कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = 2 \sqrt{x}$ , $[4, 9]$

चरण 1

$f (x) = 2 \sqrt{x}$ का व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

$\sqrt{x}$ को $x^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1}{2}}]$

चरण 1.1.2

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x^{\frac{1}{2}}$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ है.

$2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

चरण 1.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = \frac{1}{2}$ है.

$2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

चरण 1.1.4

$- 1$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

चरण 1.1.5

$- 1$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

चरण 1.1.6

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

चरण 1.1.7

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.7.1

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

चरण 1.1.7.2

$1$ में से $2$ घटाएं.

$2 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

चरण 1.1.8

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$2 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

चरण 1.1.9

$\frac{1}{2}$ और $x^{- \frac{1}{2}}$ को मिलाएं.

$2 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

चरण 1.1.10

$2$ और $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{2 x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

चरण 1.1.11

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का उपयोग करके $x^{- \frac{1}{2}}$ को भाजक में ले जाएँ.

$\frac{2}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

चरण 1.1.12

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

चरण 1.1.13

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f' (x) = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

चरण 1.2

$f (x)$ का पहला व्युत्पन्न बटे $x$ , $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ है.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

चरण 2

किसी फलन का औसत मान ज्ञात करने के लिए, फलन को बंद अंतराल $[a, b]$ पर सतत होना चाहिए. यह पता लगाने के लिए कि $f' (x)$ , $[4, 9]$ पर सतत है या नहीं, $f' (x) = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ का डोमेन ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

भिन्नात्मक घातांक वाले व्यंजकों को करणी में बदलें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

घातांक को मूलक के रूप में फिर से लिखने के लिए नियम $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ लागू करें.

$\frac{1}{\sqrt{x^{1}}}$

चरण 2.1.2

किसी भी चीज़ को $1$ तक बढ़ा दिया जाता है, वह आधार ही होता है.

$\frac{1}{\sqrt{x}}$

चरण 2.2

रेडिकैंड को $\sqrt{x}$ में $0$ से बड़ा या उसके बराबर सेट करें ताकि यह पता लगाया जा सके कि व्यंजक कहां परिभाषित किया गया है.

$x \geq 0$

चरण 2.3

$\frac{1}{\sqrt{x}}$ में भाजक को $0$ के बराबर सेट करें ताकि यह पता लगाया जा सके कि व्यंजक कहां अपरिभाषित है.

$\sqrt{x} = 0$

चरण 2.4

$x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.1

समीकरण के बाईं पक्ष की ओर मूलांक निकालने के लिए, समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करें.

${\sqrt{x}}^{2} = 0^{2}$

चरण 2.4.2

समीकरण के प्रत्येक पक्ष को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.2.1

$\sqrt{x}$ को $x^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

चरण 2.4.2.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.2.2.1

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.2.2.1.1

घातांक को ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.2.2.1.1.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

चरण 2.4.2.2.1.1.2

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.2.2.1.1.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

चरण 2.4.2.2.1.1.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$x^{1} = 0^{2}$

चरण 2.4.2.2.1.2

सरल करें.

$x = 0^{2}$

चरण 2.4.2.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.2.3.1

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$x = 0$

चरण 2.5

डोमेन $x$ के सभी मान हैं जो व्यंजक को परिभाषित करते हैं.

मध्यवर्ती संकेतन:

$(0, \infty)$

सेट-बिल्डर संकेतन:

${x | x > 0}$

मध्यवर्ती संकेतन:

$(0, \infty)$

सेट-बिल्डर संकेतन:

${x | x > 0}$

चरण 3

$f' (x)$ $[4, 9]$ पर निरंतर है.

$f' (x)$ निरंतर है

चरण 4

अंतराल $[a, b]$ पर फलन $f'$ का औसत मान $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ के रूप में परिभाषित किया गया है.

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

चरण 5

किसी फलन के औसत मान के लिए वास्तविक मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करें.

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (\int_{4}^{9} \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x)$

चरण 6

घातांक के बुनियादी नियम लागू करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

$x^{\frac{1}{2}}$ को भाजक में से $- 1$ पावर तक बढ़ा कर हटा दें.

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (\int_{4}^{9} {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x)$

चरण 6.2

घातांक को ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (\int_{4}^{9} x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x)$

चरण 6.2.2

$\frac{1}{2}$ और $- 1$ को मिलाएं.

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (\int_{4}^{9} x^{\frac{- 1}{2}} d x)$

चरण 6.2.3

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (\int_{4}^{9} x^{- \frac{1}{2}} d x)$

चरण 7

घात नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{- \frac{1}{2}}$ का समाकलन $2 x^{\frac{1}{2}}$ है.

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (2 x^{\frac{1}{2}}]_{4}^{9})$

चरण 8

प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

$9$ पर और $4$ पर $2 x^{\frac{1}{2}}$ का मान ज्ञात करें.

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} ((2 \cdot 9^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

चरण 8.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.1

$9$ को $3^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (2 \cdot {(3^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

चरण 8.2.2

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (2 \cdot 3^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

चरण 8.2.3

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.3.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (2 \cdot 3^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

चरण 8.2.3.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (2 \cdot 3 - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

चरण 8.2.4

घातांक का मान ज्ञात करें.

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (2 \cdot 3 - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

चरण 8.2.5

$2$ को $3$ से गुणा करें.

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

चरण 8.2.6

$4$ को $2^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 - 2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{1}{2}})$

चरण 8.2.7

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 - 2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})})$

चरण 8.2.8

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.8.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 - 2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})})$

चरण 8.2.8.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 - 2 \cdot 2)$

चरण 8.2.9

घातांक का मान ज्ञात करें.

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 - 2 \cdot 2)$

चरण 8.2.10

$- 2$ को $2$ से गुणा करें.

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 - 4)$

चरण 8.2.11

$6$ में से $4$ घटाएं.

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (2)$

चरण 9

$9$ में से $4$ घटाएं.

$A (x) = \frac{1}{5} \cdot 2$

चरण 10

$\frac{1}{5}$ और $2$ को मिलाएं.

$A (x) = \frac{2}{5}$

चरण 11