कैलकुलस उदाहरण

$y = 4 - x^{2}$ , $[- 2, 2]$

चरण 1

जांचें कि क्या $f (x) = 4 - x^{2}$ निरंतर है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

व्यंजक का डोमेन सभी वास्तविक संख्याएँ हैं सिवाय जहाँ व्यंजक अपरिभाषित है. इस स्थिति में, कोई वास्तविक संख्या नहीं है जो व्यंजक को अपरिभाषित बनाती है.

मध्यवर्ती संकेतन:

$(- \infty, \infty)$

सेट-बिल्डर संकेतन:

${x | x \in ℝ}$

चरण 1.2

$f (x)$ $[- 2, 2]$ पर निरंतर है.

फलन निरंतर है.

चरण 2

जांचें कि क्या $f (x) = 4 - x^{2}$ अवकलनीय है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1.1

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1.1.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $4 - x^{2}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ है.

$\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

चरण 2.1.1.1.2

चूंकि $x$ के संबंध में $4$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $4$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

चरण 2.1.1.2

$\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1.2.1

चूंकि $- 1$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- x^{2}$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ है.

$0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

चरण 2.1.1.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$0 - (2 x)$

चरण 2.1.1.2.3

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$0 - 2 x$

चरण 2.1.1.3

$0$ में से $2 x$ घटाएं.

$f' (x) = - 2 x$

चरण 2.1.2

$f (x)$ का पहला व्युत्पन्न बटे $x$ , $- 2 x$ है.

$- 2 x$

चरण 2.2

पता करें कि व्युत्पन्न $[- 2, 2]$ पर सतत है या नहीं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

मध्यवर्ती संकेतन:

$(- \infty, \infty)$

सेट-बिल्डर संकेतन:

${x | x \in ℝ}$

चरण 2.2.2

$f' (x)$ $[- 2, 2]$ पर निरंतर है.

फलन निरंतर है.

चरण 2.3

फलन $[- 2, 2]$ पर अलग-अलग है क्योंकि व्युत्पन्न $[- 2, 2]$ पर निरंतर है.

फलन अवकलनीय है.

चरण 3

चाप की लंबाई की गारंटी के लिए, फ़ंक्शन और इसके व्युत्पन्न दोनों को बंद अंतराल $[- 2, 2]$ पर निरंतर होना चाहिए.

बंद अंतराल $[- 2, 2]$ पर फलन और उसका व्युत्पन्न निरंतर हैं.

चरण 4

$f (x) = 4 - x^{2}$ का व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $4 - x^{2}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ है.

$\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

चरण 4.1.2

चूंकि $x$ के संबंध में $4$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $4$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

चरण 4.2

$\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1

$0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

चरण 4.2.2

$0 - (2 x)$

चरण 4.2.3

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$0 - 2 x$

चरण 4.3

$0$ में से $2 x$ घटाएं.

$- 2 x$

चरण 5

किसी फलन की चाप लंबाई ज्ञात करने के लिए, सूत्र $L = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + {(f' (x))}^{2}} d x$ का उपयोग करें.

$\int_{- 2}^{2} \sqrt{1 + {(- 2 x)}^{2}} d x$

चरण 6

समाकल का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

मान लीजिए $x = \frac{1}{2} \tan (t)$ , जहां $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . फिर $d x = \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$ . ध्यान दें कि $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ से, $\frac{\sec^{2} (t)}{2}$ सकारात्मक है.

$\int_{- 1.32581766}^{1.32581766} \sqrt{1 + 4 {(\frac{1}{2} \tan (t))}^{2}} \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

चरण 6.2

पदों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1

$\sqrt{1 + 4 {(\frac{1}{2} \tan (t))}^{2}}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1.1.1

$\frac{1}{2}$ और $\tan (t)$ को मिलाएं.

$\int_{- 1.32581766}^{1.32581766} \sqrt{1 + 4 {(\frac{\tan (t)}{2})}^{2}} \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

चरण 6.2.1.1.2

उत्पाद नियम को $\frac{\tan (t)}{2}$ पर लागू करें.

$\int_{- 1.32581766}^{1.32581766} \sqrt{1 + 4 \frac{\tan^{2} (t)}{2^{2}}} \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

चरण 6.2.1.1.3

$2$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$\int_{- 1.32581766}^{1.32581766} \sqrt{1 + 4 \frac{\tan^{2} (t)}{4}} \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

चरण 6.2.1.1.4

$4$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1.1.4.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\int_{- 1.32581766}^{1.32581766} \sqrt{1 + 4 \frac{\tan^{2} (t)}{4}} \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

चरण 6.2.1.1.4.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\int_{- 1.32581766}^{1.32581766} \sqrt{1 + \tan^{2} (t)} \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

चरण 6.2.1.2

पदों को पुनर्व्यवस्थित करें.

$\int_{- 1.32581766}^{1.32581766} \sqrt{\tan^{2} (t) + 1} \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

चरण 6.2.1.3

पाइथागोरस सर्वसमिका लागू करें.

$\int_{- 1.32581766}^{1.32581766} \sqrt{\sec^{2} (t)} \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

चरण 6.2.1.4

धनात्मक वास्तविक संख्या मानकर, करणी के अंतर्गत पदों को बाहर निकालें.

$\int_{- 1.32581766}^{1.32581766} \sec (t) \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

चरण 6.2.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.2.1

$\sec (t)$ और $\frac{\sec^{2} (t)}{2}$ को मिलाएं.

$\int_{- 1.32581766}^{1.32581766} \frac{\sec (t) \sec^{2} (t)}{2} d t$

चरण 6.2.2.2

घातांक जोड़कर $\sec (t)$ को $\sec^{2} (t)$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.2.2.1

$\sec (t)$ को $\sec^{2} (t)$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.2.2.1.1

$\sec (t)$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\int_{- 1.32581766}^{1.32581766} \frac{\sec^{1} (t) \sec^{2} (t)}{2} d t$

चरण 6.2.2.2.1.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\int_{- 1.32581766}^{1.32581766} \frac{{\sec (t)}^{1 + 2}}{2} d t$

चरण 6.2.2.2.2

$1$ और $2$ जोड़ें.

$\int_{- 1.32581766}^{1.32581766} \frac{\sec^{3} (t)}{2} d t$

चरण 6.3

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $t$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{2} \int_{- 1.32581766}^{1.32581766} \sec^{3} (t) d t$

चरण 6.4

निराकरणीय सूत्र लागू करें.

$\frac{1}{2} (\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}]_{- 1.32581766}^{1.32581766} + \frac{1}{2} \int_{- 1.32581766}^{1.32581766} \sec (t) d t)$

चरण 6.5

$t$ के संबंध में $\sec (t)$ का इंटीग्रल $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ है.

$\frac{1}{2} (\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}]_{- 1.32581766}^{1.32581766} + \frac{1}{2} \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)]_{- 1.32581766}^{1.32581766})$

चरण 6.6

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.6.1

$\frac{1}{2}$ और $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)]_{- 1.32581766}^{1.32581766}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{2} (\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}]_{- 1.32581766}^{1.32581766} + \frac{\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)]_{- 1.32581766}^{1.32581766}}{2})$

चरण 6.6.2

$\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}]_{- 1.32581766}^{1.32581766}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2} (\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}]_{- 1.32581766}^{1.32581766} \cdot \frac{2}{2} + \frac{\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)]_{- 1.32581766}^{1.32581766}}{2})$

चरण 6.6.3

$\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}]_{- 1.32581766}^{1.32581766}$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{2} (\frac{\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}]_{- 1.32581766}^{1.32581766} \cdot 2}{2} + \frac{\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)]_{- 1.32581766}^{1.32581766}}{2})$

चरण 6.6.4

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}]_{- 1.32581766}^{1.32581766} \cdot 2 + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)]_{- 1.32581766}^{1.32581766}}{2}$

चरण 6.6.5

$2$ को $\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}]_{- 1.32581766}^{1.32581766}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot (\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}]_{- 1.32581766}^{1.32581766}) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)]_{- 1.32581766}^{1.32581766}}{2}$

चरण 6.6.6

$\frac{1}{2}$ को $\frac{2 (\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}]_{- 1.32581766}^{1.32581766}) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)]_{- 1.32581766}^{1.32581766}}{2}$ से गुणा करें.

$\frac{2 (\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}]_{- 1.32581766}^{1.32581766}) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)]_{- 1.32581766}^{1.32581766}}{2 \cdot 2}$

चरण 6.6.7

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{2 (\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}]_{- 1.32581766}^{1.32581766}) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)]_{- 1.32581766}^{1.32581766}}{4}$

चरण 6.7

प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.7.1

$1.32581766$ पर और $- 1.32581766$ पर $\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}$ का मान ज्ञात करें.

$\frac{2 ((\frac{\tan (1.32581766) \sec (1.32581766)}{2}) - \frac{\tan (- 1.32581766) \sec (- 1.32581766)}{2}) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)]_{- 1.32581766}^{1.32581766}}{4}$

चरण 6.7.2

$1.32581766$ पर और $- 1.32581766$ पर $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ का मान ज्ञात करें.

$\frac{2 ((\frac{\tan (1.32581766) \sec (1.32581766)}{2}) - \frac{\tan (- 1.32581766) \sec (- 1.32581766)}{2}) + (\ln (| \sec (1.32581766) + \tan (1.32581766) |)) - \ln (| \sec (- 1.32581766) + \tan (- 1.32581766) |)}{4}$

चरण 6.7.3

अनावश्यक कोष्ठक हटा दें.

$\frac{2 (\frac{\tan (1.32581766) \sec (1.32581766)}{2} - \frac{\tan (- 1.32581766) \sec (- 1.32581766)}{2}) + \ln (| \sec (1.32581766) + \tan (1.32581766) |) - \ln (| \sec (- 1.32581766) + \tan (- 1.32581766) |)}{4}$

चरण 6.8

लघुगणक के भागफल गुण $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ का प्रयोग करें.

$\frac{2 (\frac{\tan (1.32581766) \sec (1.32581766)}{2} - \frac{\tan (- 1.32581766) \sec (- 1.32581766)}{2}) + \ln (\frac{| \sec (1.32581766) + \tan (1.32581766) |}{| \sec (- 1.32581766) + \tan (- 1.32581766) |})}{4}$

चरण 6.9

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.9.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.9.1.1

$\tan (- 1.32581766)$ का मान ज्ञात करें.

$\frac{2 (\frac{\tan (1.32581766) \sec (1.32581766)}{2} - \frac{- 4 \sec (- 1.32581766)}{2}) + \ln (\frac{| \sec (1.32581766) + \tan (1.32581766) |}{| \sec (- 1.32581766) + \tan (- 1.32581766) |})}{4}$

चरण 6.9.1.2

$\sec (- 1.32581766)$ का मान ज्ञात करें.

$\frac{2 (\frac{\tan (1.32581766) \sec (1.32581766)}{2} - \frac{- 4 \cdot 4.12310562}{2}) + \ln (\frac{| \sec (1.32581766) + \tan (1.32581766) |}{| \sec (- 1.32581766) + \tan (- 1.32581766) |})}{4}$

चरण 6.9.2

$- 4$ को $4.12310562$ से गुणा करें.

$\frac{2 (\frac{\tan (1.32581766) \sec (1.32581766)}{2} - \frac{- 16.4924225}{2}) + \ln (\frac{| \sec (1.32581766) + \tan (1.32581766) |}{| \sec (- 1.32581766) + \tan (- 1.32581766) |})}{4}$

चरण 6.9.3

$- 16.4924225$ को $2$ से विभाजित करें.

$\frac{2 (\frac{\tan (1.32581766) \sec (1.32581766)}{2} - - 8.24621125) + \ln (\frac{| \sec (1.32581766) + \tan (1.32581766) |}{| \sec (- 1.32581766) + \tan (- 1.32581766) |})}{4}$

चरण 6.9.4

$- 1$ को $- 8.24621125$ से गुणा करें.

$\frac{2 (\frac{\tan (1.32581766) \sec (1.32581766)}{2} + 8.24621125) + \ln (\frac{| \sec (1.32581766) + \tan (1.32581766) |}{| \sec (- 1.32581766) + \tan (- 1.32581766) |})}{4}$

चरण 6.9.5

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.9.5.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.9.5.1.1

$\tan (1.32581766)$ का मान ज्ञात करें.

$\frac{2 (\frac{4 \sec (1.32581766)}{2} + 8.24621125) + \ln (\frac{| \sec (1.32581766) + \tan (1.32581766) |}{| \sec (- 1.32581766) + \tan (- 1.32581766) |})}{4}$

चरण 6.9.5.1.2

$\sec (1.32581766)$ का मान ज्ञात करें.

$\frac{2 (\frac{4 \cdot 4.12310562}{2} + 8.24621125) + \ln (\frac{| \sec (1.32581766) + \tan (1.32581766) |}{| \sec (- 1.32581766) + \tan (- 1.32581766) |})}{4}$

चरण 6.9.5.2

$4$ को $4.12310562$ से गुणा करें.

$\frac{2 (\frac{16.4924225}{2} + 8.24621125) + \ln (\frac{| \sec (1.32581766) + \tan (1.32581766) |}{| \sec (- 1.32581766) + \tan (- 1.32581766) |})}{4}$

चरण 6.9.5.3

$16.4924225$ को $2$ से विभाजित करें.

$\frac{2 (8.24621125 + 8.24621125) + \ln (\frac{| \sec (1.32581766) + \tan (1.32581766) |}{| \sec (- 1.32581766) + \tan (- 1.32581766) |})}{4}$

चरण 6.9.6

$8.24621125$ और $8.24621125$ जोड़ें.

$\frac{2 \cdot 16.4924225 + \ln (\frac{| \sec (1.32581766) + \tan (1.32581766) |}{| \sec (- 1.32581766) + \tan (- 1.32581766) |})}{4}$

चरण 6.9.7

$2$ को $16.4924225$ से गुणा करें.

$\frac{32.984845 + \ln (\frac{| \sec (1.32581766) + \tan (1.32581766) |}{| \sec (- 1.32581766) + \tan (- 1.32581766) |})}{4}$

चरण 6.9.8

$\sec (1.32581766) + \tan (1.32581766)$ लगभग $8.12310562$ है जो सकारात्मक है इसलिए निरपेक्ष मान हटा दें

$\frac{32.984845 + \ln (\frac{\sec (1.32581766) + \tan (1.32581766)}{| \sec (- 1.32581766) + \tan (- 1.32581766) |})}{4}$

चरण 6.9.9

$\sec (- 1.32581766) + \tan (- 1.32581766)$ लगभग $0.12310562$ है जो सकारात्मक है इसलिए निरपेक्ष मान हटा दें

$\frac{32.984845 + \ln (\frac{\sec (1.32581766) + \tan (1.32581766)}{\sec (- 1.32581766) + \tan (- 1.32581766)})}{4}$

चरण 7

परिणाम कई रूपों में दिखाया जा सकता है.

सटीक रूप:

$\frac{32.984845 + \ln (\frac{\sec (1.32581766) + \tan (1.32581766)}{\sec (- 1.32581766) + \tan (- 1.32581766)})}{4}$

दशमलव रूप:

$9.29356752 \dots$

चरण 8