कैलकुलस उदाहरण

$y = 4 x^{3} - 51 x^{2} - 180 x + 11$

चरण 1

$y = 4 x^{3} - 51 x^{2} - 180 x + 11$ को एक फलन के रूप में लिखें.

$f (x) = 4 x^{3} - 51 x^{2} - 180 x + 11$

चरण 2

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $4 x^{3} - 51 x^{2} - 180 x + 11$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 51 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 180 x] + \frac{d}{d x} [11]$ है.

$f' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 51 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 180 x) + \frac{d}{d x} (11)$

चरण 2.1.2

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.1

चूंकि $4$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $4 x^{3}$ का व्युत्पन्न $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ है.

$f' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 51 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 180 x) + \frac{d}{d x} (11)$

चरण 2.1.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 3$ है.

$f' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 51 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 180 x) + \frac{d}{d x} (11)$

चरण 2.1.2.3

$3$ को $4$ से गुणा करें.

$f' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 51 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 180 x) + \frac{d}{d x} (11)$

चरण 2.1.3

$\frac{d}{d x} [- 51 x^{2}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.3.1

चूंकि $- 51$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 51 x^{2}$ का व्युत्पन्न $- 51 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ है.

$f' (x) = 12 x^{2} - 51 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (- 180 x) + \frac{d}{d x} (11)$

चरण 2.1.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$f' (x) = 12 x^{2} - 51 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 180 x) + \frac{d}{d x} (11)$

चरण 2.1.3.3

$2$ को $- 51$ से गुणा करें.

$f' (x) = 12 x^{2} - 102 x + \frac{d}{d x} (- 180 x) + \frac{d}{d x} (11)$

चरण 2.1.4

$\frac{d}{d x} [- 180 x]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.4.1

चूंकि $- 180$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 180 x$ का व्युत्पन्न $- 180 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$f' (x) = 12 x^{2} - 102 x - 180 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (11)$

चरण 2.1.4.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$f' (x) = 12 x^{2} - 102 x - 180 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (11)$

चरण 2.1.4.3

$- 180$ को $1$ से गुणा करें.

$f' (x) = 12 x^{2} - 102 x - 180 + \frac{d}{d x} (11)$

चरण 2.1.5

स्थिरांक नियम का उपयोग करके अंतर करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.5.1

चूंकि $x$ के संबंध में $11$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $11$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$f' (x) = 12 x^{2} - 102 x - 180 + 0$

चरण 2.1.5.2

$12 x^{2} - 102 x - 180$ और $0$ जोड़ें.

$f' (x) = 12 x^{2} - 102 x - 180$

चरण 2.2

$f (x)$ का पहला व्युत्पन्न बटे $x$ , $12 x^{2} - 102 x - 180$ है.

$12 x^{2} - 102 x - 180$

चरण 3

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें, फिर समीकरण $12 x^{2} - 102 x - 180 = 0$ को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें.

$12 x^{2} - 102 x - 180 = 0$

चरण 3.2

समीकरण के बाएँ पक्ष का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

$12 x^{2} - 102 x - 180$ में से $6$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1.1

$12 x^{2}$ में से $6$ का गुणनखंड करें.

$6 (2 x^{2}) - 102 x - 180 = 0$

चरण 3.2.1.2

$- 102 x$ में से $6$ का गुणनखंड करें.

$6 (2 x^{2}) + 6 (- 17 x) - 180 = 0$

चरण 3.2.1.3

$- 180$ में से $6$ का गुणनखंड करें.

$6 (2 x^{2}) + 6 (- 17 x) + 6 (- 30) = 0$

चरण 3.2.1.4

$6 (2 x^{2}) + 6 (- 17 x)$ में से $6$ का गुणनखंड करें.

$6 (2 x^{2} - 17 x) + 6 (- 30) = 0$

चरण 3.2.1.5

$6 (2 x^{2} - 17 x) + 6 (- 30)$ में से $6$ का गुणनखंड करें.

$6 (2 x^{2} - 17 x - 30) = 0$

चरण 3.2.2

गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.2.1

वर्गीकरण द्वारा गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.2.1.1

फॉर्म $a x^{2} + b x + c$ के बहुपद के लिए, मध्य पद को दो पदों के योग के रूप में फिर से लिखें, जिसका गुणनफल $a \cdot c = 2 \cdot - 30 = - 60$ है और जिसका योग $b = - 17$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.2.1.1.1

$- 17 x$ में से $- 17$ का गुणनखंड करें.

$6 (2 x^{2} - 17 x - 30) = 0$

चरण 3.2.2.1.1.2

$- 17$ को $3$ जोड़ $- 20$ के रूप में फिर से लिखें

$6 (2 x^{2} + (3 - 20) x - 30) = 0$

चरण 3.2.2.1.1.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$6 (2 x^{2} + 3 x - 20 x - 30) = 0$

चरण 3.2.2.1.2

प्रत्येक समूह के महत्तम समापवर्तक का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.2.1.2.1

पहले दो पदों और अंतिम दो पदों को समूहित करें.

$6 ((2 x^{2} + 3 x) - 20 x - 30) = 0$

चरण 3.2.2.1.2.2

प्रत्येक समूह के महत्तम समापवर्तक (GCF) का गुणनखंड करें.

$6 (x (2 x + 3) - 10 (2 x + 3)) = 0$

चरण 3.2.2.1.3

महत्तम समापवर्तक, $2 x + 3$ का गुणनखंड करके बहुपद का गुणनखंड करें.

$6 ((2 x + 3) (x - 10)) = 0$

चरण 3.2.2.2

अनावश्यक कोष्ठक हटा दें.

$6 (2 x + 3) (x - 10) = 0$

चरण 3.3

यदि समीकरण के बांये पक्ष में कोई अकेला गुणनखंड $0$ के बराबर हो, तो सम्पूर्ण व्यंजक $0$ के बराबर होगा.

$2 x + 3 = 0$

$x - 10 = 0$

चरण 3.4

$2 x + 3$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.1

$2 x + 3$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$2 x + 3 = 0$

चरण 3.4.2

$x$ के लिए $2 x + 3 = 0$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.2.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $3$ घटाएं.

$2 x = - 3$

चरण 3.4.2.2

$2 x = - 3$ के प्रत्येक पद को $2$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.2.2.1

$2 x = - 3$ के प्रत्येक पद को $2$ से विभाजित करें.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 3}{2}$

चरण 3.4.2.2.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.2.2.2.1

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.2.2.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 3}{2}$

चरण 3.4.2.2.2.1.2

$x$ को $1$ से विभाजित करें.

$x = \frac{- 3}{2}$

चरण 3.4.2.2.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.2.2.3.1

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$x = - \frac{3}{2}$

चरण 3.5

$x - 10$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.1

$x - 10$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x - 10 = 0$

चरण 3.5.2

समीकरण के दोनों पक्षों में $10$ जोड़ें.

$x = 10$

चरण 3.6

अंतिम हल वो सभी मान हैं जो $6 (2 x + 3) (x - 10) = 0$ को सिद्ध करते हैं.

$x = - \frac{3}{2}, 10$

चरण 4

वे मान जो व्युत्पन्न को $0$ के बराबर बनाते हैं, वे $- \frac{3}{2}, 10$ हैं.

$- \frac{3}{2}, 10$

चरण 5

$(- \infty, \infty)$ को $x$ मानों के आस-पास अलग-अलग अंतराल में विभाजित करें जो व्युत्पन्न $0$ या अपरिभाषित बनाते हैं.

$(- \infty, - \frac{3}{2}) \cup (- \frac{3}{2}, 10) \cup (10, \infty)$

चरण 6

यह निर्धारित करने के लिए कि फलन बढ़ रहा है या घट रहा है, अंतराल $(- \infty, - \frac{3}{2})$ से एक मान को व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

व्यंजक में चर $x$ को $- 2.5$ से बदलें.

$f' (- 2.5) = 12 {(- 2.5)}^{2} - 102 \cdot - 2.5 - 180$

चरण 6.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1.1

$- 2.5$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (- 2.5) = 12 \cdot 6.25 - 102 \cdot - 2.5 - 180$

चरण 6.2.1.2

$12$ को $6.25$ से गुणा करें.

$f' (- 2.5) = 75 - 102 \cdot - 2.5 - 180$

चरण 6.2.1.3

$- 102$ को $- 2.5$ से गुणा करें.

$f' (- 2.5) = 75 + 255 - 180$

चरण 6.2.2

जोड़कर और घटाकर सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.2.1

$75$ और $255$ जोड़ें.

$f' (- 2.5) = 330 - 180$

चरण 6.2.2.2

$330$ में से $180$ घटाएं.

$f' (- 2.5) = 150$

चरण 6.2.3

अंतिम उत्तर $150$ है.

$150$

चरण 6.3

$x = - 2.5$ पर व्युत्पन्न $150$ है. चूंकि यह सकारात्मक है, $(- \infty, - \frac{3}{2})$ पर फलन बढ़ रहा है.

$f' (x) > 0$ के बाद से $(- \infty, - \frac{3}{2})$ पर बढ़ रहा है

चरण 7

यह निर्धारित करने के लिए कि फलन बढ़ रहा है या घट रहा है, अंतराल $(- 1.5, 10)$ से एक मान को व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

व्यंजक में चर $x$ को $4.25$ से बदलें.

$f' (4.25) = 12 {(4.25)}^{2} - 102 \cdot 4.25 - 180$

चरण 7.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1.1

$4.25$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (4.25) = 12 \cdot 18.0625 - 102 \cdot 4.25 - 180$

चरण 7.2.1.2

$12$ को $18.0625$ से गुणा करें.

$f' (4.25) = 216.75 - 102 \cdot 4.25 - 180$

चरण 7.2.1.3

$- 102$ को $4.25$ से गुणा करें.

$f' (4.25) = 216.75 - 433.5 - 180$

चरण 7.2.2

संख्याओं को घटाकर सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.2.1

$216.75$ में से $433.5$ घटाएं.

$f' (4.25) = - 216.75 - 180$

चरण 7.2.2.2

$- 216.75$ में से $180$ घटाएं.

$f' (4.25) = - 396.75$

चरण 7.2.3

अंतिम उत्तर $- 396.75$ है.

$- 396.75$

चरण 7.3

$x = 4.25$ पर व्युत्पन्न $- 396.75$ है. चूंकि यह ऋणात्मक है, $(- 1.5, 10)$ पर फलन कम हो रहा है.

$f' (x) < 0$ से $(- \frac{3}{2}, 10)$ पर घटता हुआ

चरण 8

यह निर्धारित करने के लिए कि फलन बढ़ रहा है या घट रहा है, अंतराल $(10, \infty)$ से एक मान को व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

व्यंजक में चर $x$ को $11$ से बदलें.

$f' (11) = 12 {(11)}^{2} - 102 \cdot 11 - 180$

चरण 8.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.1.1

$11$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (11) = 12 \cdot 121 - 102 \cdot 11 - 180$

चरण 8.2.1.2

$12$ को $121$ से गुणा करें.

$f' (11) = 1452 - 102 \cdot 11 - 180$

चरण 8.2.1.3

$- 102$ को $11$ से गुणा करें.

$f' (11) = 1452 - 1122 - 180$

चरण 8.2.2

संख्याओं को घटाकर सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.2.1

$1452$ में से $1122$ घटाएं.

$f' (11) = 330 - 180$

चरण 8.2.2.2

$330$ में से $180$ घटाएं.

$f' (11) = 150$

चरण 8.2.3

अंतिम उत्तर $150$ है.

$150$

चरण 8.3

$x = 11$ पर व्युत्पन्न $150$ है. चूंकि यह सकारात्मक है, $(10, \infty)$ पर फलन बढ़ रहा है.

$f' (x) > 0$ के बाद से $(10, \infty)$ पर बढ़ रहा है

चरण 9

उन अंतरालों की सूची बनाइए जिन पर फलन बढ़ रहा है और घट रहा है.

बढ़ रहा है: $(- \infty, - \frac{3}{2}), (10, \infty)$

इस पर घटता हुआ: $(- \frac{3}{2}, 10)$

चरण 10