

$- x^{\frac{1}{2}}$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{- x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x + 1)}^{2}}$

चरण 2.13.2.4

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x + 1)}^{2}}$

चरण 2.13.2.5

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.13.2.5.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.13.2.5.1.1

$x^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2}} \cdot 2$ में से $x^{\frac{1}{2}}$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.13.2.5.1.1.1

$x^{\frac{1}{2}}$ ले जाएं.

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot 2 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x + 1)}^{2}}$

चरण 2.13.2.5.1.1.2

$1$ से गुणा करें.

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - 1 \cdot 2 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x + 1)}^{2}}$

चरण 2.13.2.5.1.1.3

$- 1 \cdot 2 x^{\frac{1}{2}}$ में से $x^{\frac{1}{2}}$ का गुणनखंड करें.

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + x^{\frac{1}{2}} (- 1 \cdot 2)}{2} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x + 1)}^{2}}$

चरण 2.13.2.5.1.1.4

$x^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + x^{\frac{1}{2}} (- 1 \cdot 2)$ में से $x^{\frac{1}{2}}$ का गुणनखंड करें.

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} (1 - 1 \cdot 2)}{2} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x + 1)}^{2}}$

चरण 2.13.2.5.1.2

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} (1 - 2)}{2} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x + 1)}^{2}}$

चरण 2.13.2.5.1.3

$1$ में से $2$ घटाएं.

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot - 1}{2} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x + 1)}^{2}}$

चरण 2.13.2.5.2

$- 1$ को $x^{\frac{1}{2}}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{\frac{- 1 \cdot x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x + 1)}^{2}}$

चरण 2.13.2.5.3

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\frac{- \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x + 1)}^{2}}$

चरण 2.13.3

पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.13.3.1

$\frac{- \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x + 1)}^{2}}$ को $\frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ से गुणा करें.

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{- \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x + 1)}^{2}}$

चरण 2.13.3.2

जोड़ना.

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} (- \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{2}}$

चरण 2.13.3.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} (- \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2}) + 2 x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{2}}$

चरण 2.13.3.4

$2 x^{\frac{1}{2}}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.13.3.4.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} (- \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2}) + 2 x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{2}}$

चरण 2.13.3.4.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} (- \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2}) + 1}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{2}}$

चरण 2.13.3.5

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{- 2 x^{\frac{1}{2}} \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{2}}$

चरण 2.13.3.6

$- 2$ और $\frac{x^{\frac{1}{2}}}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{- 2 x^{\frac{1}{2}}}{2} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{2}}$

चरण 2.13.3.7

$x^{\frac{1}{2}}$ और $\frac{- 2 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} (- 2 x^{\frac{1}{2}})}{2} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{2}}$

चरण 2.13.3.8

घातांक जोड़कर $x^{\frac{1}{2}}$ को $x^{\frac{1}{2}}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.13.3.8.1

$x^{\frac{1}{2}}$ ले जाएं.

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} \cdot - 2}{2} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{2}}$

चरण 2.13.3.8.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \cdot - 2}{2} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{2}}$

चरण 2.13.3.8.3

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{\frac{x^{\frac{1 + 1}{2}} \cdot - 2}{2} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{2}}$

चरण 2.13.3.8.4

$1$ और $1$ जोड़ें.

$\frac{\frac{x^{\frac{2}{2}} \cdot - 2}{2} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{2}}$

चरण 2.13.3.8.5

$2$ को $2$ से विभाजित करें.

$\frac{\frac{x^{1} \cdot - 2}{2} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{2}}$

चरण 2.13.3.9

$x^{1} \cdot - 2$ को सरल करें.

$\frac{\frac{x \cdot - 2}{2} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{2}}$

चरण 2.13.3.10

$- 2$ को $x$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{\frac{- 2 \cdot x}{2} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{2}}$

चरण 2.13.3.11

$- 2$ और $2$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.13.3.11.1

$- 2 x$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{\frac{2 (- x)}{2} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{2}}$

चरण 2.13.3.11.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.13.3.11.2.1

$2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{\frac{2 (- x)}{2 (1)} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{2}}$

चरण 2.13.3.11.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{\frac{2 (- x)}{2 \cdot 1} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{2}}$

चरण 2.13.3.11.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{\frac{- x}{1} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{2}}$

चरण 2.13.3.11.2.4

$- x$ को $1$ से विभाजित करें.

$\frac{- x + 1}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{2}}$

चरण 2.13.4

$- x$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$\frac{- (x) + 1}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{2}}$

चरण 2.13.5

$1$ को $- 1 (- 1)$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{- (x) - 1 (- 1)}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{2}}$

चरण 2.13.6

$- (x) - 1 (- 1)$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$\frac{- (x - 1)}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{2}}$

चरण 2.13.7

$- (x - 1)$ को $- 1 (x - 1)$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{- 1 (x - 1)}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{2}}$

चरण 2.13.8

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$- \frac{x - 1}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{2}}$

चरण 3

व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें, फिर समीकरण $- \frac{x - 1}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{2}} = 0$ को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

न्यूमेरेटर को शून्य के बराबर सेट करें.

$x - 1 = 0$

चरण 3.2

समीकरण के दोनों पक्षों में $1$ जोड़ें.

$x = 1$

चरण 4

मूल फलन $f (x) = \frac{\sqrt{x}}{x + 1}$ को $x = 1$ मान के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

व्यंजक में चर $x$ को $1$ से बदलें.

$f (1) = \frac{\sqrt{1}}{(1) + 1}$

चरण 4.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1

$1$ का कोई भी मूल $1$ होता है.

$f (1) = \frac{1}{1 + 1}$

चरण 4.2.2

$1$ और $1$ जोड़ें.

$f (1) = \frac{1}{2}$

चरण 4.2.3

अंतिम उत्तर $\frac{1}{2}$ है.

$\frac{1}{2}$

चरण 5

फलन $f (x) = \frac{\sqrt{x}}{x + 1}$ पर क्षैतिज स्पर्शरेखा $y = \frac{1}{2}$ है.

$y = \frac{1}{2}$

चरण 6