कैलकुलस उदाहरण

${(x^{2} - 1)}^{3}$

चरण 1

${(x^{2} - 1)}^{3}$ को एक फलन के रूप में लिखें.

$f (x) = {(x^{2} - 1)}^{3}$

चरण 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

दूसरा व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1.1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{3}$ और $g (x) = x^{2} - 1$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1.1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $x^{2} - 1$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

चरण 2.1.1.1.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 3$ है.

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

चरण 2.1.1.1.3

$u$ की सभी घटनाओं को $x^{2} - 1$ से बदलें.

$3 {(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

चरण 2.1.1.2

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1.2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{2} - 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ है.

$3 {(x^{2} - 1)}^{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1])$

चरण 2.1.1.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$3 {(x^{2} - 1)}^{2} (2 x + \frac{d}{d x} [- 1])$

चरण 2.1.1.2.3

चूंकि $x$ के संबंध में $- 1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$3 {(x^{2} - 1)}^{2} (2 x + 0)$

चरण 2.1.1.2.4

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1.2.4.1

$2 x$ और $0$ जोड़ें.

$3 {(x^{2} - 1)}^{2} (2 x)$

चरण 2.1.1.2.4.2

$2$ को $3$ से गुणा करें.

$6 {(x^{2} - 1)}^{2} x$

चरण 2.1.1.2.4.3

$6 {(x^{2} - 1)}^{2} x$ के गुणनखंडों को फिर से क्रमित करें.

$f' (x) = 6 x {(x^{2} - 1)}^{2}$

चरण 2.1.2

दूसरा व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.1

चूंकि $6$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $6 x {(x^{2} - 1)}^{2}$ का व्युत्पन्न $6 \frac{d}{d x} [x {(x^{2} - 1)}^{2}]$ है.

$6 \frac{d}{d x} [x {(x^{2} - 1)}^{2}]$

चरण 2.1.2.2

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = x$ और $g (x) = {(x^{2} - 1)}^{2}$ है.

$6 (x \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 1)}^{2}] + {(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x])$

चरण 2.1.2.3

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{2}$ और $g (x) = x^{2} - 1$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.3.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $x^{2} - 1$ के रूप में सेट करें.

$6 (x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]) + {(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x])$

चरण 2.1.2.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$6 (x (2 u \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]) + {(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x])$

चरण 2.1.2.3.3

$u$ की सभी घटनाओं को $x^{2} - 1$ से बदलें.

$6 (x (2 (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]) + {(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x])$

चरण 2.1.2.4

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.4.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{2} - 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ है.

$6 (x (2 (x^{2} - 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1])) + {(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x])$

चरण 2.1.2.4.2

$6 (x (2 (x^{2} - 1) (2 x + \frac{d}{d x} [- 1])) + {(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x])$

चरण 2.1.2.4.3

चूंकि $x$ के संबंध में $- 1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$6 (x (2 (x^{2} - 1) (2 x + 0)) + {(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x])$

चरण 2.1.2.4.4

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.4.4.1

$2 x$ और $0$ जोड़ें.

$6 (x (2 (x^{2} - 1) (2 x)) + {(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x])$

चरण 2.1.2.4.4.2

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$6 (x (4 (x^{2} - 1) x) + {(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x])$

चरण 2.1.2.5

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$6 (x^{1} x (4 (x^{2} - 1)) + {(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x])$

चरण 2.1.2.6

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$6 (x^{1} x^{1} (4 (x^{2} - 1)) + {(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x])$

चरण 2.1.2.7

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$6 (x^{1 + 1} (4 (x^{2} - 1)) + {(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x])$

चरण 2.1.2.8

$1$ और $1$ जोड़ें.

$6 (x^{2} (4 (x^{2} - 1)) + {(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x])$

चरण 2.1.2.9

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$6 (x^{2} (4 (x^{2} - 1)) + {(x^{2} - 1)}^{2} \cdot 1)$

चरण 2.1.2.10

${(x^{2} - 1)}^{2}$ को $1$ से गुणा करें.

$6 (x^{2} (4 (x^{2} - 1)) + {(x^{2} - 1)}^{2})$

चरण 2.1.2.11

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.11.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$6 (x^{2} (4 x^{2} + 4 \cdot - 1) + {(x^{2} - 1)}^{2})$

चरण 2.1.2.11.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$6 (x^{2} (4 x^{2}) + x^{2} (4 \cdot - 1) + {(x^{2} - 1)}^{2})$

चरण 2.1.2.11.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$6 (x^{2} (4 x^{2})) + 6 (x^{2} (4 \cdot - 1)) + 6 {(x^{2} - 1)}^{2}$

चरण 2.1.2.11.4

पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.11.4.1

घातांक जोड़कर $x^{2}$ को $x^{2}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.11.4.1.1

$x^{2}$ ले जाएं.

$6 (x^{2} x^{2} \cdot 4) + 6 (x^{2} (4 \cdot - 1)) + 6 {(x^{2} - 1)}^{2}$

चरण 2.1.2.11.4.1.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$6 (x^{2 + 2} \cdot 4) + 6 (x^{2} (4 \cdot - 1)) + 6 {(x^{2} - 1)}^{2}$

चरण 2.1.2.11.4.1.3

$2$ और $2$ जोड़ें.

$6 (x^{4} \cdot 4) + 6 (x^{2} (4 \cdot - 1)) + 6 {(x^{2} - 1)}^{2}$

चरण 2.1.2.11.4.2

$4$ को $x^{4}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$6 (4 \cdot x^{4}) + 6 (x^{2} (4 \cdot - 1)) + 6 {(x^{2} - 1)}^{2}$

चरण 2.1.2.11.4.3

$4$ को $6$ से गुणा करें.

$24 x^{4} + 6 (x^{2} (4 \cdot - 1)) + 6 {(x^{2} - 1)}^{2}$

चरण 2.1.2.11.4.4

$4$ को $- 1$ से गुणा करें.

$24 x^{4} + 6 (x^{2} \cdot - 4) + 6 {(x^{2} - 1)}^{2}$

चरण 2.1.2.11.4.5

$- 4$ को $x^{2}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$24 x^{4} + 6 (- 4 \cdot x^{2}) + 6 {(x^{2} - 1)}^{2}$

चरण 2.1.2.11.4.6

$- 4$ को $6$ से गुणा करें.

$24 x^{4} - 24 x^{2} + 6 {(x^{2} - 1)}^{2}$

चरण 2.1.2.11.5

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.11.5.1

${(x^{2} - 1)}^{2}$ को $(x^{2} - 1) (x^{2} - 1)$ के रूप में फिर से लिखें.

$24 x^{4} - 24 x^{2} + 6 ((x^{2} - 1) (x^{2} - 1))$

चरण 2.1.2.11.5.2

FOIL विधि का उपयोग करके $(x^{2} - 1) (x^{2} - 1)$ का प्रसार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.11.5.2.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$24 x^{4} - 24 x^{2} + 6 (x^{2} (x^{2} - 1) - 1 (x^{2} - 1))$

चरण 2.1.2.11.5.2.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$24 x^{4} - 24 x^{2} + 6 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 1 - 1 (x^{2} - 1))$

चरण 2.1.2.11.5.2.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$24 x^{4} - 24 x^{2} + 6 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 1 - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1)$

चरण 2.1.2.11.5.3

समान पदों को सरल और संयोजित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.11.5.3.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.11.5.3.1.1

घातांक जोड़कर $x^{2}$ को $x^{2}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.11.5.3.1.1.1

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$24 x^{4} - 24 x^{2} + 6 (x^{2 + 2} + x^{2} \cdot - 1 - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1)$

चरण 2.1.2.11.5.3.1.1.2

$2$ और $2$ जोड़ें.

$24 x^{4} - 24 x^{2} + 6 (x^{4} + x^{2} \cdot - 1 - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1)$

चरण 2.1.2.11.5.3.1.2

$- 1$ को $x^{2}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$24 x^{4} - 24 x^{2} + 6 (x^{4} - 1 \cdot x^{2} - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1)$

चरण 2.1.2.11.5.3.1.3

$- 1 x^{2}$ को $- x^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$24 x^{4} - 24 x^{2} + 6 (x^{4} - x^{2} - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1)$

चरण 2.1.2.11.5.3.1.4

$- 1 x^{2}$ को $- x^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$24 x^{4} - 24 x^{2} + 6 (x^{4} - x^{2} - x^{2} - 1 \cdot - 1)$

चरण 2.1.2.11.5.3.1.5

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$24 x^{4} - 24 x^{2} + 6 (x^{4} - x^{2} - x^{2} + 1)$

चरण 2.1.2.11.5.3.2

$- x^{2}$ में से $x^{2}$ घटाएं.

$24 x^{4} - 24 x^{2} + 6 (x^{4} - 2 x^{2} + 1)$

चरण 2.1.2.11.5.4

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$24 x^{4} - 24 x^{2} + 6 x^{4} + 6 (- 2 x^{2}) + 6 \cdot 1$

चरण 2.1.2.11.5.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.11.5.5.1

$- 2$ को $6$ से गुणा करें.

$24 x^{4} - 24 x^{2} + 6 x^{4} - 12 x^{2} + 6 \cdot 1$

चरण 2.1.2.11.5.5.2

$6$ को $1$ से गुणा करें.

$24 x^{4} - 24 x^{2} + 6 x^{4} - 12 x^{2} + 6$

चरण 2.1.2.11.6

$24 x^{4}$ और $6 x^{4}$ जोड़ें.

$30 x^{4} - 24 x^{2} - 12 x^{2} + 6$

चरण 2.1.2.11.7

$- 24 x^{2}$ में से $12 x^{2}$ घटाएं.

$f'' (x) = 30 x^{4} - 36 x^{2} + 6$

चरण 2.1.3

$f (x)$ का दूसरा व्युत्पन्न बटे $x$ , $30 x^{4} - 36 x^{2} + 6$ है.

$30 x^{4} - 36 x^{2} + 6$

चरण 2.2

दूसरे व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें, फिर समीकरण $30 x^{4} - 36 x^{2} + 6 = 0$ को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

दूसरे व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें.

$30 x^{4} - 36 x^{2} + 6 = 0$

चरण 2.2.2

समीकरण में $u = x^{2}$ प्रतिस्थापित करें. इससे द्विघात सूत्र का उपयोग करना आसान हो जाएगा.

$30 u^{2} - 36 u + 6 = 0$

$u = x^{2}$

चरण 2.2.3

समीकरण के बाएँ पक्ष का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.3.1

$30 u^{2} - 36 u + 6$ में से $6$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.3.1.1

$30 u^{2}$ में से $6$ का गुणनखंड करें.

$6 (5 u^{2}) - 36 u + 6 = 0$

चरण 2.2.3.1.2

$- 36 u$ में से $6$ का गुणनखंड करें.

$6 (5 u^{2}) + 6 (- 6 u) + 6 = 0$

चरण 2.2.3.1.3

$6$ में से $6$ का गुणनखंड करें.

$6 (5 u^{2}) + 6 (- 6 u) + 6 (1) = 0$

चरण 2.2.3.1.4

$6 (5 u^{2}) + 6 (- 6 u)$ में से $6$ का गुणनखंड करें.

$6 (5 u^{2} - 6 u) + 6 (1) = 0$

चरण 2.2.3.1.5

$6 (5 u^{2} - 6 u) + 6 (1)$ में से $6$ का गुणनखंड करें.

$6 (5 u^{2} - 6 u + 1) = 0$

चरण 2.2.3.2

गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.3.2.1

वर्गीकरण द्वारा गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.3.2.1.1

फॉर्म $a x^{2} + b x + c$ के बहुपद के लिए, मध्य पद को दो पदों के योग के रूप में फिर से लिखें, जिसका गुणनफल $a \cdot c = 5 \cdot 1 = 5$ है और जिसका योग $b = - 6$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.3.2.1.1.1

$- 6 u$ में से $- 6$ का गुणनखंड करें.

$6 (5 u^{2} - 6 u + 1) = 0$

चरण 2.2.3.2.1.1.2

$- 6$ को $- 1$ जोड़ $- 5$ के रूप में फिर से लिखें

$6 (5 u^{2} + (- 1 - 5) u + 1) = 0$

चरण 2.2.3.2.1.1.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$6 (5 u^{2} - 1 u - 5 u + 1) = 0$

चरण 2.2.3.2.1.2

प्रत्येक समूह के महत्तम समापवर्तक का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.3.2.1.2.1

पहले दो पदों और अंतिम दो पदों को समूहित करें.

$6 ((5 u^{2} - 1 u) - 5 u + 1) = 0$

चरण 2.2.3.2.1.2.2

प्रत्येक समूह के महत्तम समापवर्तक (GCF) का गुणनखंड करें.

$6 (u (5 u - 1) - (5 u - 1)) = 0$

चरण 2.2.3.2.1.3

महत्तम समापवर्तक, $5 u - 1$ का गुणनखंड करके बहुपद का गुणनखंड करें.

$6 ((5 u - 1) (u - 1)) = 0$

चरण 2.2.3.2.2

अनावश्यक कोष्ठक हटा दें.

$6 (5 u - 1) (u - 1) = 0$

चरण 2.2.4

यदि समीकरण के बांये पक्ष में कोई अकेला गुणनखंड $0$ के बराबर हो, तो सम्पूर्ण व्यंजक $0$ के बराबर होगा.

$5 u - 1 = 0$

$u - 1 = 0$

चरण 2.2.5

$5 u - 1$ को $0$ के बराबर सेट करें और $u$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.5.1

$5 u - 1$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$5 u - 1 = 0$

चरण 2.2.5.2

$u$ के लिए $5 u - 1 = 0$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.5.2.1

समीकरण के दोनों पक्षों में $1$ जोड़ें.

$5 u = 1$

चरण 2.2.5.2.2

$5 u = 1$ के प्रत्येक पद को $5$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.5.2.2.1

$5 u = 1$ के प्रत्येक पद को $5$ से विभाजित करें.

$\frac{5 u}{5} = \frac{1}{5}$

चरण 2.2.5.2.2.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.5.2.2.2.1

$5$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.5.2.2.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{5 u}{5} = \frac{1}{5}$

चरण 2.2.5.2.2.2.1.2

$u$ को $1$ से विभाजित करें.

$u = \frac{1}{5}$

चरण 2.2.6

$u - 1$ को $0$ के बराबर सेट करें और $u$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.6.1

$u - 1$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$u - 1 = 0$

चरण 2.2.6.2

समीकरण के दोनों पक्षों में $1$ जोड़ें.

$u = 1$

चरण 2.2.7

अंतिम हल वो सभी मान हैं जो $6 (5 u - 1) (u - 1) = 0$ को सिद्ध करते हैं.

$u = \frac{1}{5}, 1$

चरण 2.2.8

हल किए गए समीकरण में $u = x^{2}$ के वास्तविक मान को वापस प्रतिस्थापित करें.

$x^{2} = \frac{1}{5}$

${(x^{2})}^{1} = 1$

चरण 2.2.9

$x$ के लिए पहला समीकरण हल करें.

$x^{2} = \frac{1}{5}$

चरण 2.2.10

$x$ के लिए समीकरण को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.10.1

बाईं ओर के घातांक को समाप्त करने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों का निर्दिष्ट मूल लें I

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{5}}$

चरण 2.2.10.2

$\pm \sqrt{\frac{1}{5}}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.10.2.1

$\sqrt{\frac{1}{5}}$ को $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{5}}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{5}}$

चरण 2.2.10.2.2

$1$ का कोई भी मूल $1$ होता है.

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{5}}$

चरण 2.2.10.2.3

$\frac{1}{\sqrt{5}}$ को $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ से गुणा करें.

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$

चरण 2.2.10.2.4

भाजक को मिलाएं और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.10.2.4.1

$\frac{1}{\sqrt{5}}$ को $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ से गुणा करें.

$x = \pm \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

चरण 2.2.10.2.4.2

$\sqrt{5}$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$x = \pm \frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}}$

चरण 2.2.10.2.4.3

$\sqrt{5}$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$x = \pm \frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}}$

चरण 2.2.10.2.4.4

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$x = \pm \frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

चरण 2.2.10.2.4.5

$1$ और $1$ जोड़ें.

$x = \pm \frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

चरण 2.2.10.2.4.6

${\sqrt{5}}^{2}$ को $5$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.10.2.4.6.1

$\sqrt{5}$ को $5^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$x = \pm \frac{\sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

चरण 2.2.10.2.4.6.2

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

चरण 2.2.10.2.4.6.3

$\frac{1}{2}$ और $2$ को मिलाएं.

$x = \pm \frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

चरण 2.2.10.2.4.6.4

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.10.2.4.6.4.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$x = \pm \frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

चरण 2.2.10.2.4.6.4.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$x = \pm \frac{\sqrt{5}}{5^{1}}$

चरण 2.2.10.2.4.6.5

घातांक का मान ज्ञात करें.

$x = \pm \frac{\sqrt{5}}{5}$

चरण 2.2.10.3

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.10.3.1

सबसे पहले, पहला समाधान पता करने के लिए $\pm$ के धनात्मक मान का उपयोग करें.

$x = \frac{\sqrt{5}}{5}$

चरण 2.2.10.3.2

इसके बाद, दूसरा हल ज्ञात करने के लिए $\pm$ के ऋणात्मक मान का उपयोग करें.

$x = - \frac{\sqrt{5}}{5}$

चरण 2.2.10.3.3

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

$x = \frac{\sqrt{5}}{5}, - \frac{\sqrt{5}}{5}$

चरण 2.2.11

$x$ का मान ज्ञात करने के लिए दूसरा समीकरण हल करें.

${(x^{2})}^{1} = 1$

चरण 2.2.12

$x$ के लिए समीकरण को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.12.1

कोष्ठक हटा दें.

$x^{2} = 1$

चरण 2.2.12.2

$x = \pm \sqrt{1}$

चरण 2.2.12.3

$1$ का कोई भी मूल $1$ होता है.

$x = \pm 1$

चरण 2.2.12.4

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.12.4.1

सबसे पहले, पहला समाधान पता करने के लिए $\pm$ के धनात्मक मान का उपयोग करें.

$x = 1$

चरण 2.2.12.4.2

इसके बाद, दूसरा हल ज्ञात करने के लिए $\pm$ के ऋणात्मक मान का उपयोग करें.

$x = - 1$

चरण 2.2.12.4.3

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

$x = 1, - 1$

चरण 2.2.13

$30 x^{4} - 36 x^{2} + 6 = 0$ का हल $x = \frac{\sqrt{5}}{5}, - \frac{\sqrt{5}}{5}, 1, - 1$ है.

$x = \frac{\sqrt{5}}{5}, - \frac{\sqrt{5}}{5}, 1, - 1$

चरण 3

व्यंजक का डोमेन सभी वास्तविक संख्याएँ हैं सिवाय जहाँ व्यंजक अपरिभाषित है. इस स्थिति में, कोई वास्तविक संख्या नहीं है जो व्यंजक को अपरिभाषित बनाती है.

मध्यवर्ती संकेतन:

$(- \infty, \infty)$

सेट-बिल्डर संकेतन:

${x | x \in ℝ}$

चरण 4

$x$ -मानों के आसपास अंतराल करें जहां दूसरा व्युत्पन्न शून्य या अपरिभाषित हो.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, - \frac{\sqrt{5}}{5}) \cup (- \frac{\sqrt{5}}{5}, \frac{\sqrt{5}}{5}) \cup (\frac{\sqrt{5}}{5}, 1) \cup (1, \infty)$

चरण 5

अंतराल $(- \infty, - 1)$ से किसी भी संख्या को दूसरे व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें और अंतराल को निर्धारित करने के लिए मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

व्यंजक में चर $x$ को $- 4$ से बदलें.

$f'' (- 4) = 30 {(- 4)}^{4} - 36 {(- 4)}^{2} + 6$

चरण 5.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1.1

$- 4$ को $4$ के घात तक बढ़ाएं.

$f'' (- 4) = 30 \cdot 256 - 36 {(- 4)}^{2} + 6$

चरण 5.2.1.2

$30$ को $256$ से गुणा करें.

$f'' (- 4) = 7680 - 36 {(- 4)}^{2} + 6$

चरण 5.2.1.3

$- 4$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f'' (- 4) = 7680 - 36 \cdot 16 + 6$

चरण 5.2.1.4

$- 36$ को $16$ से गुणा करें.

$f'' (- 4) = 7680 - 576 + 6$

चरण 5.2.2

जोड़कर और घटाकर सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.2.1

$7680$ में से $576$ घटाएं.

$f'' (- 4) = 7104 + 6$

चरण 5.2.2.2

$7104$ और $6$ जोड़ें.

$f'' (- 4) = 7110$

चरण 5.2.3

अंतिम उत्तर $7110$ है.

$7110$

चरण 5.3

अंतराल $(- \infty, - 1)$ पर ग्राफ अवतल ऊपर है क्योंकि $f'' (- 4)$ धनात्मक है.

$(- \infty, - 1)$ को अवतल ऊपर है क्योंकि $f'' (x)$ धनात्मक है

चरण 6

अंतराल $(- 1, - \frac{\sqrt{5}}{5})$ से किसी भी संख्या को दूसरे व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें और अंतराल को निर्धारित करने के लिए मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

व्यंजक में चर $x$ को $- 0.72$ से बदलें.

$f'' (- 0.72) = 30 {(- 0.72)}^{4} - 36 {(- 0.72)}^{2} + 6$

चरण 6.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1.1

$- 0.72$ को $4$ के घात तक बढ़ाएं.

$f'' (- 0.72) = 30 \cdot 0.26873856 - 36 {(- 0.72)}^{2} + 6$

चरण 6.2.1.2

$30$ को $0.26873856$ से गुणा करें.

$f'' (- 0.72) = 8.0621568 - 36 {(- 0.72)}^{2} + 6$

चरण 6.2.1.3

$- 0.72$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f'' (- 0.72) = 8.0621568 - 36 \cdot 0.5184 + 6$

चरण 6.2.1.4

$- 36$ को $0.5184$ से गुणा करें.

$f'' (- 0.72) = 8.0621568 - 18.6624 + 6$

चरण 6.2.2

जोड़कर और घटाकर सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.2.1

$8.0621568$ में से $18.6624$ घटाएं.

$f'' (- 0.72) = - 10.6002432 + 6$

चरण 6.2.2.2

$- 10.6002432$ और $6$ जोड़ें.

$f'' (- 0.72) = - 4.6002432$

चरण 6.2.3

अंतिम उत्तर $- 4.6002432$ है.

$- 4.6002432$

चरण 6.3

अंतराल $(- 1, - \frac{\sqrt{5}}{5})$ पर ग्राफ अवतल नीचे है क्योंकि $f'' (- 0.72)$ ऋणात्मक है.

$(- 1, - \frac{\sqrt{5}}{5})$ पर अवतल नीचे है क्योंकि $f'' (x)$ ऋणात्मक है

चरण 7

अंतराल $(- \frac{\sqrt{5}}{5}, \frac{\sqrt{5}}{5})$ से किसी भी संख्या को दूसरे व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें और अंतराल को निर्धारित करने के लिए मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

व्यंजक में चर $x$ को $0$ से बदलें.

$f'' (0) = 30 {(0)}^{4} - 36 {(0)}^{2} + 6$

चरण 7.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1.1

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$f'' (0) = 30 \cdot 0 - 36 {(0)}^{2} + 6$

चरण 7.2.1.2

$30$ को $0$ से गुणा करें.

$f'' (0) = 0 - 36 {(0)}^{2} + 6$

चरण 7.2.1.3

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$f'' (0) = 0 - 36 \cdot 0 + 6$

चरण 7.2.1.4

$- 36$ को $0$ से गुणा करें.

$f'' (0) = 0 + 0 + 6$

चरण 7.2.2

संख्याओं को जोड़कर सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.2.1

$0$ और $0$ जोड़ें.

$f'' (0) = 0 + 6$

चरण 7.2.2.2

$0$ और $6$ जोड़ें.

$f'' (0) = 6$

चरण 7.2.3

अंतिम उत्तर $6$ है.

$6$

चरण 7.3

अंतराल $(- \frac{\sqrt{5}}{5}, \frac{\sqrt{5}}{5})$ पर ग्राफ अवतल ऊपर है क्योंकि $f'' (0)$ धनात्मक है.

$(- \frac{\sqrt{5}}{5}, \frac{\sqrt{5}}{5})$ को अवतल ऊपर है क्योंकि $f'' (x)$ धनात्मक है

चरण 8

अंतराल $(\frac{\sqrt{5}}{5}, 1)$ से किसी भी संख्या को दूसरे व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें और अंतराल को निर्धारित करने के लिए मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

व्यंजक में चर $x$ को $0.72$ से बदलें.

$f'' (0.72) = 30 {(0.72)}^{4} - 36 {(0.72)}^{2} + 6$

चरण 8.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.1.1

$0.72$ को $4$ के घात तक बढ़ाएं.

$f'' (0.72) = 30 \cdot 0.26873856 - 36 {(0.72)}^{2} + 6$

चरण 8.2.1.2

$30$ को $0.26873856$ से गुणा करें.

$f'' (0.72) = 8.0621568 - 36 {(0.72)}^{2} + 6$

चरण 8.2.1.3

$0.72$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f'' (0.72) = 8.0621568 - 36 \cdot 0.5184 + 6$

चरण 8.2.1.4

$- 36$ को $0.5184$ से गुणा करें.

$f'' (0.72) = 8.0621568 - 18.6624 + 6$

चरण 8.2.2

जोड़कर और घटाकर सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.2.1

$8.0621568$ में से $18.6624$ घटाएं.

$f'' (0.72) = - 10.6002432 + 6$

चरण 8.2.2.2

$- 10.6002432$ और $6$ जोड़ें.

$f'' (0.72) = - 4.6002432$

चरण 8.2.3

अंतिम उत्तर $- 4.6002432$ है.

$- 4.6002432$

चरण 8.3

अंतराल $(\frac{\sqrt{5}}{5}, 1)$ पर ग्राफ अवतल नीचे है क्योंकि $f'' (0.72)$ ऋणात्मक है.

$(\frac{\sqrt{5}}{5}, 1)$ पर अवतल नीचे है क्योंकि $f'' (x)$ ऋणात्मक है

चरण 9

अंतराल $(1, \infty)$ से किसी भी संख्या को दूसरे व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें और अंतराल को निर्धारित करने के लिए मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

व्यंजक में चर $x$ को $4$ से बदलें.

$f'' (4) = 30 {(4)}^{4} - 36 {(4)}^{2} + 6$

चरण 9.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.2.1.1

$4$ को $4$ के घात तक बढ़ाएं.

$f'' (4) = 30 \cdot 256 - 36 {(4)}^{2} + 6$

चरण 9.2.1.2

$30$ को $256$ से गुणा करें.

$f'' (4) = 7680 - 36 {(4)}^{2} + 6$

चरण 9.2.1.3

$4$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f'' (4) = 7680 - 36 \cdot 16 + 6$

चरण 9.2.1.4

$- 36$ को $16$ से गुणा करें.

$f'' (4) = 7680 - 576 + 6$

चरण 9.2.2

जोड़कर और घटाकर सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.2.2.1

$7680$ में से $576$ घटाएं.

$f'' (4) = 7104 + 6$

चरण 9.2.2.2

$7104$ और $6$ जोड़ें.

$f'' (4) = 7110$

चरण 9.2.3

अंतिम उत्तर $7110$ है.

$7110$

चरण 9.3

अंतराल $(1, \infty)$ पर ग्राफ अवतल ऊपर है क्योंकि $f'' (4)$ धनात्मक है.

$(1, \infty)$ को अवतल ऊपर है क्योंकि $f'' (x)$ धनात्मक है

चरण 10

जब दूसरा व्युत्पन्न ऋणात्मक होता है तो ग्राफ अवतल नीचे होता है और दूसरा व्युत्पन्न धनात्मक होने पर अवतल ऊपर होता है.

$(- \infty, - 1)$ को अवतल ऊपर है क्योंकि $f'' (x)$ धनात्मक है

$(- 1, - \frac{\sqrt{5}}{5})$ पर अवतल नीचे है क्योंकि $f'' (x)$ ऋणात्मक है

$(- \frac{\sqrt{5}}{5}, \frac{\sqrt{5}}{5})$ को अवतल ऊपर है क्योंकि $f'' (x)$ धनात्मक है

$(\frac{\sqrt{5}}{5}, 1)$ पर अवतल नीचे है क्योंकि $f'' (x)$ ऋणात्मक है

$(1, \infty)$ को अवतल ऊपर है क्योंकि $f'' (x)$ धनात्मक है

चरण 11