कैलकुलस उदाहरण

$y = x^{3} - 14 x^{2} + 9 x$

चरण 1

$y$ को $x$ के एक फलन के रूप में सेट करें.

$f (x) = x^{3} - 14 x^{2} + 9 x$

चरण 2

व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{3} - 14 x^{2} + 9 x$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 14 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x]$ है.

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 14 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x]$

चरण 2.1.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 3$ है.

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 14 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x]$

चरण 2.2

$\frac{d}{d x} [- 14 x^{2}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

चूंकि $- 14$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 14 x^{2}$ का व्युत्पन्न $- 14 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ है.

$3 x^{2} - 14 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x]$

चरण 2.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$3 x^{2} - 14 (2 x) + \frac{d}{d x} [9 x]$

चरण 2.2.3

$2$ को $- 14$ से गुणा करें.

$3 x^{2} - 28 x + \frac{d}{d x} [9 x]$

चरण 2.3

$\frac{d}{d x} [9 x]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

चूंकि $9$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $9 x$ का व्युत्पन्न $9 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$3 x^{2} - 28 x + 9 \frac{d}{d x} [x]$

चरण 2.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$3 x^{2} - 28 x + 9 \cdot 1$

चरण 2.3.3

$9$ को $1$ से गुणा करें.

$3 x^{2} - 28 x + 9$

चरण 3

व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें, फिर समीकरण $3 x^{2} - 28 x + 9 = 0$ को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

वर्गीकरण द्वारा गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.1

फॉर्म $a x^{2} + b x + c$ के बहुपद के लिए, मध्य पद को दो पदों के योग के रूप में फिर से लिखें, जिसका गुणनफल $a \cdot c = 3 \cdot 9 = 27$ है और जिसका योग $b = - 28$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.1.1

$- 28 x$ में से $- 28$ का गुणनखंड करें.

$3 x^{2} - 28 x + 9 = 0$

चरण 3.1.1.2

$- 28$ को $- 1$ जोड़ $- 27$ के रूप में फिर से लिखें

$3 x^{2} + (- 1 - 27) x + 9 = 0$

चरण 3.1.1.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$3 x^{2} - 1 x - 27 x + 9 = 0$

चरण 3.1.2

प्रत्येक समूह के महत्तम समापवर्तक का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.2.1

पहले दो पदों और अंतिम दो पदों को समूहित करें.

$(3 x^{2} - 1 x) - 27 x + 9 = 0$

चरण 3.1.2.2

प्रत्येक समूह के महत्तम समापवर्तक (GCF) का गुणनखंड करें.

$x (3 x - 1) - 9 (3 x - 1) = 0$

चरण 3.1.3

महत्तम समापवर्तक, $3 x - 1$ का गुणनखंड करके बहुपद का गुणनखंड करें.

$(3 x - 1) (x - 9) = 0$

चरण 3.2

यदि समीकरण के बांये पक्ष में कोई अकेला गुणनखंड $0$ के बराबर हो, तो सम्पूर्ण व्यंजक $0$ के बराबर होगा.

$3 x - 1 = 0$

$x - 9 = 0$

चरण 3.3

$3 x - 1$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

$3 x - 1$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$3 x - 1 = 0$

चरण 3.3.2

$x$ के लिए $3 x - 1 = 0$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.2.1

समीकरण के दोनों पक्षों में $1$ जोड़ें.

$3 x = 1$

चरण 3.3.2.2

$3 x = 1$ के प्रत्येक पद को $3$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.2.2.1

$3 x = 1$ के प्रत्येक पद को $3$ से विभाजित करें.

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

चरण 3.3.2.2.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.2.2.2.1

$3$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.2.2.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

चरण 3.3.2.2.2.1.2

$x$ को $1$ से विभाजित करें.

$x = \frac{1}{3}$

चरण 3.4

$x - 9$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.1

$x - 9$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x - 9 = 0$

चरण 3.4.2

समीकरण के दोनों पक्षों में $9$ जोड़ें.

$x = 9$

चरण 3.5

अंतिम हल वो सभी मान हैं जो $(3 x - 1) (x - 9) = 0$ को सिद्ध करते हैं.

$x = \frac{1}{3}, 9$

चरण 4

मूल फलन $f (x) = x^{3} - 14 x^{2} + 9 x$ को $x = \frac{1}{3}$ मान के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

व्यंजक में चर $x$ को $\frac{1}{3}$ से बदलें.

$f (\frac{1}{3}) = {(\frac{1}{3})}^{3} - 14 {(\frac{1}{3})}^{2} + 9 (\frac{1}{3})$

चरण 4.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1.1

उत्पाद नियम को $\frac{1}{3}$ पर लागू करें.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1^{3}}{3^{3}} - 14 {(\frac{1}{3})}^{2} + 9 (\frac{1}{3})$

चरण 4.2.1.2

एक का कोई भी घात एक होता है.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{3^{3}} - 14 {(\frac{1}{3})}^{2} + 9 (\frac{1}{3})$

चरण 4.2.1.3

$3$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - 14 {(\frac{1}{3})}^{2} + 9 (\frac{1}{3})$

चरण 4.2.1.4

उत्पाद नियम को $\frac{1}{3}$ पर लागू करें.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - 14 \frac{1^{2}}{3^{2}} + 9 (\frac{1}{3})$

चरण 4.2.1.5

एक का कोई भी घात एक होता है.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - 14 \frac{1}{3^{2}} + 9 (\frac{1}{3})$

चरण 4.2.1.6

$3$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - 14 (\frac{1}{9}) + 9 (\frac{1}{3})$

चरण 4.2.1.7

$- 14$ और $\frac{1}{9}$ को मिलाएं.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} + \frac{- 14}{9} + 9 (\frac{1}{3})$

चरण 4.2.1.8

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - \frac{14}{9} + 9 (\frac{1}{3})$

चरण 4.2.1.9

$3$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1.9.1

$9$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - \frac{14}{9} + 3 (3) (\frac{1}{3})$

चरण 4.2.1.9.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - \frac{14}{9} + 3 \cdot (3 (\frac{1}{3}))$

चरण 4.2.1.9.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - \frac{14}{9} + 3$

चरण 4.2.2

सामान्य भाजक पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.2.1

$\frac{14}{9}$ को $\frac{3}{3}$ से गुणा करें.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - (\frac{14}{9} \cdot \frac{3}{3}) + 3$

चरण 4.2.2.2

$\frac{14}{9}$ को $\frac{3}{3}$ से गुणा करें.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - \frac{14 \cdot 3}{9 \cdot 3} + 3$

चरण 4.2.2.3

$3$ को भाजक $1$ वाली भिन्न के रूप में लिखें.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - \frac{14 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{3}{1}$

चरण 4.2.2.4

$\frac{3}{1}$ को $\frac{27}{27}$ से गुणा करें.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - \frac{14 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{3}{1} \cdot \frac{27}{27}$

चरण 4.2.2.5

$\frac{3}{1}$ को $\frac{27}{27}$ से गुणा करें.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - \frac{14 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{3 \cdot 27}{27}$

चरण 4.2.2.6

$9 \cdot 3$ के गुणनखंडों को फिर से क्रमित करें.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - \frac{14 \cdot 3}{3 \cdot 9} + \frac{3 \cdot 27}{27}$

चरण 4.2.2.7

$3$ को $9$ से गुणा करें.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - \frac{14 \cdot 3}{27} + \frac{3 \cdot 27}{27}$

चरण 4.2.3

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1 - 14 \cdot 3 + 3 \cdot 27}{27}$

चरण 4.2.4

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.4.1

$- 14$ को $3$ से गुणा करें.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1 - 42 + 3 \cdot 27}{27}$

चरण 4.2.4.2

$3$ को $27$ से गुणा करें.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1 - 42 + 81}{27}$

चरण 4.2.5

जोड़कर और घटाकर सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.5.1

$1$ में से $42$ घटाएं.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{- 41 + 81}{27}$

चरण 4.2.5.2

$- 41$ और $81$ जोड़ें.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{40}{27}$

चरण 4.2.6

अंतिम उत्तर $\frac{40}{27}$ है.

$\frac{40}{27}$

चरण 5

मूल फलन $f (x) = x^{3} - 14 x^{2} + 9 x$ को $x = 9$ मान के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

व्यंजक में चर $x$ को $9$ से बदलें.

$f (9) = {(9)}^{3} - 14 {(9)}^{2} + 9 (9)$

चरण 5.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1.1

$9$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$f (9) = 729 - 14 {(9)}^{2} + 9 (9)$

चरण 5.2.1.2

$9$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f (9) = 729 - 14 \cdot 81 + 9 (9)$

चरण 5.2.1.3

$- 14$ को $81$ से गुणा करें.

$f (9) = 729 - 1134 + 9 (9)$

चरण 5.2.1.4

$9$ को $9$ से गुणा करें.

$f (9) = 729 - 1134 + 81$

चरण 5.2.2

जोड़कर और घटाकर सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.2.1

$729$ में से $1134$ घटाएं.

$f (9) = - 405 + 81$

चरण 5.2.2.2

$- 405$ और $81$ जोड़ें.

$f (9) = - 324$

चरण 5.2.3

अंतिम उत्तर $- 324$ है.

$- 324$

चरण 6

फलन $f (x) = x^{3} - 14 x^{2} + 9 x$ पर क्षैतिज स्पर्शरेखाएं $y = \frac{40}{27}, y = - 324$ हैं.

$y = \frac{40}{27}, y = - 324$

चरण 7