कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - 3 x^{2} + 9 x + 20$

चरण 1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $\frac{1}{3} x^{3} - 3 x^{2} + 9 x + 20$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [20]$ है.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [20]$

चरण 1.1.2

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.1

चूंकि $\frac{1}{3}$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $\frac{1}{3} x^{3}$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ है.

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [20]$

चरण 1.1.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 3$ है.

$\frac{1}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [20]$

चरण 1.1.2.3

$3$ और $\frac{1}{3}$ को मिलाएं.

$\frac{3}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [20]$

चरण 1.1.2.4

$\frac{3}{3}$ और $x^{2}$ को मिलाएं.

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [20]$

चरण 1.1.2.5

$3$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.5.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [20]$

चरण 1.1.2.5.2

$x^{2}$ को $1$ से विभाजित करें.

$x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [20]$

चरण 1.1.3

$\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.3.1

चूंकि $- 3$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 3 x^{2}$ का व्युत्पन्न $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ है.

$x^{2} - 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [20]$

चरण 1.1.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$x^{2} - 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [20]$

चरण 1.1.3.3

$2$ को $- 3$ से गुणा करें.

$x^{2} - 6 x + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [20]$

चरण 1.1.4

$\frac{d}{d x} [9 x]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.4.1

चूंकि $9$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $9 x$ का व्युत्पन्न $9 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$x^{2} - 6 x + 9 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [20]$

चरण 1.1.4.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$x^{2} - 6 x + 9 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [20]$

चरण 1.1.4.3

$9$ को $1$ से गुणा करें.

$x^{2} - 6 x + 9 + \frac{d}{d x} [20]$

चरण 1.1.5

स्थिरांक नियम का उपयोग करके अंतर करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.5.1

चूंकि $x$ के संबंध में $20$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $20$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$x^{2} - 6 x + 9 + 0$

चरण 1.1.5.2

$x^{2} - 6 x + 9$ और $0$ जोड़ें.

$f' (x) = x^{2} - 6 x + 9$

चरण 1.2

$f (x)$ का पहला व्युत्पन्न बटे $x$ , $x^{2} - 6 x + 9$ है.

$x^{2} - 6 x + 9$

चरण 2

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें, फिर समीकरण $x^{2} - 6 x + 9 = 0$ को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें.

$x^{2} - 6 x + 9 = 0$

चरण 2.2

पूर्ण वर्ग नियम का उपयोग करके गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

$9$ को $3^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x^{2} - 6 x + 3^{2} = 0$

चरण 2.2.2

जाँच करें कि मध्य पद पहले पद और तीसरे पद में वर्गीकृत की जा रही संख्याओं के गुणनफल का दोगुना है.

$6 x = 2 \cdot x \cdot 3$

चरण 2.2.3

बहुपद को फिर से लिखें.

$x^{2} - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^{2} = 0$

चरण 2.2.4

पूर्ण वर्ग त्रिपद नियम $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ का उपयोग करके गुणनखंड करें, जहाँ $a = x$ और $b = 3$ है.

${(x - 3)}^{2} = 0$

चरण 2.3

$x - 3$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x - 3 = 0$

चरण 2.4

समीकरण के दोनों पक्षों में $3$ जोड़ें.

$x = 3$

चरण 3

वे मान जो व्युत्पन्न को $0$ के बराबर बनाते हैं, वे $3$ हैं.

$3$

चरण 4

उस बिंदु को खोजने के बाद जो व्युत्पन्न $f' (x) = x^{2} - 6 x + 9$ को $0$ के बराबर या अपरिभाषित बनाता है, यह जांचने के लिए अंतराल $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - 3 x^{2} + 9 x + 20$ कहां बढ़ रहा है और कहां घट रहा है $(- \infty, 3) \cup (3, \infty)$ है.

$(- \infty, 3) \cup (3, \infty)$

चरण 5

यह निर्धारित करने के लिए कि फलन बढ़ रहा है या घट रहा है, अंतराल $(- \infty, 3)$ से एक मान को व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

व्यंजक में चर $x$ को $2$ से बदलें.

$f' (2) = {(2)}^{2} - 6 \cdot 2 + 9$

चरण 5.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1.1

$2$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (2) = 4 - 6 \cdot 2 + 9$

चरण 5.2.1.2

$- 6$ को $2$ से गुणा करें.

$f' (2) = 4 - 12 + 9$

चरण 5.2.2

जोड़कर और घटाकर सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.2.1

$4$ में से $12$ घटाएं.

$f' (2) = - 8 + 9$

चरण 5.2.2.2

$- 8$ और $9$ जोड़ें.

$f' (2) = 1$

चरण 5.2.3

अंतिम उत्तर $1$ है.

$1$

चरण 5.3

$x = 2$ पर व्युत्पन्न $1$ है. चूंकि यह सकारात्मक है, $(- \infty, 3)$ पर फलन बढ़ रहा है.

$f' (x) > 0$ के बाद से $(- \infty, 3)$ पर बढ़ रहा है

चरण 6

यह निर्धारित करने के लिए कि फलन बढ़ रहा है या घट रहा है, अंतराल $(3, \infty)$ से एक मान को व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

व्यंजक में चर $x$ को $4$ से बदलें.

$f' (4) = {(4)}^{2} - 6 \cdot 4 + 9$

चरण 6.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1.1

$4$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (4) = 16 - 6 \cdot 4 + 9$

चरण 6.2.1.2

$- 6$ को $4$ से गुणा करें.

$f' (4) = 16 - 24 + 9$

चरण 6.2.2

जोड़कर और घटाकर सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.2.1

$16$ में से $24$ घटाएं.

$f' (4) = - 8 + 9$

चरण 6.2.2.2

$- 8$ और $9$ जोड़ें.

$f' (4) = 1$

चरण 6.2.3

अंतिम उत्तर $1$ है.

$1$

चरण 6.3

$x = 4$ पर व्युत्पन्न $1$ है. चूंकि यह सकारात्मक है, $(3, \infty)$ पर फलन बढ़ रहा है.

$f' (x) > 0$ के बाद से $(3, \infty)$ पर बढ़ रहा है

चरण 7

उन अंतरालों की सूची बनाइए जिन पर फलन बढ़ रहा है और घट रहा है.

बढ़ रहा है: $(- \infty, 3), (3, \infty)$

चरण 8