कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = \frac{1}{1 + x^{2}}$

चरण 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

दूसरा व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1.1

$\frac{1}{1 + x^{2}}$ को ${(1 + x^{2})}^{- 1}$ के रूप में फिर से लिखें.

$f' (x) = \frac{d}{d x} ({(1 + x^{2})}^{- 1})$

चरण 1.1.1.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{- 1}$ और $g (x) = 1 + x^{2}$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $1 + x^{2}$ के रूप में सेट करें.

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (1 + x^{2})$

चरण 1.1.1.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = - 1$ है.

$f' (x) = - u^{- 2} \frac{d}{d x} (1 + x^{2})$

चरण 1.1.1.2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $1 + x^{2}$ से बदलें.

$f' (x) = - {(1 + x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} (1 + x^{2})$

चरण 1.1.1.3

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1.3.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $1 + x^{2}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ है.

$f' (x) = - {(1 + x^{2})}^{- 2} (\frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (x^{2}))$

चरण 1.1.1.3.2

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$f' (x) = - {(1 + x^{2})}^{- 2} (0 + \frac{d}{d x} (x^{2}))$

चरण 1.1.1.3.3

$0$ और $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ जोड़ें.

$f' (x) = - {(1 + x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2}$

चरण 1.1.1.3.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$f' (x) = - {(1 + x^{2})}^{- 2} (2 x)$

चरण 1.1.1.3.5

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$f' (x) = - 2 {(1 + x^{2})}^{- 2} x$

चरण 1.1.1.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1.4.1

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$f' (x) = - 2 \frac{1}{{(1 + x^{2})}^{2}} \cdot x$

चरण 1.1.1.4.2

पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1.4.2.1

$- 2$ और $\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{2}}$ को मिलाएं.

$f' (x) = \frac{- 2}{{(1 + x^{2})}^{2}} \cdot x$

चरण 1.1.1.4.2.2

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$f' (x) = - \frac{2}{{(1 + x^{2})}^{2}} \cdot x$

चरण 1.1.1.4.2.3

$x$ और $\frac{2}{{(1 + x^{2})}^{2}}$ को मिलाएं.

$f' (x) = - \frac{x \cdot 2}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

चरण 1.1.1.4.2.4

$2$ को $x$ के बाईं ओर ले जाएं.

$f' (x) = - \frac{2 x}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

चरण 1.1.2

दूसरा व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.1

चूंकि $- 2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- \frac{2 x}{{(1 + x^{2})}^{2}}$ का व्युत्पन्न $- 2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{2}}]$ है.

$f'' (x) = - 2 \frac{d}{d x} \frac{x}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

चरण 1.1.2.2

भागफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ है, जहाँ $f (x) = x$ और $g (x) = {(1 + x^{2})}^{2}$ है.

$f'' (x) = - 2 \frac{{(1 + x^{2})}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(1 + x^{2})}^{2}}{{({(1 + x^{2})}^{2})}^{2}}$

चरण 1.1.2.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.3.1

घातांक को ${({(1 + x^{2})}^{2})}^{2}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.3.1.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(1 + x^{2})}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(1 + x^{2})}^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2 \cdot 2}}$

चरण 1.1.2.3.1.2

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$f'' (x) = - 2 \frac{{(1 + x^{2})}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(1 + x^{2})}^{2}}{{(1 + x^{2})}^{4}}$

चरण 1.1.2.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$f'' (x) = - 2 \frac{{(1 + x^{2})}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} {(1 + x^{2})}^{2}}{{(1 + x^{2})}^{4}}$

चरण 1.1.2.3.3

${(1 + x^{2})}^{2}$ को $1$ से गुणा करें.

$f'' (x) = - 2 \frac{{(1 + x^{2})}^{2} - x \frac{d}{d x} {(1 + x^{2})}^{2}}{{(1 + x^{2})}^{4}}$

चरण 1.1.2.4

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{2}$ और $g (x) = 1 + x^{2}$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.4.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $1 + x^{2}$ के रूप में सेट करें.

$f'' (x) = - 2 \frac{{(1 + x^{2})}^{2} - x (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (1 + x^{2}))}{{(1 + x^{2})}^{4}}$

चरण 1.1.2.4.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$f'' (x) = - 2 \frac{{(1 + x^{2})}^{2} - x (2 u \frac{d}{d x} (1 + x^{2}))}{{(1 + x^{2})}^{4}}$

चरण 1.1.2.4.3

$u$ की सभी घटनाओं को $1 + x^{2}$ से बदलें.

$f'' (x) = - 2 \frac{{(1 + x^{2})}^{2} - x (2 (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} (1 + x^{2}))}{{(1 + x^{2})}^{4}}$

चरण 1.1.2.5

गुणनखंड निकालकर सरलीकृत करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.5.1

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$f'' (x) = - 2 \frac{{(1 + x^{2})}^{2} - 2 x ((1 + x^{2}) \frac{d}{d x} (1 + x^{2}))}{{(1 + x^{2})}^{4}}$

चरण 1.1.2.5.2

${(1 + x^{2})}^{2} - 2 x ((1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$ में से $1 + x^{2}$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.5.2.1

${(1 + x^{2})}^{2}$ में से $1 + x^{2}$ का गुणनखंड करें.

$f'' (x) = - 2 \frac{(1 + x^{2}) (1 + x^{2}) - 2 x ((1 + x^{2}) \frac{d}{d x} (1 + x^{2}))}{{(1 + x^{2})}^{4}}$

चरण 1.1.2.5.2.2

$- 2 x ((1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$ में से $1 + x^{2}$ का गुणनखंड करें.

$f'' (x) = - 2 \frac{(1 + x^{2}) (1 + x^{2}) + (1 + x^{2}) (- 2 x (\frac{d}{d x} (1 + x^{2})))}{{(1 + x^{2})}^{4}}$

चरण 1.1.2.5.2.3

$(1 + x^{2}) (1 + x^{2}) + (1 + x^{2}) (- 2 x (\frac{d}{d x} [1 + x^{2}]))$ में से $1 + x^{2}$ का गुणनखंड करें.

$f'' (x) = - 2 \frac{(1 + x^{2}) (1 + x^{2} - 2 x (\frac{d}{d x} (1 + x^{2})))}{{(1 + x^{2})}^{4}}$

चरण 1.1.2.6

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.6.1

${(1 + x^{2})}^{4}$ में से $1 + x^{2}$ का गुणनखंड करें.

$f'' (x) = - 2 \frac{(1 + x^{2}) (1 + x^{2} - 2 x (\frac{d}{d x} (1 + x^{2})))}{(1 + x^{2}) {(1 + x^{2})}^{3}}$

चरण 1.1.2.6.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f'' (x) = - 2 \frac{(1 + x^{2}) (1 + x^{2} - 2 x (\frac{d}{d x} (1 + x^{2})))}{(1 + x^{2}) {(1 + x^{2})}^{3}}$

चरण 1.1.2.6.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f'' (x) = - 2 \frac{1 + x^{2} - 2 x (\frac{d}{d x} (1 + x^{2}))}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

चरण 1.1.2.7

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $1 + x^{2}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ है.

$f'' (x) = - 2 \frac{1 + x^{2} - 2 x (\frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (x^{2}))}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

चरण 1.1.2.8

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$f'' (x) = - 2 \frac{1 + x^{2} - 2 x (0 + \frac{d}{d x} (x^{2}))}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

चरण 1.1.2.9

$0$ और $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ जोड़ें.

$f'' (x) = - 2 \frac{1 + x^{2} - 2 x \frac{d}{d x} x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

चरण 1.1.2.10

$f'' (x) = - 2 \frac{1 + x^{2} - 2 x (2 x)}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

चरण 1.1.2.11

$2$ को $- 2$ से गुणा करें.

$f'' (x) = - 2 \frac{1 + x^{2} - 4 x \cdot x}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

चरण 1.1.2.12

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$f'' (x) = - 2 \frac{1 + x^{2} - 4 (x \cdot x)}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

चरण 1.1.2.13

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$f'' (x) = - 2 \frac{1 + x^{2} - 4 (x \cdot x)}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

चरण 1.1.2.14

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$f'' (x) = - 2 \frac{1 + x^{2} - 4 x^{1 + 1}}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

चरण 1.1.2.15

$1$ और $1$ जोड़ें.

$f'' (x) = - 2 \frac{1 + x^{2} - 4 x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

चरण 1.1.2.16

$x^{2}$ में से $4 x^{2}$ घटाएं.

$f'' (x) = - 2 \frac{1 - 3 x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

चरण 1.1.2.17

$- 2$ और $\frac{1 - 3 x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{3}}$ को मिलाएं.

$f'' (x) = \frac{- 2 (1 - 3 x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

चरण 1.1.2.18

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$f'' (x) = - \frac{(2) (1 - 3 x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

चरण 1.1.2.19

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.19.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$f'' (x) = - \frac{2 \cdot 1 + 2 (- 3 x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

चरण 1.1.2.19.2

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.19.2.1

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$f'' (x) = - \frac{2 + 2 (- 3 x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

चरण 1.1.2.19.2.2

$- 3$ को $2$ से गुणा करें.

$f'' (x) = - \frac{2 - 6 x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

चरण 1.1.2.19.3

$2 - 6 x^{2}$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.19.3.1

$2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$f'' (x) = - \frac{2 (1) - 6 x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

चरण 1.1.2.19.3.2

$- 6 x^{2}$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$f'' (x) = - \frac{2 (1) + 2 (- 3 x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

चरण 1.1.2.19.3.3

$2 (1) + 2 (- 3 x^{2})$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$f'' (x) = - \frac{2 (1 - 3 x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

चरण 1.1.3

$f (x)$ का दूसरा व्युत्पन्न बटे $x$ , $- \frac{2 (1 - 3 x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{3}}$ है.

$- \frac{2 (1 - 3 x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

चरण 1.2

दूसरे व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें, फिर समीकरण $- \frac{2 (1 - 3 x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{3}} = 0$ को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

दूसरे व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें.

$- \frac{2 (1 - 3 x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{3}} = 0$

चरण 1.2.2

न्यूमेरेटर को शून्य के बराबर सेट करें.

$2 (1 - 3 x^{2}) = 0$

चरण 1.2.3

$x$ के लिए समीकरण को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.3.1

$2 (1 - 3 x^{2}) = 0$ के प्रत्येक पद को $2$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.3.1.1

$2 (1 - 3 x^{2}) = 0$ के प्रत्येक पद को $2$ से विभाजित करें.

$\frac{2 (1 - 3 x^{2})}{2} = \frac{0}{2}$

चरण 1.2.3.1.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.3.1.2.1

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.3.1.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 (1 - 3 x^{2})}{2} = \frac{0}{2}$

चरण 1.2.3.1.2.1.2

$1 - 3 x^{2}$ को $1$ से विभाजित करें.

$1 - 3 x^{2} = \frac{0}{2}$

चरण 1.2.3.1.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.3.1.3.1

$0$ को $2$ से विभाजित करें.

$1 - 3 x^{2} = 0$

चरण 1.2.3.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $1$ घटाएं.

$- 3 x^{2} = - 1$

चरण 1.2.3.3

$- 3 x^{2} = - 1$ के प्रत्येक पद को $- 3$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.3.3.1

$- 3 x^{2} = - 1$ के प्रत्येक पद को $- 3$ से विभाजित करें.

$\frac{- 3 x^{2}}{- 3} = \frac{- 1}{- 3}$

चरण 1.2.3.3.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.3.3.2.1

$- 3$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.3.3.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{- 3 x^{2}}{- 3} = \frac{- 1}{- 3}$

चरण 1.2.3.3.2.1.2

$x^{2}$ को $1$ से विभाजित करें.

$x^{2} = \frac{- 1}{- 3}$

चरण 1.2.3.3.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.3.3.3.1

दो नकारात्मक मानों को विभाजित करने से एक सकारात्मक परिणाम प्राप्त होता है.

$x^{2} = \frac{1}{3}$

चरण 1.2.3.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{3}}$

चरण 1.2.3.5

$\pm \sqrt{\frac{1}{3}}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.3.5.1

$\sqrt{\frac{1}{3}}$ को $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$

चरण 1.2.3.5.2

$1$ का कोई भी मूल $1$ होता है.

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$

चरण 1.2.3.5.3

$\frac{1}{\sqrt{3}}$ को $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ से गुणा करें.

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

चरण 1.2.3.5.4

भाजक को मिलाएं और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.3.5.4.1

$\frac{1}{\sqrt{3}}$ को $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ से गुणा करें.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

चरण 1.2.3.5.4.2

$\sqrt{3}$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

चरण 1.2.3.5.4.3

$\sqrt{3}$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

चरण 1.2.3.5.4.4

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

चरण 1.2.3.5.4.5

$1$ और $1$ जोड़ें.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

चरण 1.2.3.5.4.6

${\sqrt{3}}^{2}$ को $3$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.3.5.4.6.1

$\sqrt{3}$ को $3^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

चरण 1.2.3.5.4.6.2

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

चरण 1.2.3.5.4.6.3

$\frac{1}{2}$ और $2$ को मिलाएं.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

चरण 1.2.3.5.4.6.4

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.3.5.4.6.4.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

चरण 1.2.3.5.4.6.4.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{1}}$

चरण 1.2.3.5.4.6.5

घातांक का मान ज्ञात करें.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$

चरण 1.2.3.6

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.3.6.1

सबसे पहले, पहला समाधान पता करने के लिए $\pm$ के धनात्मक मान का उपयोग करें.

$x = \frac{\sqrt{3}}{3}$

चरण 1.2.3.6.2

इसके बाद, दूसरा हल ज्ञात करने के लिए $\pm$ के ऋणात्मक मान का उपयोग करें.

$x = - \frac{\sqrt{3}}{3}$

चरण 1.2.3.6.3

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

$x = \frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{\sqrt{3}}{3}$

चरण 2

$f (x) = \frac{1}{1 + x^{2}}$ का डोमेन ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$\frac{1}{1 + x^{2}}$ में भाजक को $0$ के बराबर सेट करें ताकि यह पता लगाया जा सके कि व्यंजक कहां अपरिभाषित है.

$1 + x^{2} = 0$

चरण 2.2

$x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $1$ घटाएं.

$x^{2} = - 1$

चरण 2.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 1}$

चरण 2.2.3

$\sqrt{- 1}$ को $i$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \pm i$

चरण 2.2.4

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.4.1

सबसे पहले, पहला समाधान पता करने के लिए $\pm$ के धनात्मक मान का उपयोग करें.

$x = i$

चरण 2.2.4.2

इसके बाद, दूसरा हल ज्ञात करने के लिए $\pm$ के ऋणात्मक मान का उपयोग करें.

$x = - i$

चरण 2.2.4.3

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

$x = i, - i$

चरण 2.3

डोमेन सभी वास्तविक संख्याएं हैं.

मध्यवर्ती संकेतन:

$(- \infty, \infty)$

सेट-बिल्डर संकेतन:

${x | x \in ℝ}$

मध्यवर्ती संकेतन:

$(- \infty, \infty)$

सेट-बिल्डर संकेतन:

${x | x \in ℝ}$

चरण 3

$x$ -मानों के आसपास अंतराल करें जहां दूसरा व्युत्पन्न शून्य या अपरिभाषित हो.

$(- \infty, - \frac{\sqrt{3}}{3}) \cup (- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3}) \cup (\frac{\sqrt{3}}{3}, \infty)$

चरण 4

अंतराल $(- \infty, - \frac{\sqrt{3}}{3})$ से किसी भी संख्या को दूसरे व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें और अंतराल को निर्धारित करने के लिए मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

व्यंजक में चर $x$ को $- 3$ से बदलें.

$f'' (- 3) = - \frac{2 (1 - 3 {(- 3)}^{2})}{{(1 + {(- 3)}^{2})}^{3}}$

चरण 4.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1

घातांक जोड़कर $- 3$ को ${(- 3)}^{2}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1.1

$- 3$ को ${(- 3)}^{2}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1.1.1

$- 3$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$f'' (- 3) = - \frac{2 (1 + (- 3) {(- 3)}^{2})}{{(1 + {(- 3)}^{2})}^{3}}$

चरण 4.2.1.1.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$f'' (- 3) = - \frac{2 (1 + {(- 3)}^{1 + 2})}{{(1 + {(- 3)}^{2})}^{3}}$

चरण 4.2.1.2

$1$ और $2$ जोड़ें.

$f'' (- 3) = - \frac{2 (1 + {(- 3)}^{3})}{{(1 + {(- 3)}^{2})}^{3}}$

चरण 4.2.2

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.2.1

$- 3$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$f'' (- 3) = - \frac{2 (1 - 27)}{{(1 + {(- 3)}^{2})}^{3}}$

चरण 4.2.2.2

$1$ में से $27$ घटाएं.

$f'' (- 3) = - \frac{2 \cdot - 26}{{(1 + {(- 3)}^{2})}^{3}}$

चरण 4.2.3

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.3.1

$- 3$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f'' (- 3) = - \frac{2 \cdot - 26}{{(1 + 9)}^{3}}$

चरण 4.2.3.2

$1$ और $9$ जोड़ें.

$f'' (- 3) = - \frac{2 \cdot - 26}{10^{3}}$

चरण 4.2.3.3

$10$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$f'' (- 3) = - \frac{2 \cdot - 26}{1000}$

चरण 4.2.4

सामान्य गुणनखंडों को रद्द करके व्यंजक को छोटा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.4.1

$2$ को $- 26$ से गुणा करें.

$f'' (- 3) = - \frac{- 52}{1000}$

चरण 4.2.4.2

$- 52$ और $1000$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.4.2.1

$- 52$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$f'' (- 3) = - \frac{4 (- 13)}{1000}$

चरण 4.2.4.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.4.2.2.1

$1000$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$f'' (- 3) = - \frac{4 \cdot - 13}{4 \cdot 250}$

चरण 4.2.4.2.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f'' (- 3) = - \frac{4 \cdot - 13}{4 \cdot 250}$

चरण 4.2.4.2.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f'' (- 3) = - \frac{- 13}{250}$

चरण 4.2.4.3

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$f'' (- 3) = \frac{13}{250}$

चरण 4.2.5

अंतिम उत्तर $\frac{13}{250}$ है.

$\frac{13}{250}$

चरण 4.3

अंतराल $(- \infty, - \frac{\sqrt{3}}{3})$ पर ग्राफ अवतल ऊपर है क्योंकि $f'' (- 3)$ धनात्मक है.

$(- \infty, - \frac{\sqrt{3}}{3})$ को अवतल ऊपर है क्योंकि $f'' (x)$ धनात्मक है

चरण 5

अंतराल $(- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3})$ से किसी भी संख्या को दूसरे व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें और अंतराल को निर्धारित करने के लिए मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

व्यंजक में चर $x$ को $0$ से बदलें.

$f'' (0) = - \frac{2 (1 - 3 {(0)}^{2})}{{(1 + {(0)}^{2})}^{3}}$

चरण 5.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1.1

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$f'' (0) = - \frac{2 (1 - 3 \cdot 0)}{{(1 + 0^{2})}^{3}}$

चरण 5.2.1.2

$- 3$ को $0$ से गुणा करें.

$f'' (0) = - \frac{2 (1 + 0)}{{(1 + 0^{2})}^{3}}$

चरण 5.2.1.3

$1$ और $0$ जोड़ें.

$f'' (0) = - \frac{2 \cdot 1}{{(1 + 0^{2})}^{3}}$

चरण 5.2.2

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.2.1

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$f'' (0) = - \frac{2 \cdot 1}{{(1 + 0)}^{3}}$

चरण 5.2.2.2

$1$ और $0$ जोड़ें.

$f'' (0) = - \frac{2 \cdot 1}{1^{3}}$

चरण 5.2.2.3

एक का कोई भी घात एक होता है.

$f'' (0) = - \frac{2 \cdot 1}{1}$

चरण 5.2.3

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.3.1

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$f'' (0) = - \frac{2}{1}$

चरण 5.2.3.2

$2$ को $1$ से विभाजित करें.

$f'' (0) = - 1 \cdot 2$

चरण 5.2.3.3

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$f'' (0) = - 2$

चरण 5.2.4

अंतिम उत्तर $- 2$ है.

$- 2$

चरण 5.3

अंतराल $(- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3})$ पर ग्राफ अवतल नीचे है क्योंकि $f'' (0)$ ऋणात्मक है.

$(- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3})$ पर अवतल नीचे है क्योंकि $f'' (x)$ ऋणात्मक है

चरण 6

अंतराल $(\frac{\sqrt{3}}{3}, \infty)$ से किसी भी संख्या को दूसरे व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें और अंतराल को निर्धारित करने के लिए मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

व्यंजक में चर $x$ को $3$ से बदलें.

$f'' (3) = - \frac{2 (1 - 3 {(3)}^{2})}{{(1 + {(3)}^{2})}^{3}}$

चरण 6.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1.1

$3$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f'' (3) = - \frac{2 (1 - 3 \cdot 9)}{{(1 + 3^{2})}^{3}}$

चरण 6.2.1.2

$- 3$ को $9$ से गुणा करें.

$f'' (3) = - \frac{2 (1 - 27)}{{(1 + 3^{2})}^{3}}$

चरण 6.2.1.3

$1$ में से $27$ घटाएं.

$f'' (3) = - \frac{2 \cdot - 26}{{(1 + 3^{2})}^{3}}$

चरण 6.2.2

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.2.1

$3$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f'' (3) = - \frac{2 \cdot - 26}{{(1 + 9)}^{3}}$

चरण 6.2.2.2

$1$ और $9$ जोड़ें.

$f'' (3) = - \frac{2 \cdot - 26}{10^{3}}$

चरण 6.2.2.3

$10$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$f'' (3) = - \frac{2 \cdot - 26}{1000}$

चरण 6.2.3

सामान्य गुणनखंडों को रद्द करके व्यंजक को छोटा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.3.1

$2$ को $- 26$ से गुणा करें.

$f'' (3) = - \frac{- 52}{1000}$

चरण 6.2.3.2

$- 52$ और $1000$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.3.2.1

$- 52$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$f'' (3) = - \frac{4 (- 13)}{1000}$

चरण 6.2.3.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.3.2.2.1

$1000$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$f'' (3) = - \frac{4 \cdot - 13}{4 \cdot 250}$

चरण 6.2.3.2.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f'' (3) = - \frac{4 \cdot - 13}{4 \cdot 250}$

चरण 6.2.3.2.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f'' (3) = - \frac{- 13}{250}$

चरण 6.2.3.3

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$f'' (3) = \frac{13}{250}$

चरण 6.2.4

अंतिम उत्तर $\frac{13}{250}$ है.

$\frac{13}{250}$

चरण 6.3

अंतराल $(\frac{\sqrt{3}}{3}, \infty)$ पर ग्राफ अवतल ऊपर है क्योंकि $f'' (3)$ धनात्मक है.

$(\frac{\sqrt{3}}{3}, \infty)$ को अवतल ऊपर है क्योंकि $f'' (x)$ धनात्मक है

चरण 7

जब दूसरा व्युत्पन्न ऋणात्मक होता है तो ग्राफ अवतल नीचे होता है और दूसरा व्युत्पन्न धनात्मक होने पर अवतल ऊपर होता है.

$(- \infty, - \frac{\sqrt{3}}{3})$ को अवतल ऊपर है क्योंकि $f'' (x)$ धनात्मक है

$(- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3})$ पर अवतल नीचे है क्योंकि $f'' (x)$ ऋणात्मक है

$(\frac{\sqrt{3}}{3}, \infty)$ को अवतल ऊपर है क्योंकि $f'' (x)$ धनात्मक है

चरण 8