कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = x^{3} - 5$

चरण 1

व्युत्पन्न की सीमा परिभाषा पर विचार करें.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

चरण 2

परिभाषा के घटक पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$x = x + h$ पर फलन का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

व्यंजक में चर $x$ को $x + h$ से बदलें.

$f (x + h) = {(x + h)}^{3} - 5$

चरण 2.1.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.1

द्विपद प्रमेय का प्रयोग करें.

$f (x + h) = x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} - 5$

चरण 2.1.2.2

अंतिम उत्तर $x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} - 5$ है.

$x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} - 5$

चरण 2.2

पुन: व्यवस्थित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

$x^{2}$ ले जाएं.

$x^{3} + 3 h x^{2} + 3 x h^{2} + h^{3} - 5$

चरण 2.2.2

$x$ ले जाएं.

$x^{3} + 3 h x^{2} + 3 h^{2} x + h^{3} - 5$

चरण 2.2.3

$x^{3}$ ले जाएं.

$3 h x^{2} + 3 h^{2} x + h^{3} + x^{3} - 5$

चरण 2.2.4

$3 h x^{2}$ ले जाएं.

$3 h^{2} x + h^{3} + 3 h x^{2} + x^{3} - 5$

चरण 2.2.5

$3 h^{2} x$ और $h^{3}$ को पुन: क्रमित करें.

$h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} - 5$

चरण 2.3

परिभाषा के घटक पता करें.

$f (x + h) = h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} - 5$

$f (x) = x^{3} - 5$

$f (x + h) = h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} - 5$

$f (x) = x^{3} - 5$

चरण 3

घटकों में प्लग करें.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} - 5 - (x^{3} - 5)}{h}$

चरण 4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} - 5 - x^{3} + 5}{h}$

चरण 4.1.2

$- 1$ को $- 5$ से गुणा करें.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} - 5 - x^{3} + 5}{h}$

चरण 4.1.3

$x^{3}$ में से $x^{3}$ घटाएं.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + 0 - 5 + 5}{h}$

चरण 4.1.4

$h^{3}$ और $0$ जोड़ें.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} - 5 + 5}{h}$

चरण 4.1.5

$- 5$ और $5$ जोड़ें.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + 0}{h}$

चरण 4.1.6

$h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2}$ और $0$ जोड़ें.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2}}{h}$

चरण 4.1.7

$h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2}$ में से $h$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.7.1

$h^{3}$ में से $h$ का गुणनखंड करें.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h \cdot h^{2} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2}}{h}$

चरण 4.1.7.2

$3 h^{2} x$ में से $h$ का गुणनखंड करें.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{2}) + h (3 h x) + 3 h x^{2}}{h}$

चरण 4.1.7.3

$3 h x^{2}$ में से $h$ का गुणनखंड करें.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{2}) + h (3 h x) + h (3 x^{2})}{h}$

चरण 4.1.7.4

$h (h^{2}) + h (3 h x)$ में से $h$ का गुणनखंड करें.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{2} + 3 h x) + h (3 x^{2})}{h}$

चरण 4.1.7.5

$h (h^{2} + 3 h x) + h (3 x^{2})$ में से $h$ का गुणनखंड करें.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2})}{h}$

चरण 4.2

सामान्य गुणनखंडों को रद्द करके व्यंजक को छोटा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1

$h$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2})}{h}$

चरण 4.2.1.2

$h^{2} + 3 h x + 3 x^{2}$ को $1$ से विभाजित करें.

$f' (x) = lim_{h \to 0} h^{2} + 3 h x + 3 x^{2}$

चरण 4.2.2

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.2.1

$h$ ले जाएं.

$f' (x) = lim_{h \to 0} h^{2} + 3 x h + 3 x^{2}$

चरण 4.2.2.2

$h^{2}$ ले जाएं.

$f' (x) = lim_{h \to 0} 3 x h + 3 x^{2} + h^{2}$

चरण 4.2.2.3

$3 x h$ और $3 x^{2}$ को पुन: क्रमित करें.

$f' (x) = lim_{h \to 0} 3 x^{2} + 3 x h + h^{2}$

चरण 5

जैसे-जैसे $h$ $0$ के करीब पहुंचता है, सीमा पर योग नियम का उपयोग करके सीमा को विभाजित करें.

$lim_{h \to 0} 3 x^{2} + lim_{h \to 0} 3 x h + lim_{h \to 0} h^{2}$

चरण 6

$3 x^{2}$ की सीमा का मान ज्ञात करें जो $h$ के $0$ पर पहुँचने पर स्थिर होती है.

$3 x^{2} + lim_{h \to 0} 3 x h + lim_{h \to 0} h^{2}$

चरण 7

$3 x$ पद को सीमा से बाभाजक ले जाएं क्योंकि यह $h$ के संबंध में स्थिर है.

$3 x^{2} + 3 x lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} h^{2}$

चरण 8

सीमा घात नियम का उपयोग करके घातांक $2$ को $h^{2}$ से सीमा से बाभाजक ले जाएं.

$3 x^{2} + 3 x lim_{h \to 0} h + {(lim_{h \to 0} h)}^{2}$

चरण 9

$h$ की सभी घटनाओं के लिए $0$ को प्रतिस्थापित करके सीमा का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

$h$ के लिए $0$ को प्रतिस्थापित करके $h$ की सीमा का मान ज्ञात करें.

$3 x^{2} + 3 x \cdot 0 + {(lim_{h \to 0} h)}^{2}$

चरण 9.2

$h$ के लिए $0$ को प्रतिस्थापित करके $h$ की सीमा का मान ज्ञात करें.

$3 x^{2} + 3 x \cdot 0 + 0^{2}$

चरण 10

उत्तर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1.1

$3 x \cdot 0$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1.1.1

$0$ को $3$ से गुणा करें.

$3 x^{2} + 0 x + 0^{2}$

चरण 10.1.1.2

$0$ को $x$ से गुणा करें.

$3 x^{2} + 0 + 0^{2}$

चरण 10.1.2

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$3 x^{2} + 0 + 0$

चरण 10.2

$3 x^{2} + 0 + 0$ में विपरीत पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.2.1

$3 x^{2}$ और $0$ जोड़ें.

$3 x^{2} + 0$

चरण 10.2.2

$3 x^{2}$ और $0$ जोड़ें.

$3 x^{2}$

चरण 11