कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = 3 x^{2}$

चरण 1

व्युत्पन्न की सीमा परिभाषा पर विचार करें.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

चरण 2

परिभाषा के घटक पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$x = x + h$ पर फलन का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

व्यंजक में चर $x$ को $x + h$ से बदलें.

$f (x + h) = 3 {(x + h)}^{2}$

चरण 2.1.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.1

${(x + h)}^{2}$ को $(x + h) (x + h)$ के रूप में फिर से लिखें.

$f (x + h) = 3 ((x + h) (x + h))$

चरण 2.1.2.2

FOIL विधि का उपयोग करके $(x + h) (x + h)$ का प्रसार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.2.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$f (x + h) = 3 (x (x + h) + h (x + h))$

चरण 2.1.2.2.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$f (x + h) = 3 (x \cdot x + x h + h (x + h))$

चरण 2.1.2.2.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$f (x + h) = 3 (x \cdot x + x h + h x + h \cdot h)$

चरण 2.1.2.3

समान पदों को सरल और संयोजित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.3.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.3.1.1

$x$ को $x$ से गुणा करें.

$f (x + h) = 3 (x^{2} + x h + h x + h \cdot h)$

चरण 2.1.2.3.1.2

$h$ को $h$ से गुणा करें.

$f (x + h) = 3 (x^{2} + x h + h x + h^{2})$

चरण 2.1.2.3.2

$x h$ और $h x$ जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.3.2.1

$x$ और $h$ को पुन: क्रमित करें.

$f (x + h) = 3 (x^{2} + h x + h x + h^{2})$

चरण 2.1.2.3.2.2

$h x$ और $h x$ जोड़ें.

$f (x + h) = 3 (x^{2} + 2 h x + h^{2})$

चरण 2.1.2.4

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$f (x + h) = 3 x^{2} + 3 (2 h x) + 3 h^{2}$

चरण 2.1.2.5

$2$ को $3$ से गुणा करें.

$f (x + h) = 3 x^{2} + 6 h x + 3 h^{2}$

चरण 2.1.2.6

अंतिम उत्तर $3 x^{2} + 6 h x + 3 h^{2}$ है.

$3 x^{2} + 6 h x + 3 h^{2}$

चरण 2.2

पुन: व्यवस्थित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

$3 x^{2}$ ले जाएं.

$6 h x + 3 h^{2} + 3 x^{2}$

चरण 2.2.2

$6 h x$ और $3 h^{2}$ को पुन: क्रमित करें.

$3 h^{2} + 6 h x + 3 x^{2}$

चरण 2.3

परिभाषा के घटक पता करें.

$f (x + h) = 3 h^{2} + 6 h x + 3 x^{2}$

$f (x) = 3 x^{2}$

$f (x + h) = 3 h^{2} + 6 h x + 3 x^{2}$

$f (x) = 3 x^{2}$

चरण 3

घटकों में प्लग करें.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h^{2} + 6 h x + 3 x^{2} - (3 x^{2})}{h}$

चरण 4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1

$- 1$ को $3$ से गुणा करें.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h^{2} + 6 h x + 3 x^{2} - 3 x^{2}}{h}$

चरण 4.1.2

$3 x^{2}$ में से $3 x^{2}$ घटाएं.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h^{2} + 6 h x + 0}{h}$

चरण 4.1.3

$3 h^{2} + 6 h x$ और $0$ जोड़ें.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h^{2} + 6 h x}{h}$

चरण 4.1.4

$3 h^{2} + 6 h x$ में से $3 h$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.4.1

$3 h^{2}$ में से $3 h$ का गुणनखंड करें.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h \cdot h + 6 h x}{h}$

चरण 4.1.4.2

$6 h x$ में से $3 h$ का गुणनखंड करें.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h \cdot h + 3 h (2 x)}{h}$

चरण 4.1.4.3

$3 h \cdot h + 3 h (2 x)$ में से $3 h$ का गुणनखंड करें.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h (h + 2 x)}{h}$

चरण 4.2

पदों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1

$h$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h (h + 2 x)}{h}$

चरण 4.2.1.2

$3 (h + 2 x)$ को $1$ से विभाजित करें.

$f' (x) = lim_{h \to 0} 3 (h + 2 x)$

चरण 4.2.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$f' (x) = lim_{h \to 0} 3 h + 3 (2 x)$

चरण 4.2.3

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.3.1

$2$ को $3$ से गुणा करें.

$f' (x) = lim_{h \to 0} 3 h + 6 x$

चरण 4.2.3.2

$3 h$ और $6 x$ को पुन: क्रमित करें.

$f' (x) = lim_{h \to 0} 6 x + 3 h$

चरण 5

सीमा का मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

जैसे-जैसे $h$ $0$ के करीब पहुंचता है, सीमा पर योग नियम का उपयोग करके सीमा को विभाजित करें.

$lim_{h \to 0} 6 x + lim_{h \to 0} 3 h$

चरण 5.2

$6 x$ की सीमा का मान ज्ञात करें जो $h$ के $0$ पर पहुँचने पर स्थिर होती है.

$6 x + lim_{h \to 0} 3 h$

चरण 5.3

$3$ पद को सीमा से बाभाजक ले जाएं क्योंकि यह $h$ के संबंध में स्थिर है.

$6 x + 3 lim_{h \to 0} h$

चरण 6

$h$ के लिए $0$ को प्रतिस्थापित करके $h$ की सीमा का मान ज्ञात करें.

$6 x + 3 \cdot 0$

चरण 7

उत्तर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

$3$ को $0$ से गुणा करें.

$6 x + 0$

चरण 7.2

$6 x$ और $0$ जोड़ें.

$6 x$

चरण 8