कैलकुलस उदाहरण

$y = x - 4 \ln (3 x - 4)$

चरण 1

$y = x - 4 \ln (3 x - 4)$ को एक फलन के रूप में लिखें.

$f (x) = x - 4 \ln (3 x - 4)$

चरण 2

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x - 4 \ln (3 x - 4)$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4 \ln (3 x - 4)]$ है.

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4 \ln (3 x - 4)]$

चरण 2.1.1.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$1 + \frac{d}{d x} [- 4 \ln (3 x - 4)]$

चरण 2.1.2

$\frac{d}{d x} [- 4 \ln (3 x - 4)]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.1

चूंकि $- 4$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 4 \ln (3 x - 4)$ का व्युत्पन्न $- 4 \frac{d}{d x} [\ln (3 x - 4)]$ है.

$1 - 4 \frac{d}{d x} [\ln (3 x - 4)]$

चरण 2.1.2.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \ln (x)$ और $g (x) = 3 x - 4$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $3 x - 4$ के रूप में सेट करें.

$1 - 4 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [3 x - 4])$

चरण 2.1.2.2.2

$u$ के संबंध में $\ln (u)$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{u}$ है.

$1 - 4 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [3 x - 4])$

चरण 2.1.2.2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $3 x - 4$ से बदलें.

$1 - 4 (\frac{1}{3 x - 4} \frac{d}{d x} [3 x - 4])$

चरण 2.1.2.3

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $3 x - 4$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ है.

$1 - 4 (\frac{1}{3 x - 4} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 4]))$

चरण 2.1.2.4

चूंकि $3$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $3 x$ का व्युत्पन्न $3 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$1 - 4 (\frac{1}{3 x - 4} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]))$

चरण 2.1.2.5

$1 - 4 (\frac{1}{3 x - 4} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4]))$

चरण 2.1.2.6

चूंकि $x$ के संबंध में $- 4$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 4$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$1 - 4 (\frac{1}{3 x - 4} (3 \cdot 1 + 0))$

चरण 2.1.2.7

$3$ को $1$ से गुणा करें.

$1 - 4 (\frac{1}{3 x - 4} (3 + 0))$

चरण 2.1.2.8

$3$ और $0$ जोड़ें.

$1 - 4 (\frac{1}{3 x - 4} \cdot 3)$

चरण 2.1.2.9

$\frac{1}{3 x - 4}$ और $3$ को मिलाएं.

$1 - 4 \frac{3}{3 x - 4}$

चरण 2.1.2.10

$- 4$ और $\frac{3}{3 x - 4}$ को मिलाएं.

$1 + \frac{- 4 \cdot 3}{3 x - 4}$

चरण 2.1.2.11

$- 4$ को $3$ से गुणा करें.

$1 + \frac{- 12}{3 x - 4}$

चरण 2.1.2.12

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$1 - \frac{12}{3 x - 4}$

चरण 2.1.3

पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.3.1

एक सामान्य भाजक के साथ $1$ को भिन्न के रूप में लिखें.

$\frac{3 x - 4}{3 x - 4} - \frac{12}{3 x - 4}$

चरण 2.1.3.2

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{3 x - 4 - 12}{3 x - 4}$

चरण 2.1.3.3

$- 4$ में से $12$ घटाएं.

$f' (x) = \frac{3 x - 16}{3 x - 4}$

चरण 2.2

$f (x)$ का पहला व्युत्पन्न बटे $x$ , $\frac{3 x - 16}{3 x - 4}$ है.

$\frac{3 x - 16}{3 x - 4}$

चरण 3

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें, फिर समीकरण $\frac{3 x - 16}{3 x - 4} = 0$ को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें.

$\frac{3 x - 16}{3 x - 4} = 0$

चरण 3.2

न्यूमेरेटर को शून्य के बराबर सेट करें.

$3 x - 16 = 0$

चरण 3.3

$x$ के लिए समीकरण को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

समीकरण के दोनों पक्षों में $16$ जोड़ें.

$3 x = 16$

चरण 3.3.2

$3 x = 16$ के प्रत्येक पद को $3$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.2.1

$3 x = 16$ के प्रत्येक पद को $3$ से विभाजित करें.

$\frac{3 x}{3} = \frac{16}{3}$

चरण 3.3.2.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.2.2.1

$3$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.2.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{3 x}{3} = \frac{16}{3}$

चरण 3.3.2.2.1.2

$x$ को $1$ से विभाजित करें.

$x = \frac{16}{3}$

चरण 4

वे मान जो व्युत्पन्न को $0$ के बराबर बनाते हैं, वे $\frac{16}{3}$ हैं.

$\frac{16}{3}$

चरण 5

पता लगाएं कि व्युत्पन्न कहां अपरिभाषित है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

$\frac{3 x - 16}{3 x - 4}$ में भाजक को $0$ के बराबर सेट करें ताकि यह पता लगाया जा सके कि व्यंजक कहां अपरिभाषित है.

$3 x - 4 = 0$

चरण 5.2

$x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

समीकरण के दोनों पक्षों में $4$ जोड़ें.

$3 x = 4$

चरण 5.2.2

$3 x = 4$ के प्रत्येक पद को $3$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.2.1

$3 x = 4$ के प्रत्येक पद को $3$ से विभाजित करें.

$\frac{3 x}{3} = \frac{4}{3}$

चरण 5.2.2.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.2.2.1

$3$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.2.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{3 x}{3} = \frac{4}{3}$

चरण 5.2.2.2.1.2

$x$ को $1$ से विभाजित करें.

$x = \frac{4}{3}$

चरण 6

$(- \infty, \infty)$ को $x$ मानों के आस-पास अलग-अलग अंतराल में विभाजित करें जो व्युत्पन्न $0$ या अपरिभाषित बनाते हैं.

$(- \infty, \frac{4}{3}) \cup (\frac{4}{3}, \frac{16}{3}) \cup (\frac{16}{3}, \infty)$

चरण 7

उन अंतरालों को छोड़ दें जो डोमेन में नहीं हैं.

$(\frac{4}{3}, \frac{16}{3})$

चरण 8

यह निर्धारित करने के लिए कि फलन बढ़ रहा है या घट रहा है, अंतराल $(1.3333334, \frac{16}{3})$ से एक मान को व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

व्यंजक में चर $x$ को $3.33333345$ से बदलें.

$f' (3.33333345) = \frac{3 (3.33333345) - 16}{3 (3.33333345) - 4}$

चरण 8.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.1.1

$3$ को $3.33333345$ से गुणा करें.

$f' (3.33333345) = \frac{10.00000035 - 16}{3 (3.33333345) - 4}$

चरण 8.2.1.2

$10.00000035$ में से $16$ घटाएं.

$f' (3.33333345) = \frac{- 5.99999965}{3 (3.33333345) - 4}$

चरण 8.2.2

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.2.1

$3$ को $3.33333345$ से गुणा करें.

$f' (3.33333345) = \frac{- 5.99999965}{10.00000035 - 4}$

चरण 8.2.2.2

$10.00000035$ में से $4$ घटाएं.

$f' (3.33333345) = \frac{- 5.99999965}{6.00000035}$

चरण 8.2.3

$- 5.99999965$ को $6.00000035$ से विभाजित करें.

$f' (3.33333345) = - 0.99999988$

चरण 8.2.4

अंतिम उत्तर $- 0.99999988$ है.

$- 0.99999988$

चरण 8.3

$x = 3.33333345$ पर व्युत्पन्न $- 0.99999988$ है. चूंकि यह ऋणात्मक है, $(1.3333334, \frac{16}{3})$ पर फलन कम हो रहा है.

$f' (x) < 0$ से $(\frac{4}{3}, \frac{16}{3})$ पर घटता हुआ

चरण 9

उन अंतरालों को छोड़ दें जो डोमेन में नहीं हैं.

$(\frac{4}{3}, \frac{16}{3}), (\frac{16}{3}, \infty)$

चरण 10

यह निर्धारित करने के लिए कि फलन बढ़ रहा है या घट रहा है, अंतराल $(\frac{16}{3}, \infty)$ से एक मान को व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1

व्यंजक में चर $x$ को $6.3333335$ से बदलें.

$f' (6.3333335) = \frac{3 (6.3333335) - 16}{3 (6.3333335) - 4}$

चरण 10.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.2.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.2.1.1

$3$ को $6.3333335$ से गुणा करें.

$f' (6.3333335) = \frac{19.0000005 - 16}{3 (6.3333335) - 4}$

चरण 10.2.1.2

$19.0000005$ में से $16$ घटाएं.

$f' (6.3333335) = \frac{3.0000005}{3 (6.3333335) - 4}$

चरण 10.2.2

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.2.2.1

$3$ को $6.3333335$ से गुणा करें.

$f' (6.3333335) = \frac{3.0000005}{19.0000005 - 4}$

चरण 10.2.2.2

$19.0000005$ में से $4$ घटाएं.

$f' (6.3333335) = \frac{3.0000005}{15.0000005}$

चरण 10.2.3

$3.0000005$ को $15.0000005$ से विभाजित करें.

$f' (6.3333335) = 0.20000002$

चरण 10.2.4

अंतिम उत्तर $0.20000002$ है.

$0.20000002$

चरण 10.3

$x = 6.3333335$ पर व्युत्पन्न $0.20000002$ है. चूंकि यह सकारात्मक है, $(\frac{16}{3}, \infty)$ पर फलन बढ़ रहा है.

$f' (x) > 0$ के बाद से $(\frac{16}{3}, \infty)$ पर बढ़ रहा है

चरण 11

उन अंतरालों की सूची बनाइए जिन पर फलन बढ़ रहा है और घट रहा है.

बढ़ रहा है: $(\frac{16}{3}, \infty)$

इस पर घटता हुआ: $(\frac{4}{3}, \frac{16}{3})$

चरण 12