कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = \frac{1}{\sqrt{x}}$

चरण 1

व्युत्पन्न की सीमा परिभाषा पर विचार करें.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

चरण 2

$\frac{1}{\sqrt{x}}$ को $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ से गुणा करें.

$f (x) = \frac{1}{\sqrt{x}} \cdot \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$

चरण 3

भाजक को मिलाएं और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$\frac{1}{\sqrt{x}}$ को $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ से गुणा करें.

$f (x) = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} \sqrt{x}}$

चरण 3.2

$\sqrt{x}$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$f (x) = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} \sqrt{x}}$

चरण 3.3

$\sqrt{x}$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$f (x) = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} \sqrt{x}}$

चरण 3.4

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$f (x) = \frac{\sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1 + 1}}$

चरण 3.5

$1$ और $1$ जोड़ें.

$f (x) = \frac{\sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{2}}$

चरण 3.6

${\sqrt{x}}^{2}$ को $x$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.6.1

$\sqrt{x}$ को $x^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$f (x) = \frac{\sqrt{x}}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

चरण 3.6.2

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (x) = \frac{\sqrt{x}}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

चरण 3.6.3

$\frac{1}{2}$ और $2$ को मिलाएं.

$f (x) = \frac{\sqrt{x}}{x^{\frac{2}{2}}}$

चरण 3.6.4

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.6.4.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f (x) = \frac{\sqrt{x}}{x^{\frac{2}{2}}}$

चरण 3.6.4.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f (x) = \frac{\sqrt{x}}{x}$

चरण 3.6.5

सरल करें.

$f (x) = \frac{\sqrt{x}}{x}$

चरण 4

परिभाषा के घटक पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$x = x + h$ पर फलन का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1

व्यंजक में चर $x$ को $x + h$ से बदलें.

$f (x + h) = \frac{\sqrt{x + h}}{x + h}$

चरण 4.1.2

अंतिम उत्तर $\frac{\sqrt{x + h}}{x + h}$ है.

$\frac{\sqrt{x + h}}{x + h}$

चरण 4.2

परिभाषा के घटक पता करें.

$f (x + h) = \frac{\sqrt{x + h}}{x + h}$

$f (x) = \frac{\sqrt{x}}{x}$

$f (x + h) = \frac{\sqrt{x + h}}{x + h}$

$f (x) = \frac{\sqrt{x}}{x}$

चरण 5

घटकों में प्लग करें.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{\sqrt{x + h}}{x + h} - (\frac{\sqrt{x}}{x})}{h}$

चरण 6

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.1

$\frac{\sqrt{x + h}}{x + h}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{x}{x}$ से गुणा करें.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{\sqrt{x + h}}{x + h} \cdot \frac{x}{x} - \frac{\sqrt{x}}{x}}{h}$

चरण 6.1.2

$- \frac{\sqrt{x}}{x}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{x + h}{x + h}$ से गुणा करें.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{\sqrt{x + h}}{x + h} \cdot \frac{x}{x} - \frac{\sqrt{x}}{x} \cdot \frac{x + h}{x + h}}{h}$

चरण 6.1.3

प्रत्येक व्यंजक को $(x + h) x$ के सामान्य भाजक के साथ लिखें, प्रत्येक को $1$ के उपयुक्त गुणनखंड से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.3.1

$\frac{\sqrt{x + h}}{x + h}$ को $\frac{x}{x}$ से गुणा करें.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{\sqrt{x + h} x}{(x + h) x} - \frac{\sqrt{x}}{x} \cdot \frac{x + h}{x + h}}{h}$

चरण 6.1.3.2

$\frac{\sqrt{x}}{x}$ को $\frac{x + h}{x + h}$ से गुणा करें.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{\sqrt{x + h} x}{(x + h) x} - \frac{\sqrt{x} (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

चरण 6.1.3.3

$(x + h) x$ के गुणनखंडों को फिर से क्रमित करें.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{\sqrt{x + h} x}{x (x + h)} - \frac{\sqrt{x} (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

चरण 6.1.4

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{\sqrt{x + h} x - \sqrt{x} (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

चरण 6.1.5

$\frac{\sqrt{x + h} x - \sqrt{x} (x + h)}{x (x + h)}$ को गुणनखंड रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.5.1

$\sqrt{x + h}$ को ${(x + h)}^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{{(x + h)}^{\frac{1}{2}} x - \sqrt{x} (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

चरण 6.1.5.2

$\sqrt{x}$ को $x^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{{(x + h)}^{\frac{1}{2}} x - x^{\frac{1}{2}} (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

चरण 6.1.5.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{{(x + h)}^{\frac{1}{2}} x - x^{\frac{1}{2}} x - x^{\frac{1}{2}} h}{x (x + h)}}{h}$

चरण 6.1.5.4

घातांक जोड़कर $x^{\frac{1}{2}}$ को $x$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.5.4.1

$x$ ले जाएं.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{{(x + h)}^{\frac{1}{2}} x - (x \cdot x^{\frac{1}{2}}) - x^{\frac{1}{2}} h}{x (x + h)}}{h}$

चरण 6.1.5.4.2

$x$ को $x^{\frac{1}{2}}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.5.4.2.1

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{{(x + h)}^{\frac{1}{2}} x - (x \cdot x^{\frac{1}{2}}) - x^{\frac{1}{2}} h}{x (x + h)}}{h}$

चरण 6.1.5.4.2.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{{(x + h)}^{\frac{1}{2}} x - x^{1 + \frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2}} h}{x (x + h)}}{h}$

चरण 6.1.5.4.3

एक सामान्य भाजक के साथ $1$ को भिन्न के रूप में लिखें.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{{(x + h)}^{\frac{1}{2}} x - x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2}} h}{x (x + h)}}{h}$

चरण 6.1.5.4.4

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{{(x + h)}^{\frac{1}{2}} x - x^{\frac{2 + 1}{2}} - x^{\frac{1}{2}} h}{x (x + h)}}{h}$

चरण 6.1.5.4.5

$2$ और $1$ जोड़ें.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{{(x + h)}^{\frac{1}{2}} x - x^{\frac{3}{2}} - x^{\frac{1}{2}} h}{x (x + h)}}{h}$

चरण 6.1.5.5

${(x + h)}^{\frac{1}{2}} x - x^{\frac{3}{2}} - x^{\frac{1}{2}} h$ को गुणनखंड रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.5.5.1

${(x + h)}^{\frac{1}{2}} x - x^{\frac{3}{2}} - x^{\frac{1}{2}} h$ में से $x^{\frac{1}{2}}$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.5.5.1.1

${(x + h)}^{\frac{1}{2}}$ और $x$ को पुन: क्रमित करें.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x {(x + h)}^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{3}{2}} - x^{\frac{1}{2}} h}{x (x + h)}}{h}$

चरण 6.1.5.5.1.2

$x {(x + h)}^{\frac{1}{2}}$ में से $x^{\frac{1}{2}}$ का गुणनखंड करें.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} {(x + h)}^{\frac{1}{2}}) - x^{\frac{3}{2}} - x^{\frac{1}{2}} h}{x (x + h)}}{h}$

चरण 6.1.5.5.1.3

$- x^{\frac{3}{2}}$ में से $x^{\frac{1}{2}}$ का गुणनखंड करें.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} {(x + h)}^{\frac{1}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} (- x^{\frac{2}{2}}) - x^{\frac{1}{2}} h}{x (x + h)}}{h}$

चरण 6.1.5.5.1.4

$- x^{\frac{1}{2}} h$ में से $x^{\frac{1}{2}}$ का गुणनखंड करें.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} {(x + h)}^{\frac{1}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} (- x^{\frac{2}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} (- h)}{x (x + h)}}{h}$

चरण 6.1.5.5.1.5

$x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} {(x + h)}^{\frac{1}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} (- x^{\frac{2}{2}})$ में से $x^{\frac{1}{2}}$ का गुणनखंड करें.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} {(x + h)}^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{2}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} (- h)}{x (x + h)}}{h}$

चरण 6.1.5.5.1.6

$x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} {(x + h)}^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{2}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} (- h)$ में से $x^{\frac{1}{2}}$ का गुणनखंड करें.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} {(x + h)}^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{2}{2}} - h)}{x (x + h)}}{h}$

चरण 6.1.5.5.2

$2$ को $2$ से विभाजित करें.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} {(x + h)}^{\frac{1}{2}} - x - h)}{x (x + h)}}{h}$

चरण 6.1.5.5.3

सरल करें.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} {(x + h)}^{\frac{1}{2}} - x - h)}{x (x + h)}}{h}$

चरण 6.1.5.6

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करके व्यंजक $\frac{x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} {(x + h)}^{\frac{1}{2}} - x - h)}{x (x + h)}$ को छोटा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.5.6.1

$x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} {(x + h)}^{\frac{1}{2}} - x - h)$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x (x^{- \frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} {(x + h)}^{\frac{1}{2}} - x - h))}{x (x + h)}}{h}$

चरण 6.1.5.6.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x (x^{- \frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} {(x + h)}^{\frac{1}{2}} - x - h))}{x (x + h)}}{h}$

चरण 6.1.5.6.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x^{- \frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} {(x + h)}^{\frac{1}{2}} - x - h)}{x + h}}{h}$

चरण 6.1.6

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का उपयोग करके $x^{- \frac{1}{2}}$ को भाजक में ले जाएँ.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} {(x + h)}^{\frac{1}{2}} - x - h}{(x + h) x^{\frac{1}{2}}}}{h}$

चरण 6.2

भाजक के प्रतिलोम से न्यूमेरेटर को गुणा करें.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{x^{\frac{1}{2}} {(x + h)}^{\frac{1}{2}} - x - h}{(x + h) x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{h}$

चरण 6.3

$\frac{x^{\frac{1}{2}} {(x + h)}^{\frac{1}{2}} - x - h}{(x + h) x^{\frac{1}{2}}}$ को $\frac{1}{h}$ से गुणा करें.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{x^{\frac{1}{2}} {(x + h)}^{\frac{1}{2}} - x - h}{(x + h) x^{\frac{1}{2}} h}$

चरण 6.4

गुणनखंडों को $\frac{x^{\frac{1}{2}} {(x + h)}^{\frac{1}{2}} - x - h}{(x + h) x^{\frac{1}{2}} h}$ में पुन: क्रमित करें.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{x^{\frac{1}{2}} {(x + h)}^{\frac{1}{2}} - x - h}{h x^{\frac{1}{2}} (x + h)}$

चरण 7

सीमा तर्क को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

भिन्नात्मक घातांक को करणी में बदलें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1.1

$x^{\frac{1}{2}}$ को $\sqrt{x}$ के रूप में फिर से लिखें.

$lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{x} {(x + h)}^{\frac{1}{2}} - x - h}{h x^{\frac{1}{2}} (x + h)}$

चरण 7.1.2

${(x + h)}^{\frac{1}{2}}$ को $\sqrt{x + h}$ के रूप में फिर से लिखें.

$lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{x} \sqrt{x + h} - x - h}{h x^{\frac{1}{2}} (x + h)}$

चरण 7.1.3

$x^{\frac{1}{2}}$ को $\sqrt{x}$ के रूप में फिर से लिखें.

$lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{x} \sqrt{x + h} - x - h}{h \sqrt{x} (x + h)}$

चरण 7.2

रेडिकल के लिए उत्पाद नियम का उपयोग करके जोड़ें.

$lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{x (x + h)} - x - h}{h \sqrt{x} (x + h)}$

चरण 8

Since the numerator is negative and the denominator $h \sqrt{x} (x + h)$ approaches zero and is less than zero for $h$ near $0$ on both sides, the function increases without bound.

$\infty$

चरण 9