कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = 4 x + 3 x^{2} - x^{3}$

चरण 1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $4 x + 3 x^{2} - x^{3}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$ है.

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

चरण 1.1.2

$\frac{d}{d x} [4 x]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.1

चूंकि $4$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $4 x$ का व्युत्पन्न $4 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

चरण 1.1.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

चरण 1.1.2.3

$4$ को $1$ से गुणा करें.

$4 + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

चरण 1.1.3

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.3.1

चूंकि $3$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $3 x^{2}$ का व्युत्पन्न $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ है.

$4 + 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

चरण 1.1.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$4 + 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

चरण 1.1.3.3

$2$ को $3$ से गुणा करें.

$4 + 6 x + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

चरण 1.1.4

$\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.4.1

चूंकि $- 1$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- x^{3}$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ है.

$4 + 6 x - \frac{d}{d x} [x^{3}]$

चरण 1.1.4.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 3$ है.

$4 + 6 x - (3 x^{2})$

चरण 1.1.4.3

$3$ को $- 1$ से गुणा करें.

$4 + 6 x - 3 x^{2}$

चरण 1.1.5

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$f' (x) = - 3 x^{2} + 6 x + 4$

चरण 1.2

$f (x)$ का पहला व्युत्पन्न बटे $x$ , $- 3 x^{2} + 6 x + 4$ है.

$- 3 x^{2} + 6 x + 4$

चरण 2

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें, फिर समीकरण $- 3 x^{2} + 6 x + 4 = 0$ को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें.

$- 3 x^{2} + 6 x + 4 = 0$

चरण 2.2

हल पता करने के लिए द्विघात सूत्र का प्रयोग करें.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

चरण 2.3

द्विघात सूत्र में $a = - 3$ , $b = 6$ और $c = 4$ मानों को प्रतिस्थापित करें और $x$ के लिए हल करें.

$\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot (- 3 \cdot 4)}}{2 \cdot - 3}$

चरण 2.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.1.1

$6$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot - 3 \cdot 4}}{2 \cdot - 3}$

चरण 2.4.1.2

$- 4 \cdot - 3 \cdot 4$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.1.2.1

$- 4$ को $- 3$ से गुणा करें.

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 12 \cdot 4}}{2 \cdot - 3}$

चरण 2.4.1.2.2

$12$ को $4$ से गुणा करें.

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 48}}{2 \cdot - 3}$

चरण 2.4.1.3

$36$ और $48$ जोड़ें.

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{84}}{2 \cdot - 3}$

चरण 2.4.1.4

$84$ को $2^{2} \cdot 21$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.1.4.1

$84$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{4 (21)}}{2 \cdot - 3}$

चरण 2.4.1.4.2

$4$ को $2^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 21}}{2 \cdot - 3}$

चरण 2.4.1.5

करणी से पदों को बाहर निकालें.

$x = \frac{- 6 \pm 2 \sqrt{21}}{2 \cdot - 3}$

चरण 2.4.2

$2$ को $- 3$ से गुणा करें.

$x = \frac{- 6 \pm 2 \sqrt{21}}{- 6}$

चरण 2.4.3

$\frac{- 6 \pm 2 \sqrt{21}}{- 6}$ को सरल करें.

$x = \frac{3 \pm \sqrt{21}}{3}$

चरण 2.5

$\pm$ के $+$ भाग को हल करने के लिए व्यंजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.1.1

$6$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot - 3 \cdot 4}}{2 \cdot - 3}$

चरण 2.5.1.2

$- 4 \cdot - 3 \cdot 4$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.1.2.1

$- 4$ को $- 3$ से गुणा करें.

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 12 \cdot 4}}{2 \cdot - 3}$

चरण 2.5.1.2.2

$12$ को $4$ से गुणा करें.

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 48}}{2 \cdot - 3}$

चरण 2.5.1.3

$36$ और $48$ जोड़ें.

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{84}}{2 \cdot - 3}$

चरण 2.5.1.4

$84$ को $2^{2} \cdot 21$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.1.4.1

$84$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{4 (21)}}{2 \cdot - 3}$

चरण 2.5.1.4.2

$4$ को $2^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 21}}{2 \cdot - 3}$

चरण 2.5.1.5

करणी से पदों को बाहर निकालें.

$x = \frac{- 6 \pm 2 \sqrt{21}}{2 \cdot - 3}$

चरण 2.5.2

$2$ को $- 3$ से गुणा करें.

$x = \frac{- 6 \pm 2 \sqrt{21}}{- 6}$

चरण 2.5.3

$\frac{- 6 \pm 2 \sqrt{21}}{- 6}$ को सरल करें.

$x = \frac{3 \pm \sqrt{21}}{3}$

चरण 2.5.4

$\pm$ को $+$ में बदलें.

$x = \frac{3 + \sqrt{21}}{3}$

चरण 2.6

$\pm$ के $-$ भाग को हल करने के लिए व्यंजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.6.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.6.1.1

$6$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot - 3 \cdot 4}}{2 \cdot - 3}$

चरण 2.6.1.2

$- 4 \cdot - 3 \cdot 4$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.6.1.2.1

$- 4$ को $- 3$ से गुणा करें.

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 12 \cdot 4}}{2 \cdot - 3}$

चरण 2.6.1.2.2

$12$ को $4$ से गुणा करें.

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 48}}{2 \cdot - 3}$

चरण 2.6.1.3

$36$ और $48$ जोड़ें.

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{84}}{2 \cdot - 3}$

चरण 2.6.1.4

$84$ को $2^{2} \cdot 21$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.6.1.4.1

$84$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{4 (21)}}{2 \cdot - 3}$

चरण 2.6.1.4.2

$4$ को $2^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 21}}{2 \cdot - 3}$

चरण 2.6.1.5

करणी से पदों को बाहर निकालें.

$x = \frac{- 6 \pm 2 \sqrt{21}}{2 \cdot - 3}$

चरण 2.6.2

$2$ को $- 3$ से गुणा करें.

$x = \frac{- 6 \pm 2 \sqrt{21}}{- 6}$

चरण 2.6.3

$\frac{- 6 \pm 2 \sqrt{21}}{- 6}$ को सरल करें.

$x = \frac{3 \pm \sqrt{21}}{3}$

चरण 2.6.4

$\pm$ को $-$ में बदलें.

$x = \frac{3 - \sqrt{21}}{3}$

चरण 2.7

अंतिम उत्तर दोनों हलों का संयोजन है.

$x = \frac{3 + \sqrt{21}}{3}, \frac{3 - \sqrt{21}}{3}$

चरण 3

वे मान जो व्युत्पन्न को $0$ के बराबर बनाते हैं, वे $\frac{3 + \sqrt{21}}{3}, \frac{3 - \sqrt{21}}{3}$ हैं.

$\frac{3 + \sqrt{21}}{3}, \frac{3 - \sqrt{21}}{3}$

चरण 4

$(- \infty, \infty)$ को $x$ मानों के आस-पास अलग-अलग अंतराल में विभाजित करें जो व्युत्पन्न $0$ या अपरिभाषित बनाते हैं.

$(- \infty, \frac{3 - \sqrt{21}}{3}) \cup (\frac{3 - \sqrt{21}}{3}, \frac{3 + \sqrt{21}}{3}) \cup (\frac{3 + \sqrt{21}}{3}, \infty)$

चरण 5

यह निर्धारित करने के लिए कि फलन बढ़ रहा है या घट रहा है, अंतराल $(- \infty, \frac{3 - \sqrt{21}}{3})$ से एक मान को व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

व्यंजक में चर $x$ को $- 1.52752525$ से बदलें.

$f' (- 1.52752525) = - 3 {(- 1.52752525)}^{2} + 6 (- 1.52752525) + 4$

चरण 5.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1.1

$- 1.52752525$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (- 1.52752525) = - 3 \cdot 2.33333338 + 6 (- 1.52752525) + 4$

चरण 5.2.1.2

$- 3$ को $2.33333338$ से गुणा करें.

$f' (- 1.52752525) = - 7.00000016 + 6 (- 1.52752525) + 4$

चरण 5.2.1.3

$6$ को $- 1.52752525$ से गुणा करें.

$f' (- 1.52752525) = - 7.00000016 - 9.1651515 + 4$

चरण 5.2.2

जोड़कर और घटाकर सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.2.1

$- 7.00000016$ में से $9.1651515$ घटाएं.

$f' (- 1.52752525) = - 16.16515166 + 4$

चरण 5.2.2.2

$- 16.16515166$ और $4$ जोड़ें.

$f' (- 1.52752525) = - 12.16515166$

चरण 5.2.3

अंतिम उत्तर $- 12.16515166$ है.

$- 12.16515166$

चरण 5.3

$x = - 1.52752525$ पर व्युत्पन्न $- 12.16515166$ है. चूंकि यह ऋणात्मक है, $(- \infty, \frac{3 - \sqrt{21}}{3})$ पर फलन कम हो रहा है.

$f' (x) < 0$ से $(- \infty, \frac{3 - \sqrt{21}}{3})$ पर घटता हुआ

चरण 6

यह निर्धारित करने के लिए कि फलन बढ़ रहा है या घट रहा है, अंतराल $(- 0.52752525, \frac{3 + \sqrt{21}}{3})$ से एक मान को व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

व्यंजक में चर $x$ को $0.99999997$ से बदलें.

$f' (0.99999997) = - 3 {(0.99999997)}^{2} + 6 (0.99999997) + 4$

चरण 6.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1.1

$0.99999997$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (0.99999997) = - 3 \cdot 0.99999995 + 6 (0.99999997) + 4$

चरण 6.2.1.2

$- 3$ को $0.99999995$ से गुणा करें.

$f' (0.99999997) = - 2.99999985 + 6 (0.99999997) + 4$

चरण 6.2.1.3

$6$ को $0.99999997$ से गुणा करें.

$f' (0.99999997) = - 2.99999985 + 5.99999985 + 4$

चरण 6.2.2

संख्याओं को जोड़कर सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.2.1

$- 2.99999985$ और $5.99999985$ जोड़ें.

$f' (0.99999997) = 3 + 4$

चरण 6.2.2.2

$3$ और $4$ जोड़ें.

$f' (0.99999997) = 7$

चरण 6.2.3

अंतिम उत्तर $7$ है.

$7$

चरण 6.3

$x = 0.99999997$ पर व्युत्पन्न $7$ है. चूंकि यह सकारात्मक है, $(- 0.52752525, \frac{3 + \sqrt{21}}{3})$ पर फलन बढ़ रहा है.

$f' (x) > 0$ के बाद से $(\frac{3 - \sqrt{21}}{3}, \frac{3 + \sqrt{21}}{3})$ पर बढ़ रहा है

चरण 7

यह निर्धारित करने के लिए कि फलन बढ़ रहा है या घट रहा है, अंतराल $(\frac{3 + \sqrt{21}}{3}, \infty)$ से एक मान को व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

व्यंजक में चर $x$ को $3.5275252$ से बदलें.

$f' (3.5275252) = - 3 {(3.5275252)}^{2} + 6 (3.5275252) + 4$

चरण 7.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1.1

$3.5275252$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (3.5275252) = - 3 \cdot 12.44343403 + 6 (3.5275252) + 4$

चरण 7.2.1.2

$- 3$ को $12.44343403$ से गुणा करें.

$f' (3.5275252) = - 37.3303021 + 6 (3.5275252) + 4$

चरण 7.2.1.3

$6$ को $3.5275252$ से गुणा करें.

$f' (3.5275252) = - 37.3303021 + 21.1651512 + 4$

चरण 7.2.2

संख्याओं को जोड़कर सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.2.1

$- 37.3303021$ और $21.1651512$ जोड़ें.

$f' (3.5275252) = - 16.1651509 + 4$

चरण 7.2.2.2

$- 16.1651509$ और $4$ जोड़ें.

$f' (3.5275252) = - 12.1651509$

चरण 7.2.3

अंतिम उत्तर $- 12.1651509$ है.

$- 12.1651509$

चरण 7.3

$x = 3.5275252$ पर व्युत्पन्न $- 12.1651509$ है. चूंकि यह ऋणात्मक है, $(\frac{3 + \sqrt{21}}{3}, \infty)$ पर फलन कम हो रहा है.

$f' (x) < 0$ से $(\frac{3 + \sqrt{21}}{3}, \infty)$ पर घटता हुआ

चरण 8

उन अंतरालों की सूची बनाइए जिन पर फलन बढ़ रहा है और घट रहा है.

बढ़ रहा है: $(\frac{3 - \sqrt{21}}{3}, \frac{3 + \sqrt{21}}{3})$

इस पर घटता हुआ: $(- \infty, \frac{3 - \sqrt{21}}{3}), (\frac{3 + \sqrt{21}}{3}, \infty)$

चरण 9