कैलकुलस उदाहरण

$\sin (2 x) - 2 \sin (x)$

चरण 1

व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $\sin (2 x) - 2 \sin (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$ है.

$\frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

चरण 1.2

$\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \sin (x)$ और $g (x) = 2 x$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $2 x$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

चरण 1.2.1.2

$u$ के संबंध में $\sin (u)$ का व्युत्पन्न $\cos (u)$ है.

$\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

चरण 1.2.1.3

$u$ की सभी घटनाओं को $2 x$ से बदलें.

$\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

चरण 1.2.2

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

चरण 1.2.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\cos (2 x) (2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

चरण 1.2.4

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$\cos (2 x) \cdot 2 + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

चरण 1.2.5

$2$ को $\cos (2 x)$ के बाईं ओर ले जाएं.

$2 \cos (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

चरण 1.3

$\frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

चूंकि $- 2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 2 \sin (x)$ का व्युत्पन्न $- 2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ है.

$2 \cos (2 x) - 2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

चरण 1.3.2

$x$ के संबंध में $\sin (x)$ का व्युत्पन्न $\cos (x)$ है.

$2 \cos (2 x) - 2 \cos (x)$

चरण 2

व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें, फिर समीकरण $2 \cos (2 x) - 2 \cos (x) = 0$ को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

$\cos (2 x)$ को $2 \cos^{2} (x) - 1$ में बदलने के लिए दोहरा कोण सर्वसमिका का प्रयोग करें.

$2 (2 \cos^{2} (x) - 1) - 2 \cos (x) = 0$

चरण 2.1.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$2 (2 \cos^{2} (x)) + 2 \cdot - 1 - 2 \cos (x) = 0$

चरण 2.1.3

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$4 \cos^{2} (x) + 2 \cdot - 1 - 2 \cos (x) = 0$

चरण 2.1.4

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$4 \cos^{2} (x) - 2 - 2 \cos (x) = 0$

चरण 2.2

$4 \cos^{2} (x) - 2 - 2 \cos (x)$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

$4 \cos^{2} (x) - 2 - 2 \cos (x)$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1.1

$4 \cos^{2} (x)$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$2 (2 \cos^{2} (x)) - 2 - 2 \cos (x) = 0$

चरण 2.2.1.2

$- 2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$2 (2 \cos^{2} (x)) + 2 (- 1) - 2 \cos (x) = 0$

चरण 2.2.1.3

$- 2 \cos (x)$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$2 (2 \cos^{2} (x)) + 2 (- 1) + 2 (- \cos (x)) = 0$

चरण 2.2.1.4

$2 (2 \cos^{2} (x)) + 2 (- 1)$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$2 (2 \cos^{2} (x) - 1) + 2 (- \cos (x)) = 0$

चरण 2.2.1.5

$2 (2 \cos^{2} (x) - 1) + 2 (- \cos (x))$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$2 (2 \cos^{2} (x) - 1 - \cos (x)) = 0$

चरण 2.2.2

गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.2.1

वर्गीकरण द्वारा गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.2.1.1

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$2 (2 \cos^{2} (x) - \cos (x) - 1) = 0$

चरण 2.2.2.1.2

फॉर्म $a x^{2} + b x + c$ के बहुपद के लिए, मध्य पद को दो पदों के योग के रूप में फिर से लिखें, जिसका गुणनफल $a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ है और जिसका योग $b = - 1$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.2.1.2.1

$- \cos (x)$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$2 (2 \cos^{2} (x) - \cos (x) - 1) = 0$

चरण 2.2.2.1.2.2

$- 1$ को $1$ जोड़ $- 2$ के रूप में फिर से लिखें

$2 (2 \cos^{2} (x) + (1 - 2) \cos (x) - 1) = 0$

चरण 2.2.2.1.2.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$2 (2 \cos^{2} (x) + 1 \cos (x) - 2 \cos (x) - 1) = 0$

चरण 2.2.2.1.2.4

$\cos (x)$ को $1$ से गुणा करें.

$2 (2 \cos^{2} (x) + \cos (x) - 2 \cos (x) - 1) = 0$

चरण 2.2.2.1.3

प्रत्येक समूह के महत्तम समापवर्तक का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.2.1.3.1

पहले दो पदों और अंतिम दो पदों को समूहित करें.

$2 (2 \cos^{2} (x) + \cos (x) - 2 \cos (x) - 1) = 0$

चरण 2.2.2.1.3.2

प्रत्येक समूह के महत्तम समापवर्तक (GCF) का गुणनखंड करें.

$2 (\cos (x) (2 \cos (x) + 1) - (2 \cos (x) + 1)) = 0$

चरण 2.2.2.1.4

महत्तम समापवर्तक, $2 \cos (x) + 1$ का गुणनखंड करके बहुपद का गुणनखंड करें.

$2 ((2 \cos (x) + 1) (\cos (x) - 1)) = 0$

चरण 2.2.2.2

अनावश्यक कोष्ठक हटा दें.

$2 (2 \cos (x) + 1) (\cos (x) - 1) = 0$

चरण 2.3

यदि समीकरण के बांये पक्ष में कोई अकेला गुणनखंड $0$ के बराबर हो, तो सम्पूर्ण व्यंजक $0$ के बराबर होगा.

$2 \cos (x) + 1 = 0$

$\cos (x) - 1 = 0$

चरण 2.4

$2 \cos (x) + 1$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.1

$2 \cos (x) + 1$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$2 \cos (x) + 1 = 0$

चरण 2.4.2

$x$ के लिए $2 \cos (x) + 1 = 0$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.2.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $1$ घटाएं.

$2 \cos (x) = - 1$

चरण 2.4.2.2

$2 \cos (x) = - 1$ के प्रत्येक पद को $2$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.2.2.1

$2 \cos (x) = - 1$ के प्रत्येक पद को $2$ से विभाजित करें.

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

चरण 2.4.2.2.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.2.2.2.1

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.2.2.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

चरण 2.4.2.2.2.1.2

$\cos (x)$ को $1$ से विभाजित करें.

$\cos (x) = \frac{- 1}{2}$

चरण 2.4.2.2.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.2.2.3.1

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\cos (x) = - \frac{1}{2}$

चरण 2.4.2.3

कोज्या के अंदर से $x$ निकालने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों की व्युत्क्रम कोज्या लें.

$x = \arccos (- \frac{1}{2})$

चरण 2.4.2.4

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.2.4.1

$\arccos (- \frac{1}{2})$ का सटीक मान $\frac{2 π}{3}$ है.

$x = \frac{2 π}{3}$

चरण 2.4.2.5

दूसरे और तीसरे चतुर्थांश में कोज्या फलन ऋणात्मक होता है. दूसरा हल ज्ञात करने के लिए, तीसरे चतुर्थांश में हल ज्ञात करने के लिए संदर्भ कोण को $2 π$ से घटाएं.

$x = 2 π - \frac{2 π}{3}$

चरण 2.4.2.6

$2 π - \frac{2 π}{3}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.2.6.1

$2 π$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{3}{3}$ से गुणा करें.

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 π}{3}$

चरण 2.4.2.6.2

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.2.6.2.1

$2 π$ और $\frac{3}{3}$ को मिलाएं.

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{2 π}{3}$

चरण 2.4.2.6.2.2

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$x = \frac{2 π \cdot 3 - 2 π}{3}$

चरण 2.4.2.6.3

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.2.6.3.1

$3$ को $2$ से गुणा करें.

$x = \frac{6 π - 2 π}{3}$

चरण 2.4.2.6.3.2

$6 π$ में से $2 π$ घटाएं.

$x = \frac{4 π}{3}$

चरण 2.4.2.7

$\cos (x)$ का आवर्त ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.2.7.1

फलन की अवधि की गणना $\frac{2 π}{| b |}$ का उपयोग करके की जा सकती है.

$\frac{2 π}{| b |}$

चरण 2.4.2.7.2

आवर्त काल के लिए सूत्र में $b$ को $1$ से बदलें.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

चरण 2.4.2.7.3

निरपेक्ष मान किसी संख्या और शून्य के बीच की दूरी है. $0$ और $1$ के बीच की दूरी $1$ है.

$\frac{2 π}{1}$

चरण 2.4.2.7.4

$2 π$ को $1$ से विभाजित करें.

$2 π$

चरण 2.4.2.8

$\cos (x)$ फलन की अवधि $2 π$ है, इसलिए मान प्रत्येक $2 π$ रेडियन को दोनों दिशाओं में दोहराएंगे.

$x = \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n$ , किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए

चरण 2.5

$\cos (x) - 1$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.1

$\cos (x) - 1$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$\cos (x) - 1 = 0$

चरण 2.5.2

$x$ के लिए $\cos (x) - 1 = 0$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.2.1

समीकरण के दोनों पक्षों में $1$ जोड़ें.

$\cos (x) = 1$

चरण 2.5.2.2

$x = \arccos (1)$

चरण 2.5.2.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.2.3.1

$\arccos (1)$ का सटीक मान $0$ है.

$x = 0$

चरण 2.5.2.4

पहले और चौथे चतुर्थांश में कोज्या फलन धनात्मक होता है. दूसरा हल पता करने के लिए, चौथे चतुर्थांश में हल पता करने के लिए संदर्भ कोण को $2 π$ से घटाएं.

$x = 2 π - 0$

चरण 2.5.2.5

$2 π$ में से $0$ घटाएं.

$x = 2 π$

चरण 2.5.2.6

$\cos (x)$ का आवर्त ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.2.6.1

फलन की अवधि की गणना $\frac{2 π}{| b |}$ का उपयोग करके की जा सकती है.

$\frac{2 π}{| b |}$

चरण 2.5.2.6.2

आवर्त काल के लिए सूत्र में $b$ को $1$ से बदलें.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

चरण 2.5.2.6.3

निरपेक्ष मान किसी संख्या और शून्य के बीच की दूरी है. $0$ और $1$ के बीच की दूरी $1$ है.

$\frac{2 π}{1}$

चरण 2.5.2.6.4

$2 π$ को $1$ से विभाजित करें.

$2 π$

चरण 2.5.2.7

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n$ , किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए

चरण 2.6

अंतिम हल वो सभी मान हैं जो $2 (2 \cos (x) + 1) (\cos (x) - 1) = 0$ को सिद्ध करते हैं.

$x = \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n, 2 π n, 2 π + 2 π n$ , किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए

चरण 2.7

उत्तरों को समेकित करें.

$x = \frac{2 π n}{3}$ , किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए

चरण 3

मूल फलन $f (x) = \sin (2 x) - 2 \sin (x)$ को $x = \frac{2 π}{3}$ मान के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$f (\frac{2 π}{3}) = \sin (2 (\frac{2 π}{3})) - 2 \sin (\frac{2 π}{3})$

चरण 3.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1.1

$2 (\frac{2 π}{3})$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1.1.1

$2$ और $\frac{2 π}{3}$ को मिलाएं.

$f (\frac{2 π}{3}) = \sin (\frac{2 (2 π)}{3}) - 2 \sin (\frac{2 π}{3})$

चरण 3.2.1.1.2

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$f (\frac{2 π}{3}) = \sin (\frac{4 π}{3}) - 2 \sin (\frac{2 π}{3})$

चरण 3.2.1.2

पहले चतुर्थांश में तुल्य त्रिभुज मानों वाला कोण ज्ञात करके संदर्भ कोण लागू करें. व्यंजक को ऋणात्मक बनाएंं क्योंकि तीसरे चतुर्थांश में ज्या ऋणात्मक है.

$f (\frac{2 π}{3}) = - \sin (\frac{π}{3}) - 2 \sin (\frac{2 π}{3})$

चरण 3.2.1.3

$\sin (\frac{π}{3})$ का सटीक मान $\frac{\sqrt{3}}{2}$ है.

$f (\frac{2 π}{3}) = - \frac{\sqrt{3}}{2} - 2 \sin (\frac{2 π}{3})$

चरण 3.2.1.4

पहले चतुर्थांश में तुल्य त्रिभुज मानों वाला कोण ज्ञात करके संदर्भ कोण लागू करें.

$f (\frac{2 π}{3}) = - \frac{\sqrt{3}}{2} - 2 \sin (\frac{π}{3})$

चरण 3.2.1.5

$\sin (\frac{π}{3})$ का सटीक मान $\frac{\sqrt{3}}{2}$ है.

$f (\frac{2 π}{3}) = - \frac{\sqrt{3}}{2} - 2 \frac{\sqrt{3}}{2}$

चरण 3.2.1.6

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1.6.1

$- 2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$f (\frac{2 π}{3}) = - \frac{\sqrt{3}}{2} + 2 (- 1) (\frac{\sqrt{3}}{2})$

चरण 3.2.1.6.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f (\frac{2 π}{3}) = - \frac{\sqrt{3}}{2} + 2 \cdot (- 1 \frac{\sqrt{3}}{2})$

चरण 3.2.1.6.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f (\frac{2 π}{3}) = - \frac{\sqrt{3}}{2} - 1 \sqrt{3}$

चरण 3.2.1.7

$- 1 \sqrt{3}$ को $- \sqrt{3}$ के रूप में फिर से लिखें.

$f (\frac{2 π}{3}) = - \frac{\sqrt{3}}{2} - \sqrt{3}$

चरण 3.2.2

$- \sqrt{3}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$f (\frac{2 π}{3}) = - \frac{\sqrt{3}}{2} - \sqrt{3} \cdot \frac{2}{2}$

चरण 3.2.3

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.3.1

$- \sqrt{3}$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$f (\frac{2 π}{3}) = - \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{- \sqrt{3} \cdot 2}{2}$

चरण 3.2.3.2

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$f (\frac{2 π}{3}) = \frac{- \sqrt{3} - \sqrt{3} \cdot 2}{2}$

चरण 3.2.4

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.4.1

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$f (\frac{2 π}{3}) = \frac{- \sqrt{3} - 2 \sqrt{3}}{2}$

चरण 3.2.4.2

$- \sqrt{3}$ में से $2 \sqrt{3}$ घटाएं.

$f (\frac{2 π}{3}) = \frac{- 3 \sqrt{3}}{2}$

चरण 3.2.5

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$f (\frac{2 π}{3}) = - \frac{3 \sqrt{3}}{2}$

चरण 3.2.6

अंतिम उत्तर $- \frac{3 \sqrt{3}}{2}$ है.

$- \frac{3 \sqrt{3}}{2}$

चरण 4

फलन $f (x) = \sin (2 x) - 2 \sin (x)$ पर क्षैतिज स्पर्शरेखा $y = x = \frac{2 π n}{3}, y = - \frac{3 \sqrt{3}}{2}$ है.

$y = x = \frac{2 π n}{3}, y = - \frac{3 \sqrt{3}}{2}$

चरण 5

परिणाम कई रूपों में दिखाया जा सकता है.

सटीक रूप:

$y = x = \frac{2 π n}{3}, - \frac{3 \sqrt{3}}{2}$

दशमलव रूप:

$y = x = \frac{2 π n}{3}, - 2.59807621 \dots$

चरण 6