कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = \frac{1}{2} x^{4} - 4 x^{2}$

चरण 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

दूसरा व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $\frac{1}{2} x^{4} - 4 x^{2}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ है.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$

चरण 1.1.1.2

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1.2.1

चूंकि $\frac{1}{2}$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $\frac{1}{2} x^{4}$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ है.

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$

चरण 1.1.1.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 4$ है.

$\frac{1}{2} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$

चरण 1.1.1.2.3

$4$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{4}{2} x^{3} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$

चरण 1.1.1.2.4

$\frac{4}{2}$ और $x^{3}$ को मिलाएं.

$\frac{4 x^{3}}{2} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$

चरण 1.1.1.2.5

$4$ और $2$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1.2.5.1

$4 x^{3}$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 (2 x^{3})}{2} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$

चरण 1.1.1.2.5.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1.2.5.2.1

$2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 (2 x^{3})}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$

चरण 1.1.1.2.5.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 (2 x^{3})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$

चरण 1.1.1.2.5.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{2 x^{3}}{1} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$

चरण 1.1.1.2.5.2.4

$2 x^{3}$ को $1$ से विभाजित करें.

$2 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$

चरण 1.1.1.3

$\frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1.3.1

चूंकि $- 4$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 4 x^{2}$ का व्युत्पन्न $- 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ है.

$2 x^{3} - 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

चरण 1.1.1.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$2 x^{3} - 4 (2 x)$

चरण 1.1.1.3.3

$2$ को $- 4$ से गुणा करें.

$f' (x) = 2 x^{3} - 8 x$

चरण 1.1.2

दूसरा व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $2 x^{3} - 8 x$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8 x]$ है.

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8 x]$

चरण 1.1.2.2

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.2.1

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x^{3}$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ है.

$2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8 x]$

चरण 1.1.2.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 3$ है.

$2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 8 x]$

चरण 1.1.2.2.3

$3$ को $2$ से गुणा करें.

$6 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 8 x]$

चरण 1.1.2.3

$\frac{d}{d x} [- 8 x]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.3.1

चूंकि $- 8$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 8 x$ का व्युत्पन्न $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$6 x^{2} - 8 \frac{d}{d x} [x]$

चरण 1.1.2.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$6 x^{2} - 8 \cdot 1$

चरण 1.1.2.3.3

$- 8$ को $1$ से गुणा करें.

$f'' (x) = 6 x^{2} - 8$

चरण 1.1.3

$f (x)$ का दूसरा व्युत्पन्न बटे $x$ , $6 x^{2} - 8$ है.

$6 x^{2} - 8$

चरण 1.2

दूसरे व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें, फिर समीकरण $6 x^{2} - 8 = 0$ को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

दूसरे व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें.

$6 x^{2} - 8 = 0$

चरण 1.2.2

समीकरण के दोनों पक्षों में $8$ जोड़ें.

$6 x^{2} = 8$

चरण 1.2.3

$6 x^{2} = 8$ के प्रत्येक पद को $6$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.3.1

$6 x^{2} = 8$ के प्रत्येक पद को $6$ से विभाजित करें.

$\frac{6 x^{2}}{6} = \frac{8}{6}$

चरण 1.2.3.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.3.2.1

$6$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.3.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{6 x^{2}}{6} = \frac{8}{6}$

चरण 1.2.3.2.1.2

$x^{2}$ को $1$ से विभाजित करें.

$x^{2} = \frac{8}{6}$

चरण 1.2.3.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.3.3.1

$8$ और $6$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.3.3.1.1

$8$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$x^{2} = \frac{2 (4)}{6}$

चरण 1.2.3.3.1.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.3.3.1.2.1

$6$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$x^{2} = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 3}$

चरण 1.2.3.3.1.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$x^{2} = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 3}$

चरण 1.2.3.3.1.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$x^{2} = \frac{4}{3}$

चरण 1.2.4

बाईं ओर के घातांक को समाप्त करने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों का निर्दिष्ट मूल लें I

$x = \pm \sqrt{\frac{4}{3}}$

चरण 1.2.5

$\pm \sqrt{\frac{4}{3}}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.5.1

$\sqrt{\frac{4}{3}}$ को $\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{3}}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \pm \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{3}}$

चरण 1.2.5.2

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.5.2.1

$4$ को $2^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \pm \frac{\sqrt{2^{2}}}{\sqrt{3}}$

चरण 1.2.5.2.2

धनात्मक वास्तविक संख्या मानकर, करणी के अंतर्गत पदों को बाहर निकालें.

$x = \pm \frac{2}{\sqrt{3}}$

चरण 1.2.5.3

$\frac{2}{\sqrt{3}}$ को $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ से गुणा करें.

$x = \pm \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

चरण 1.2.5.4

भाजक को मिलाएं और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.5.4.1

$\frac{2}{\sqrt{3}}$ को $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ से गुणा करें.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

चरण 1.2.5.4.2

$\sqrt{3}$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

चरण 1.2.5.4.3

$\sqrt{3}$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

चरण 1.2.5.4.4

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

चरण 1.2.5.4.5

$1$ और $1$ जोड़ें.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

चरण 1.2.5.4.6

${\sqrt{3}}^{2}$ को $3$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.5.4.6.1

$\sqrt{3}$ को $3^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

चरण 1.2.5.4.6.2

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

चरण 1.2.5.4.6.3

$\frac{1}{2}$ और $2$ को मिलाएं.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

चरण 1.2.5.4.6.4

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.5.4.6.4.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

चरण 1.2.5.4.6.4.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3^{1}}$

चरण 1.2.5.4.6.5

घातांक का मान ज्ञात करें.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

चरण 1.2.6

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.6.1

सबसे पहले, पहला समाधान पता करने के लिए $\pm$ के धनात्मक मान का उपयोग करें.

$x = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

चरण 1.2.6.2

इसके बाद, दूसरा हल ज्ञात करने के लिए $\pm$ के ऋणात्मक मान का उपयोग करें.

$x = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

चरण 1.2.6.3

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

$x = \frac{2 \sqrt{3}}{3}, - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

चरण 2

व्यंजक का डोमेन सभी वास्तविक संख्याएँ हैं सिवाय जहाँ व्यंजक अपरिभाषित है. इस स्थिति में, कोई वास्तविक संख्या नहीं है जो व्यंजक को अपरिभाषित बनाती है.

मध्यवर्ती संकेतन:

$(- \infty, \infty)$

सेट-बिल्डर संकेतन:

${x | x \in ℝ}$

चरण 3

$x$ -मानों के आसपास अंतराल करें जहां दूसरा व्युत्पन्न शून्य या अपरिभाषित हो.

$(- \infty, - \frac{2 \sqrt{3}}{3}) \cup (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}, \frac{2 \sqrt{3}}{3}) \cup (\frac{2 \sqrt{3}}{3}, \infty)$

चरण 4

अंतराल $(- \infty, - \frac{2 \sqrt{3}}{3})$ से किसी भी संख्या को दूसरे व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें और अंतराल को निर्धारित करने के लिए मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

व्यंजक में चर $x$ को $- 4$ से बदलें.

$f'' (- 4) = 6 {(- 4)}^{2} - 8$

चरण 4.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1.1

$- 4$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f'' (- 4) = 6 \cdot 16 - 8$

चरण 4.2.1.2

$6$ को $16$ से गुणा करें.

$f'' (- 4) = 96 - 8$

चरण 4.2.2

$96$ में से $8$ घटाएं.

$f'' (- 4) = 88$

चरण 4.2.3

अंतिम उत्तर $88$ है.

$88$

चरण 4.3

अंतराल $(- \infty, - \frac{2 \sqrt{3}}{3})$ पर ग्राफ अवतल ऊपर है क्योंकि $f'' (- 4)$ धनात्मक है.

$(- \infty, - \frac{2 \sqrt{3}}{3})$ को अवतल ऊपर है क्योंकि $f'' (x)$ धनात्मक है

चरण 5

अंतराल $(- \frac{2 \sqrt{3}}{3}, \frac{2 \sqrt{3}}{3})$ से किसी भी संख्या को दूसरे व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें और अंतराल को निर्धारित करने के लिए मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

व्यंजक में चर $x$ को $0$ से बदलें.

$f'' (0) = 6 {(0)}^{2} - 8$

चरण 5.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1.1

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$f'' (0) = 6 \cdot 0 - 8$

चरण 5.2.1.2

$6$ को $0$ से गुणा करें.

$f'' (0) = 0 - 8$

चरण 5.2.2

$0$ में से $8$ घटाएं.

$f'' (0) = - 8$

चरण 5.2.3

अंतिम उत्तर $- 8$ है.

$- 8$

चरण 5.3

अंतराल $(- \frac{2 \sqrt{3}}{3}, \frac{2 \sqrt{3}}{3})$ पर ग्राफ अवतल नीचे है क्योंकि $f'' (0)$ ऋणात्मक है.

$(- \frac{2 \sqrt{3}}{3}, \frac{2 \sqrt{3}}{3})$ पर अवतल नीचे है क्योंकि $f'' (x)$ ऋणात्मक है

चरण 6

अंतराल $(\frac{2 \sqrt{3}}{3}, \infty)$ से किसी भी संख्या को दूसरे व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें और अंतराल को निर्धारित करने के लिए मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

व्यंजक में चर $x$ को $4$ से बदलें.

$f'' (4) = 6 {(4)}^{2} - 8$

चरण 6.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1.1

$4$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f'' (4) = 6 \cdot 16 - 8$

चरण 6.2.1.2

$6$ को $16$ से गुणा करें.

$f'' (4) = 96 - 8$

चरण 6.2.2

$96$ में से $8$ घटाएं.

$f'' (4) = 88$

चरण 6.2.3

अंतिम उत्तर $88$ है.

$88$

चरण 6.3

अंतराल $(\frac{2 \sqrt{3}}{3}, \infty)$ पर ग्राफ अवतल ऊपर है क्योंकि $f'' (4)$ धनात्मक है.

$(\frac{2 \sqrt{3}}{3}, \infty)$ को अवतल ऊपर है क्योंकि $f'' (x)$ धनात्मक है

चरण 7

जब दूसरा व्युत्पन्न ऋणात्मक होता है तो ग्राफ अवतल नीचे होता है और दूसरा व्युत्पन्न धनात्मक होने पर अवतल ऊपर होता है.

$(- \infty, - \frac{2 \sqrt{3}}{3})$ को अवतल ऊपर है क्योंकि $f'' (x)$ धनात्मक है

$(- \frac{2 \sqrt{3}}{3}, \frac{2 \sqrt{3}}{3})$ पर अवतल नीचे है क्योंकि $f'' (x)$ ऋणात्मक है

$(\frac{2 \sqrt{3}}{3}, \infty)$ को अवतल ऊपर है क्योंकि $f'' (x)$ धनात्मक है

चरण 8