कैलकुलस उदाहरण

$y = x + \sin (x y)$

चरण 1

समीकरण के दोनों पक्षों का अवकलन करें.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x + \sin (x y))$

चरण 2

$x$ के संबंध में $y$ का व्युत्पन्न $y'$ है.

$y'$

चरण 3

समीकरण के दाएं पक्ष का अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x + \sin (x y)$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sin (x y)]$ है.

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sin (x y)]$

चरण 3.1.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$1 + \frac{d}{d x} [\sin (x y)]$

चरण 3.2

$\frac{d}{d x} [\sin (x y)]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \sin (x)$ और $g (x) = x y$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $x y$ के रूप में सेट करें.

$1 + \frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [x y]$

चरण 3.2.1.2

$u$ के संबंध में $\sin (u)$ का व्युत्पन्न $\cos (u)$ है.

$1 + \cos (u) \frac{d}{d x} [x y]$

चरण 3.2.1.3

$u$ की सभी घटनाओं को $x y$ से बदलें.

$1 + \cos (x y) \frac{d}{d x} [x y]$

चरण 3.2.2

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = x$ और $g (x) = y$ है.

$1 + \cos (x y) (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

चरण 3.2.3

$\frac{d}{d x} [y]$ को $y'$ के रूप में फिर से लिखें.

$1 + \cos (x y) (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

चरण 3.2.4

$1 + \cos (x y) (x y' + y \cdot 1)$

चरण 3.2.5

$y$ को $1$ से गुणा करें.

$1 + \cos (x y) (x y' + y)$

चरण 3.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$1 + \cos (x y) (x y') + \cos (x y) y$

चरण 3.3.2

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$x \cos (x y) y' + y \cos (x y) + 1$

चरण 4

बाईं ओर को दाईं ओर के बराबर सेट करके समीकरण को सुधारें.

$y' = x \cos (x y) y' + y \cos (x y) + 1$

चरण 5

$y'$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.1

गुणनखंडों को $x \cos (x y) y' + y \cos (x y) + 1$ में पुन: क्रमित करें.

$y' = x y' \cos (x y) + y \cos (x y) + 1$

चरण 5.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $x y' \cos (x y)$ घटाएं.

$y' - x y' \cos (x y) = y \cos (x y) + 1$

चरण 5.3

$y' - x y' \cos (x y)$ में से $y'$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.1

${y'}^{1}$ में से $y'$ का गुणनखंड करें.

$y' \cdot 1 - x y' \cos (x y) = y \cos (x y) + 1$

चरण 5.3.2

$- x y' \cos (x y)$ में से $y'$ का गुणनखंड करें.

$y' \cdot 1 + y' (- x \cos (x y)) = y \cos (x y) + 1$

चरण 5.3.3

$y' \cdot 1 + y' (- x \cos (x y))$ में से $y'$ का गुणनखंड करें.

$y' (1 - x \cos (x y)) = y \cos (x y) + 1$

चरण 5.4

$y' (1 - x \cos (x y)) = y \cos (x y) + 1$ के प्रत्येक पद को $1 - x \cos (x y)$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.1

$y' (1 - x \cos (x y)) = y \cos (x y) + 1$ के प्रत्येक पद को $1 - x \cos (x y)$ से विभाजित करें.

$\frac{y' (1 - x \cos (x y))}{1 - x \cos (x y)} = \frac{y \cos (x y)}{1 - x \cos (x y)} + \frac{1}{1 - x \cos (x y)}$

चरण 5.4.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.2.1

$1 - x \cos (x y)$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{y' (1 - x \cos (x y))}{1 - x \cos (x y)} = \frac{y \cos (x y)}{1 - x \cos (x y)} + \frac{1}{1 - x \cos (x y)}$

चरण 5.4.2.1.2

$y'$ को $1$ से विभाजित करें.

$y' = \frac{y \cos (x y)}{1 - x \cos (x y)} + \frac{1}{1 - x \cos (x y)}$

चरण 5.4.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.3.1

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$y' = \frac{y \cos (x y) + 1}{1 - x \cos (x y)}$

चरण 6

$y'$ को $\frac{d y}{d x}$ से बदलें.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cos (x y) + 1}{1 - x \cos (x y)}$

चरण 7

$\frac{d y}{d x} = 0$ सेट करें और फिर $x$ को $y$ के रूप में हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

न्यूमेरेटर को शून्य के बराबर सेट करें.

$y \cos (x y) + 1 = 0$

चरण 7.2

$x$ के लिए समीकरण को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $1$ घटाएं.

$y \cos (x y) = - 1$

चरण 7.2.2

$y \cos (x y) = - 1$ के प्रत्येक पद को $y$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.2.1

$y \cos (x y) = - 1$ के प्रत्येक पद को $y$ से विभाजित करें.

$\frac{y \cos (x y)}{y} = \frac{- 1}{y}$

चरण 7.2.2.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.2.2.1

$y$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.2.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{y \cos (x y)}{y} = \frac{- 1}{y}$

चरण 7.2.2.2.1.2

$\cos (x y)$ को $1$ से विभाजित करें.

$\cos (x y) = \frac{- 1}{y}$

चरण 7.2.2.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.2.3.1

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\cos (x y) = - \frac{1}{y}$

चरण 7.2.3

कोज्या के अंदर से $x$ निकालने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों की व्युत्क्रम कोज्या लें.

$x y = \arccos (- \frac{1}{y})$

चरण 7.2.4

$x y = \arccos (- \frac{1}{y})$ के प्रत्येक पद को $y$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.4.1

$x y = \arccos (- \frac{1}{y})$ के प्रत्येक पद को $y$ से विभाजित करें.

$\frac{x y}{y} = \frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y}$

चरण 7.2.4.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.4.2.1

$y$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.4.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{x y}{y} = \frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y}$

चरण 7.2.4.2.1.2

$x$ को $1$ से विभाजित करें.

$x = \frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y}$

चरण 8

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

$(\frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y}) + \sin ((\frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y}) y)$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1.1.1

$y$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1.1.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$y = \frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y} + \sin (\frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y} y)$

चरण 8.1.1.1.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$y = \frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y} + \sin (\arccos (- \frac{1}{y}))$

चरण 8.1.1.2

समतल में एक त्रिभुज बनाएंं जिसमें शीर्ष $(- \frac{1}{y}, \sqrt{1^{2} - {(- \frac{1}{y})}^{2}})$ , $(- \frac{1}{y}, 0)$ और मूल बिंदु हों. फिर $\arccos (- \frac{1}{y})$ धनात्मक x-अक्ष और किरण के बीच का कोण है जो मूल बिंदु से शुरू होकर $(- \frac{1}{y}, \sqrt{1^{2} - {(- \frac{1}{y})}^{2}})$ से होकर गुजरती है. इसलिए, $\sin (\arccos (- \frac{1}{y}))$ $\sqrt{1 - {(- \frac{1}{y})}^{2}}$ है.

$y = \frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y} + \sqrt{1 - {(- \frac{1}{y})}^{2}}$

चरण 8.1.1.3

$1$ को $1^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$y = \frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y} + \sqrt{1^{2} - {(- \frac{1}{y})}^{2}}$

चरण 8.1.1.4

चूंकि दोनों पद पूर्ण वर्ग हैं, इसलिए वर्ग सूत्र $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ के अंतर का उपयोग करके गुणनखंड निकालें जहां $a = 1$ और $b = - \frac{1}{y}$ .

$y = \frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y} + \sqrt{(1 - \frac{1}{y}) (1 - - \frac{1}{y})}$

चरण 8.1.1.5

$- - \frac{1}{y}$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1.1.5.1

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$y = \frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y} + \sqrt{(1 - \frac{1}{y}) (1 + 1 \frac{1}{y})}$

चरण 8.1.1.5.2

$\frac{1}{y}$ को $1$ से गुणा करें.

$y = \frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y} + \sqrt{(1 - \frac{1}{y}) (1 + \frac{1}{y})}$

चरण 8.1.1.6

एक सामान्य भाजक के साथ $1$ को भिन्न के रूप में लिखें.

$y = \frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y} + \sqrt{(\frac{y}{y} - \frac{1}{y}) (1 + \frac{1}{y})}$

चरण 8.1.1.7

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$y = \frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y} + \sqrt{\frac{y - 1}{y} (1 + \frac{1}{y})}$

चरण 8.1.1.8

एक सामान्य भाजक के साथ $1$ को भिन्न के रूप में लिखें.

$y = \frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y} + \sqrt{\frac{y - 1}{y} (\frac{y}{y} + \frac{1}{y})}$

चरण 8.1.1.9

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$y = \frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y} + \sqrt{\frac{y - 1}{y} \cdot \frac{y + 1}{y}}$

चरण 8.1.1.10

$\frac{y - 1}{y}$ को $\frac{y + 1}{y}$ से गुणा करें.

$y = \frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y} + \sqrt{\frac{(y - 1) (y + 1)}{y \cdot y}}$

चरण 8.1.1.11

$y$ को $y$ से गुणा करें.

$y = \frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y} + \sqrt{\frac{(y - 1) (y + 1)}{y^{2}}}$

चरण 8.1.1.12

$\frac{(y - 1) (y + 1)}{y^{2}}$ को ${(\frac{1}{y})}^{2} ((y - 1) (y + 1))$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1.1.12.1

$(y - 1) (y + 1)$ में से पूर्ण घात $1^{2}$ का गुणनखंड करें.

$y = \frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y} + \sqrt{\frac{1^{2} ((y - 1) (y + 1))}{y^{2}}}$

चरण 8.1.1.12.2

$y^{2}$ में से पूर्ण घात $y^{2}$ का गुणनखंड करें.

$y = \frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y} + \sqrt{\frac{1^{2} ((y - 1) (y + 1))}{y^{2} \cdot 1}}$

चरण 8.1.1.12.3

भिन्न को पुनर्व्यवस्थित करें $\frac{1^{2} ((y - 1) (y + 1))}{y^{2} \cdot 1}$ .

$y = \frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y} + \sqrt{{(\frac{1}{y})}^{2} ((y - 1) (y + 1))}$

चरण 8.1.1.13

करणी से पदों को बाहर निकालें.

$y = \frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y} + \frac{1}{y} \sqrt{(y - 1) (y + 1)}$

चरण 8.1.1.14

$\frac{1}{y}$ और $\sqrt{(y - 1) (y + 1)}$ को मिलाएं.

$y = \frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y} + \frac{\sqrt{(y - 1) (y + 1)}}{y}$

चरण 8.1.2

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$y = \frac{\arccos (- \frac{1}{y}) + \sqrt{(y - 1) (y + 1)}}{y}$

चरण 8.2

समीकरण के प्रत्येक पक्ष को ग्राफ करें. हल प्रतिच्छेदन बिंदु का x-मान है.

$y \approx 1.94368519$

चरण 9

Solve for $x$ when $y$ is $1.94368519$ .

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

कोष्ठक हटा दें.

$x = \frac{\arccos (- \frac{1}{1.94368519})}{1.94368519}$

चरण 9.2

$\frac{\arccos (- \frac{1}{1.94368519})}{1.94368519}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.2.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.2.1.1

$1$ को $1.94368519$ से विभाजित करें.

$x = \frac{\arccos (- 1 \cdot 0.5144866)}{1.94368519}$

चरण 9.2.1.2

$- 1$ को $0.5144866$ से गुणा करें.

$x = \frac{\arccos (- 0.5144866)}{1.94368519}$

चरण 9.2.1.3

$\arccos (- 0.5144866)$ का मान ज्ञात करें.

$x = \frac{2.11120515}{1.94368519}$

चरण 9.2.2

$2.11120515$ को $1.94368519$ से विभाजित करें.

$x = 1.08618677$

चरण 10

$\frac{d y}{d x} = 0$ वाले बिंदुओं को पता करें.

$(1.08618677, 1.94368519)$

चरण 11