कैलकुलस उदाहरण

$y = - x^{4} + 8 x^{3} - 8 x + 19$

चरण 1

$y = - x^{4} + 8 x^{3} - 8 x + 19$ को एक फलन के रूप में लिखें.

$f (x) = - x^{4} + 8 x^{3} - 8 x + 19$

चरण 2

दूसरा व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $- x^{4} + 8 x^{3} - 8 x + 19$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [19]$ है.

$f' (x) = \frac{d}{d x} (- x^{4}) + \frac{d}{d x} (8 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 8 x) + \frac{d}{d x} (19)$

चरण 2.1.2

$\frac{d}{d x} [- x^{4}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.1

चूंकि $- 1$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- x^{4}$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d x} [x^{4}]$ है.

$f' (x) = - \frac{d}{d x} x^{4} + \frac{d}{d x} (8 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 8 x) + \frac{d}{d x} (19)$

चरण 2.1.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 4$ है.

$f' (x) = - (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (8 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 8 x) + \frac{d}{d x} (19)$

चरण 2.1.2.3

$4$ को $- 1$ से गुणा करें.

$f' (x) = - 4 x^{3} + \frac{d}{d x} (8 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 8 x) + \frac{d}{d x} (19)$

चरण 2.1.3

$\frac{d}{d x} [8 x^{3}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.3.1

चूंकि $8$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $8 x^{3}$ का व्युत्पन्न $8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ है.

$f' (x) = - 4 x^{3} + 8 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 8 x) + \frac{d}{d x} (19)$

चरण 2.1.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 3$ है.

$f' (x) = - 4 x^{3} + 8 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 8 x) + \frac{d}{d x} (19)$

चरण 2.1.3.3

$3$ को $8$ से गुणा करें.

$f' (x) = - 4 x^{3} + 24 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 8 x) + \frac{d}{d x} (19)$

चरण 2.1.4

$\frac{d}{d x} [- 8 x]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.4.1

चूंकि $- 8$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 8 x$ का व्युत्पन्न $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$f' (x) = - 4 x^{3} + 24 x^{2} - 8 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (19)$

चरण 2.1.4.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$f' (x) = - 4 x^{3} + 24 x^{2} - 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (19)$

चरण 2.1.4.3

$- 8$ को $1$ से गुणा करें.

$f' (x) = - 4 x^{3} + 24 x^{2} - 8 + \frac{d}{d x} (19)$

चरण 2.1.5

स्थिरांक नियम का उपयोग करके अंतर करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.5.1

चूंकि $x$ के संबंध में $19$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $19$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$f' (x) = - 4 x^{3} + 24 x^{2} - 8 + 0$

चरण 2.1.5.2

$- 4 x^{3} + 24 x^{2} - 8$ और $0$ जोड़ें.

$f' (x) = - 4 x^{3} + 24 x^{2} - 8$

चरण 2.2

दूसरा व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $- 4 x^{3} + 24 x^{2} - 8$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8]$ है.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 8)$

चरण 2.2.2

$\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.2.1

चूंकि $- 4$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 4 x^{3}$ का व्युत्पन्न $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ है.

$f'' (x) = - 4 \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 8)$

चरण 2.2.2.2

$f'' (x) = - 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 8)$

चरण 2.2.2.3

$3$ को $- 4$ से गुणा करें.

$f'' (x) = - 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 8)$

चरण 2.2.3

$\frac{d}{d x} [24 x^{2}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.3.1

चूंकि $24$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $24 x^{2}$ का व्युत्पन्न $24 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ है.

$f'' (x) = - 12 x^{2} + 24 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 8)$

चरण 2.2.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$f'' (x) = - 12 x^{2} + 24 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 8)$

चरण 2.2.3.3

$2$ को $24$ से गुणा करें.

$f'' (x) = - 12 x^{2} + 48 x + \frac{d}{d x} (- 8)$

चरण 2.2.4

स्थिरांक नियम का उपयोग करके अंतर करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.4.1

चूंकि $x$ के संबंध में $- 8$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 8$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$f'' (x) = - 12 x^{2} + 48 x + 0$

चरण 2.2.4.2

$- 12 x^{2} + 48 x$ और $0$ जोड़ें.

$f'' (x) = - 12 x^{2} + 48 x$

चरण 2.3

$f (x)$ का दूसरा व्युत्पन्न बटे $x$ , $- 12 x^{2} + 48 x$ है.

$- 12 x^{2} + 48 x$

चरण 3

दूसरे व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें, फिर समीकरण $- 12 x^{2} + 48 x = 0$ को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

दूसरे व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें.

$- 12 x^{2} + 48 x = 0$

चरण 3.2

$- 12 x^{2} + 48 x$ में से $- 12 x$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

$- 12 x^{2}$ में से $- 12 x$ का गुणनखंड करें.

$- 12 x \cdot x + 48 x = 0$

चरण 3.2.2

$48 x$ में से $- 12 x$ का गुणनखंड करें.

$- 12 x \cdot x - 12 x \cdot - 4 = 0$

चरण 3.2.3

$- 12 x (x) - 12 x (- 4)$ में से $- 12 x$ का गुणनखंड करें.

$- 12 x (x - 4) = 0$

चरण 3.3

यदि समीकरण के बांये पक्ष में कोई अकेला गुणनखंड $0$ के बराबर हो, तो सम्पूर्ण व्यंजक $0$ के बराबर होगा.

$x = 0$

$x - 4 = 0$

चरण 3.4

$x$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x = 0$

चरण 3.5

$x - 4$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.1

$x - 4$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x - 4 = 0$

चरण 3.5.2

समीकरण के दोनों पक्षों में $4$ जोड़ें.

$x = 4$

चरण 3.6

अंतिम हल वो सभी मान हैं जो $- 12 x (x - 4) = 0$ को सिद्ध करते हैं.

$x = 0, 4$

चरण 4

उन बिंदुओं को पता करें जहां दूसरा व्युत्पन्न $0$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$y$ का मान ज्ञात करने के लिए $0$ को $f (x) = - x^{4} + 8 x^{3} - 8 x + 19$ में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1

व्यंजक में चर $x$ को $0$ से बदलें.

$f (0) = - {(0)}^{4} + 8 {(0)}^{3} - 8 \cdot 0 + 19$

चरण 4.1.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.2.1.1

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$f (0) = - 0 + 8 {(0)}^{3} - 8 \cdot 0 + 19$

चरण 4.1.2.1.2

$- 1$ को $0$ से गुणा करें.

$f (0) = 0 + 8 {(0)}^{3} - 8 \cdot 0 + 19$

चरण 4.1.2.1.3

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$f (0) = 0 + 8 \cdot 0 - 8 \cdot 0 + 19$

चरण 4.1.2.1.4

$8$ को $0$ से गुणा करें.

$f (0) = 0 + 0 - 8 \cdot 0 + 19$

चरण 4.1.2.1.5

$- 8$ को $0$ से गुणा करें.

$f (0) = 0 + 0 + 0 + 19$

चरण 4.1.2.2

संख्याओं को जोड़कर सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.2.2.1

$0$ और $0$ जोड़ें.

$f (0) = 0 + 0 + 19$

चरण 4.1.2.2.2

$0$ और $0$ जोड़ें.

$f (0) = 0 + 19$

चरण 4.1.2.2.3

$0$ और $19$ जोड़ें.

$f (0) = 19$

चरण 4.1.2.3

अंतिम उत्तर $19$ है.

$19$

चरण 4.2

$0$ को $f (x) = - x^{4} + 8 x^{3} - 8 x + 19$ में प्रतिस्थापित करने पर पता किया जाने वाला बिंदु $(0, 19)$ है. यह बिंदु एक विभक्ति बिंदु हो सकता है.

$(0, 19)$

चरण 4.3

$y$ का मान ज्ञात करने के लिए $4$ को $f (x) = - x^{4} + 8 x^{3} - 8 x + 19$ में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.1

व्यंजक में चर $x$ को $4$ से बदलें.

$f (4) = - {(4)}^{4} + 8 {(4)}^{3} - 8 \cdot 4 + 19$

चरण 4.3.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.2.1.1

$4$ को $4$ के घात तक बढ़ाएं.

$f (4) = - 1 \cdot 256 + 8 {(4)}^{3} - 8 \cdot 4 + 19$

चरण 4.3.2.1.2

$- 1$ को $256$ से गुणा करें.

$f (4) = - 256 + 8 {(4)}^{3} - 8 \cdot 4 + 19$

चरण 4.3.2.1.3

$4$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$f (4) = - 256 + 8 \cdot 64 - 8 \cdot 4 + 19$

चरण 4.3.2.1.4

$8$ को $64$ से गुणा करें.

$f (4) = - 256 + 512 - 8 \cdot 4 + 19$

चरण 4.3.2.1.5

$- 8$ को $4$ से गुणा करें.

$f (4) = - 256 + 512 - 32 + 19$

चरण 4.3.2.2

जोड़कर और घटाकर सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.2.2.1

$- 256$ और $512$ जोड़ें.

$f (4) = 256 - 32 + 19$

चरण 4.3.2.2.2

$256$ में से $32$ घटाएं.

$f (4) = 224 + 19$

चरण 4.3.2.2.3

$224$ और $19$ जोड़ें.

$f (4) = 243$

चरण 4.3.2.3

अंतिम उत्तर $243$ है.

$243$

चरण 4.4

$4$ को $f (x) = - x^{4} + 8 x^{3} - 8 x + 19$ में प्रतिस्थापित करने पर पता किया जाने वाला बिंदु $(4, 243)$ है. यह बिंदु एक विभक्ति बिंदु हो सकता है.

$(4, 243)$

चरण 4.5

ऐसे बिंदु निर्धारित करें जो विभक्ति बिंदु हो सकते हैं.

$(0, 19), (4, 243)$

चरण 5

$(- \infty, \infty)$ को उन बिंदुओं के आसपास के अंतराल में विभाजित करें जो संभावित रूप से विभक्ति बिंदु हो सकते हैं.

$(- \infty, 0) \cup (0, 4) \cup (4, \infty)$

चरण 6

यह निर्धारित करने के लिए कि यह बढ़ता या घटता है, अंतराल $(- \infty, 0)$ से एक मान को दूसरे व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

व्यंजक में चर $x$ को $- 0.1$ से बदलें.

$f'' (- 0.1) = - 12 {(- 0.1)}^{2} + 48 (- 0.1)$

चरण 6.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1.1

$- 0.1$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f'' (- 0.1) = - 12 \cdot 0.01 + 48 (- 0.1)$

चरण 6.2.1.2

$- 12$ को $0.01$ से गुणा करें.

$f'' (- 0.1) = - 0.12 + 48 (- 0.1)$

चरण 6.2.1.3

$48$ को $- 0.1$ से गुणा करें.

$f'' (- 0.1) = - 0.12 - 4.8$

चरण 6.2.2

$- 0.12$ में से $4.8$ घटाएं.

$f'' (- 0.1) = - 4.92$

चरण 6.2.3

अंतिम उत्तर $- 4.92$ है.

$- 4.92$

चरण 6.3

$- 0.1$ पर, दूसरा व्युत्पन्न $- 4.92$ है. चूँकि यह ऋणात्मक है, इसलिए अंतराल $(- \infty, 0)$ पर दूसरा व्युत्पन्न घट रहा है

$f'' (x) < 0$ से $(- \infty, 0)$ पर घटता हुआ

चरण 7

यह निर्धारित करने के लिए कि यह बढ़ता या घटता है, अंतराल $(0, 4)$ से एक मान को दूसरे व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

व्यंजक में चर $x$ को $2$ से बदलें.

$f'' (2) = - 12 {(2)}^{2} + 48 (2)$

चरण 7.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1.1

$2$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f'' (2) = - 12 \cdot 4 + 48 (2)$

चरण 7.2.1.2

$- 12$ को $4$ से गुणा करें.

$f'' (2) = - 48 + 48 (2)$

चरण 7.2.1.3

$48$ को $2$ से गुणा करें.

$f'' (2) = - 48 + 96$

चरण 7.2.2

$- 48$ और $96$ जोड़ें.

$f'' (2) = 48$

चरण 7.2.3

अंतिम उत्तर $48$ है.

$48$

चरण 7.3

$2$ पर, दूसरा व्युत्पन्न $48$ है. चूंकि यह धनात्मक है, इसलिए दूसरा अवकलज अंतराल $(0, 4)$ पर बढ़ रहा है.

$f'' (x) > 0$ के बाद से $(0, 4)$ पर बढ़ रहा है

चरण 8

यह निर्धारित करने के लिए कि यह बढ़ता या घटता है, अंतराल $(4, \infty)$ से एक मान को दूसरे व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

व्यंजक में चर $x$ को $4.1$ से बदलें.

$f'' (4.1) = - 12 {(4.1)}^{2} + 48 (4.1)$

चरण 8.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.1.1

$4.1$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f'' (4.1) = - 12 \cdot 16.81 + 48 (4.1)$

चरण 8.2.1.2

$- 12$ को $16.81$ से गुणा करें.

$f'' (4.1) = - 201.72 + 48 (4.1)$

चरण 8.2.1.3

$48$ को $4.1$ से गुणा करें.

$f'' (4.1) = - 201.72 + 196.8$

चरण 8.2.2

$- 201.72$ और $196.8$ जोड़ें.

$f'' (4.1) = - 4.92$

चरण 8.2.3

अंतिम उत्तर $- 4.92$ है.

$- 4.92$

चरण 8.3

$4.1$ पर, दूसरा व्युत्पन्न $- 4.92$ है. चूँकि यह ऋणात्मक है, इसलिए अंतराल $(4, \infty)$ पर दूसरा व्युत्पन्न घट रहा है

$f'' (x) < 0$ से $(4, \infty)$ पर घटता हुआ

चरण 9

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(0, 19), (4, 243)$ .

$(0, 19), (4, 243)$

चरण 10