कैलकुलस उदाहरण

$y = {(\frac{x + 1}{x - 1})}^{7}$

चरण 1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{7}$ और $g (x) = \frac{x + 1}{x - 1}$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $\frac{x + 1}{x - 1}$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u} [u^{7}] \frac{d}{d x} [\frac{x + 1}{x - 1}]$

चरण 1.1.1.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 7$ है.

$7 u^{6} \frac{d}{d x} [\frac{x + 1}{x - 1}]$

चरण 1.1.1.3

$u$ की सभी घटनाओं को $\frac{x + 1}{x - 1}$ से बदलें.

$7 {(\frac{x + 1}{x - 1})}^{6} \frac{d}{d x} [\frac{x + 1}{x - 1}]$

चरण 1.1.2

भागफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ है, जहाँ $f (x) = x + 1$ और $g (x) = x - 1$ है.

$7 {(\frac{x + 1}{x - 1})}^{6} \frac{(x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1] - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

चरण 1.1.3

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.3.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x + 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ है.

$7 {(\frac{x + 1}{x - 1})}^{6} \frac{(x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

चरण 1.1.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$7 {(\frac{x + 1}{x - 1})}^{6} \frac{(x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [1]) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

चरण 1.1.3.3

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$7 {(\frac{x + 1}{x - 1})}^{6} \frac{(x - 1) (1 + 0) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

चरण 1.1.3.4

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.3.4.1

$1$ और $0$ जोड़ें.

$7 {(\frac{x + 1}{x - 1})}^{6} \frac{(x - 1) \cdot 1 - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

चरण 1.1.3.4.2

$x - 1$ को $1$ से गुणा करें.

$7 {(\frac{x + 1}{x - 1})}^{6} \frac{x - 1 - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

चरण 1.1.3.5

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x - 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ है.

$7 {(\frac{x + 1}{x - 1})}^{6} \frac{x - 1 - (x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

चरण 1.1.3.6

$7 {(\frac{x + 1}{x - 1})}^{6} \frac{x - 1 - (x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

चरण 1.1.3.7

चूंकि $x$ के संबंध में $- 1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$7 {(\frac{x + 1}{x - 1})}^{6} \frac{x - 1 - (x + 1) (1 + 0)}{{(x - 1)}^{2}}$

चरण 1.1.3.8

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.3.8.1

$1$ और $0$ जोड़ें.

$7 {(\frac{x + 1}{x - 1})}^{6} \frac{x - 1 - (x + 1) \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

चरण 1.1.3.8.2

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$7 {(\frac{x + 1}{x - 1})}^{6} \frac{x - 1 - (x + 1)}{{(x - 1)}^{2}}$

चरण 1.1.3.8.3

$\frac{x - 1 - (x + 1)}{{(x - 1)}^{2}}$ और $7$ को मिलाएं.

$\frac{(x - 1 - (x + 1)) \cdot 7}{{(x - 1)}^{2}} {(\frac{x + 1}{x - 1})}^{6}$

चरण 1.1.3.8.4

$7$ को $x - 1 - (x + 1)$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{7 \cdot (x - 1 - (x + 1))}{{(x - 1)}^{2}} {(\frac{x + 1}{x - 1})}^{6}$

चरण 1.1.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.4.1

उत्पाद नियम को $\frac{x + 1}{x - 1}$ पर लागू करें.

$\frac{7 (x - 1 - (x + 1))}{{(x - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 1)}^{6}}{{(x - 1)}^{6}}$

चरण 1.1.4.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{7 (x - 1 - x - 1 \cdot 1)}{{(x - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 1)}^{6}}{{(x - 1)}^{6}}$

चरण 1.1.4.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{7 x + 7 \cdot - 1 + 7 (- x) + 7 (- 1 \cdot 1)}{{(x - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 1)}^{6}}{{(x - 1)}^{6}}$

चरण 1.1.4.4

पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.4.4.1

$7$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{7 x - 7 + 7 (- x) + 7 (- 1 \cdot 1)}{{(x - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 1)}^{6}}{{(x - 1)}^{6}}$

चरण 1.1.4.4.2

$- 1$ को $7$ से गुणा करें.

$\frac{7 x - 7 - 7 x + 7 (- 1 \cdot 1)}{{(x - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 1)}^{6}}{{(x - 1)}^{6}}$

चरण 1.1.4.4.3

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{7 x - 7 - 7 x + 7 \cdot - 1}{{(x - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 1)}^{6}}{{(x - 1)}^{6}}$

चरण 1.1.4.4.4

$7$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{7 x - 7 - 7 x - 7}{{(x - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 1)}^{6}}{{(x - 1)}^{6}}$

चरण 1.1.4.4.5

$7 x$ में से $7 x$ घटाएं.

$\frac{0 - 7 - 7}{{(x - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 1)}^{6}}{{(x - 1)}^{6}}$

चरण 1.1.4.4.6

$0$ में से $7$ घटाएं.

$\frac{- 7 - 7}{{(x - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 1)}^{6}}{{(x - 1)}^{6}}$

चरण 1.1.4.4.7

$- 7$ में से $7$ घटाएं.

$\frac{- 14}{{(x - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 1)}^{6}}{{(x - 1)}^{6}}$

चरण 1.1.4.4.8

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$- \frac{14}{{(x - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 1)}^{6}}{{(x - 1)}^{6}}$

चरण 1.1.4.4.9

$\frac{{(x + 1)}^{6}}{{(x - 1)}^{6}}$ को $\frac{14}{{(x - 1)}^{2}}$ से गुणा करें.

$- \frac{{(x + 1)}^{6} \cdot 14}{{(x - 1)}^{6} {(x - 1)}^{2}}$

चरण 1.1.4.4.10

घातांक जोड़कर ${(x - 1)}^{6}$ को ${(x - 1)}^{2}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.4.4.10.1

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$- \frac{{(x + 1)}^{6} \cdot 14}{{(x - 1)}^{6 + 2}}$

चरण 1.1.4.4.10.2

$6$ और $2$ जोड़ें.

$- \frac{{(x + 1)}^{6} \cdot 14}{{(x - 1)}^{8}}$

चरण 1.1.4.4.11

$14$ को ${(x + 1)}^{6}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$f' (x) = - \frac{14 {(x + 1)}^{6}}{{(x - 1)}^{8}}$

चरण 1.2

$f (x)$ का पहला व्युत्पन्न बटे $x$ , $- \frac{14 {(x + 1)}^{6}}{{(x - 1)}^{8}}$ है.

$- \frac{14 {(x + 1)}^{6}}{{(x - 1)}^{8}}$

चरण 2

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें, फिर समीकरण $- \frac{14 {(x + 1)}^{6}}{{(x - 1)}^{8}} = 0$ को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें.

$- \frac{14 {(x + 1)}^{6}}{{(x - 1)}^{8}} = 0$

चरण 2.2

न्यूमेरेटर को शून्य के बराबर सेट करें.

$14 {(x + 1)}^{6} = 0$

चरण 2.3

$x$ के लिए समीकरण को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

$14 {(x + 1)}^{6} = 0$ के प्रत्येक पद को $14$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1.1

$14 {(x + 1)}^{6} = 0$ के प्रत्येक पद को $14$ से विभाजित करें.

$\frac{14 {(x + 1)}^{6}}{14} = \frac{0}{14}$

चरण 2.3.1.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1.2.1

$14$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{14 {(x + 1)}^{6}}{14} = \frac{0}{14}$

चरण 2.3.1.2.1.2

${(x + 1)}^{6}$ को $1$ से विभाजित करें.

${(x + 1)}^{6} = \frac{0}{14}$

चरण 2.3.1.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1.3.1

$0$ को $14$ से विभाजित करें.

${(x + 1)}^{6} = 0$

चरण 2.3.2

$x + 1$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x + 1 = 0$

चरण 2.3.3

समीकरण के दोनों पक्षों से $1$ घटाएं.

$x = - 1$

चरण 3

वे मान ज्ञात करें जहाँ व्युत्पन्न अपरिभाषित है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$\frac{14 {(x + 1)}^{6}}{{(x - 1)}^{8}}$ में भाजक को $0$ के बराबर सेट करें ताकि यह पता लगाया जा सके कि व्यंजक कहां अपरिभाषित है.

${(x - 1)}^{8} = 0$

चरण 3.2

$x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

$x - 1$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x - 1 = 0$

चरण 3.2.2

समीकरण के दोनों पक्षों में $1$ जोड़ें.

$x = 1$

चरण 4

प्रत्येक $x$ मान पर ${(\frac{x + 1}{x - 1})}^{7}$ का मूल्यांकन करें जहां व्युत्पन्न $0$ या अपरिभाषित है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$x = - 1$ पर मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1

$- 1$ को $x$ से प्रतिस्थापित करें.

${(\frac{(- 1) + 1}{(- 1) - 1})}^{7}$

चरण 4.1.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.2.1

$- 1$ और $1$ जोड़ें.

${(\frac{0}{- 1 - 1})}^{7}$

चरण 4.1.2.2

$- 1$ में से $1$ घटाएं.

${(\frac{0}{- 2})}^{7}$

चरण 4.1.2.3

$0$ को $- 2$ से विभाजित करें.

$0^{7}$

चरण 4.1.2.4

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$0$

चरण 4.2

$x = 1$ पर मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1

$1$ को $x$ से प्रतिस्थापित करें.

${(\frac{(1) + 1}{(1) - 1})}^{7}$

चरण 4.2.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.2.1

$1$ में से $1$ घटाएं.

${(\frac{(1) + 1}{0})}^{7}$

चरण 4.2.2.2

व्यंजक में $0$ से एक भाग होता है. व्यंजक अपरिभाषित है.

अपरिभाषित

चरण 4.3

सभी बिंदुओं को सूचीबद्ध करें.

$(- 1, 0)$

चरण 5