कैलकुलस उदाहरण

$y = - x^{2} + x$

चरण 1

व्युत्पन्न की सीमा परिभाषा पर विचार करें.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

चरण 2

परिभाषा के घटक पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$x = x + h$ पर फलन का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

व्यंजक में चर $x$ को $x + h$ से बदलें.

$f (x + h) = - {(x + h)}^{2} + x + h$

चरण 2.1.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.1

कोष्ठक हटा दें.

$f (x + h) = - {(x + h)}^{2} + x + h$

चरण 2.1.2.2

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.2.1

${(x + h)}^{2}$ को $(x + h) (x + h)$ के रूप में फिर से लिखें.

$f (x + h) = - ((x + h) (x + h)) + x + h$

चरण 2.1.2.2.2

FOIL विधि का उपयोग करके $(x + h) (x + h)$ का प्रसार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.2.2.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$f (x + h) = - (x (x + h) + h (x + h)) + x + h$

चरण 2.1.2.2.2.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$f (x + h) = - (x \cdot x + x h + h (x + h)) + x + h$

चरण 2.1.2.2.2.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$f (x + h) = - (x \cdot x + x h + h x + h \cdot h) + x + h$

चरण 2.1.2.2.3

समान पदों को सरल और संयोजित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.2.3.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.2.3.1.1

$x$ को $x$ से गुणा करें.

$f (x + h) = - (x^{2} + x h + h x + h \cdot h) + x + h$

चरण 2.1.2.2.3.1.2

$h$ को $h$ से गुणा करें.

$f (x + h) = - (x^{2} + x h + h x + h^{2}) + x + h$

चरण 2.1.2.2.3.2

$x h$ और $h x$ जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.2.3.2.1

$x$ और $h$ को पुन: क्रमित करें.

$f (x + h) = - (x^{2} + h x + h x + h^{2}) + x + h$

चरण 2.1.2.2.3.2.2

$h x$ और $h x$ जोड़ें.

$f (x + h) = - (x^{2} + 2 h x + h^{2}) + x + h$

चरण 2.1.2.2.4

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$f (x + h) = - x^{2} - (2 h x) - h^{2} + x + h$

चरण 2.1.2.2.5

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$f (x + h) = - x^{2} - 2 h x - h^{2} + x + h$

चरण 2.1.2.3

अंतिम उत्तर $- x^{2} - 2 h x - h^{2} + x + h$ है.

$- x^{2} - 2 h x - h^{2} + x + h$

चरण 2.2

पुन: व्यवस्थित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

$x$ ले जाएं.

$- x^{2} - 2 h x - h^{2} + h + x$

चरण 2.2.2

$- x^{2}$ ले जाएं.

$- 2 h x - h^{2} - x^{2} + h + x$

चरण 2.2.3

$- 2 h x$ और $- h^{2}$ को पुन: क्रमित करें.

$- h^{2} - 2 h x - x^{2} + h + x$

चरण 2.3

परिभाषा के घटक पता करें.

$f (x + h) = - h^{2} - 2 h x - x^{2} + h + x$

$f (x) = - x^{2} + x$

$f (x + h) = - h^{2} - 2 h x - x^{2} + h + x$

$f (x) = - x^{2} + x$

चरण 3

घटकों में प्लग करें.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- h^{2} - 2 h x - x^{2} + h + x - (- x^{2} + x)}{h}$

चरण 4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- h^{2} - 2 h x - x^{2} + h + x + x^{2} - x}{h}$

चरण 4.1.2

$- - x^{2}$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.2.1

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- h^{2} - 2 h x - x^{2} + h + x + 1 x^{2} - x}{h}$

चरण 4.1.2.2

$x^{2}$ को $1$ से गुणा करें.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- h^{2} - 2 h x - x^{2} + h + x + x^{2} - x}{h}$

चरण 4.1.3

$- x^{2}$ और $x^{2}$ जोड़ें.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- h^{2} - 2 h x + h + x + 0 - x}{h}$

चरण 4.1.4

$- h^{2}$ और $0$ जोड़ें.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- h^{2} - 2 h x + h + x - x}{h}$

चरण 4.1.5

$x$ में से $x$ घटाएं.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- h^{2} - 2 h x + h + 0}{h}$

चरण 4.1.6

$- h^{2} - 2 h x + h$ और $0$ जोड़ें.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- h^{2} - 2 h x + h}{h}$

चरण 4.1.7

$- h^{2} - 2 h x + h$ में से $h$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.7.1

$- h^{2}$ में से $h$ का गुणनखंड करें.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (- h) - 2 h x + h}{h}$

चरण 4.1.7.2

$- 2 h x$ में से $h$ का गुणनखंड करें.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (- h) + h (- 2 x) + h}{h}$

चरण 4.1.7.3

$h$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (- h) + h (- 2 x) + h}{h}$

चरण 4.1.7.4

$h^{1}$ में से $h$ का गुणनखंड करें.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (- h) + h (- 2 x) + h \cdot 1}{h}$

चरण 4.1.7.5

$h (- h) + h (- 2 x)$ में से $h$ का गुणनखंड करें.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (- h - 2 x) + h \cdot 1}{h}$

चरण 4.1.7.6

$h (- h - 2 x) + h \cdot 1$ में से $h$ का गुणनखंड करें.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (- h - 2 x + 1)}{h}$

चरण 4.2

सामान्य गुणनखंडों को रद्द करके व्यंजक को छोटा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1

$h$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (- h - 2 x + 1)}{h}$

चरण 4.2.1.2

$- h - 2 x + 1$ को $1$ से विभाजित करें.

$f' (x) = lim_{h \to 0} - h - 2 x + 1$

चरण 4.2.2

$- h$ और $- 2 x$ को पुन: क्रमित करें.

$f' (x) = lim_{h \to 0} - 2 x - h + 1$

चरण 5

जैसे-जैसे $h$ $0$ के करीब पहुंचता है, सीमा पर योग नियम का उपयोग करके सीमा को विभाजित करें.

$- lim_{h \to 0} 2 x - lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 1$

चरण 6

$2 x$ की सीमा का मान ज्ञात करें जो $h$ के $0$ पर पहुँचने पर स्थिर होती है.

$- 2 x - lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 1$

चरण 7

$1$ की सीमा का मान ज्ञात करें जो $h$ के $0$ पर पहुँचने पर स्थिर होती है.

$- 2 x - lim_{h \to 0} h + 1$

चरण 8

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

$h$ के लिए $0$ को प्रतिस्थापित करके $h$ की सीमा का मान ज्ञात करें.

$- 2 x + 0 + 1$

चरण 8.2

$- 2 x$ और $0$ जोड़ें.

$- 2 x + 1$

चरण 9