कैलकुलस उदाहरण

$\int_{0}^{1} y {(y^{2} + 1)}^{5} d y$

चरण 1

मान लीजिए $u = y^{2} + 1$ .फिर $d u = 2 y d y$ , तो $\frac{1}{2} d u = y d y$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

मान लें $u = y^{2} + 1$ . $\frac{d u}{d y}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

$y^{2} + 1$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d y} [y^{2} + 1]$

चरण 1.1.2

योग नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $y^{2} + 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [1]$ है.

$\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [1]$

चरण 1.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ $n y^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$2 y + \frac{d}{d y} [1]$

चरण 1.1.4

चूंकि $y$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $y$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$2 y + 0$

चरण 1.1.5

$2 y$ और $0$ जोड़ें.

$2 y$

चरण 1.2

$y$ के लिए $u = y^{2} + 1$ में निचली सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{lower} = 0^{2} + 1$

चरण 1.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$u_{lower} = 0 + 1$

चरण 1.3.2

$0$ और $1$ जोड़ें.

$u_{lower} = 1$

चरण 1.4

$y$ के लिए $u = y^{2} + 1$ में ऊपरी सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{upper} = 1^{2} + 1$

चरण 1.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.1

एक का कोई भी घात एक होता है.

$u_{upper} = 1 + 1$

चरण 1.5.2

$1$ और $1$ जोड़ें.

$u_{upper} = 2$

चरण 1.6

$u_{lower}$ और $u_{upper}$ के लिए पाए गए मानों का उपयोग निश्चित समाकल का मूल्यांकन करने के लिए किया जाएगा.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 2$

चरण 1.7

$u$ , $d u$ और समाकलन की नई सीमाओं का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int_{1}^{2} u^{5} \frac{1}{2} d u$

चरण 2

$u^{5}$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$\int_{1}^{2} \frac{u^{5}}{2} d u$

चरण 3

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{2} \int_{1}^{2} u^{5} d u$

चरण 4

घात नियम के अनुसार, $u$ के संबंध में $u^{5}$ का समाकलन $\frac{1}{6} u^{6}$ है.

$\frac{1}{2} \frac{1}{6} u^{6}]_{1}^{2}$

चरण 5

प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

$2$ पर और $1$ पर $\frac{1}{6} u^{6}$ का मान ज्ञात करें.

$\frac{1}{2} ((\frac{1}{6} \cdot 2^{6}) - \frac{1}{6} \cdot 1^{6})$

चरण 5.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

$2$ को $6$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{6} \cdot 64 - \frac{1}{6} \cdot 1^{6})$

चरण 5.2.2

$\frac{1}{6}$ और $64$ को मिलाएं.

$\frac{1}{2} (\frac{64}{6} - \frac{1}{6} \cdot 1^{6})$

चरण 5.2.3

$64$ और $6$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.3.1

$64$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{1}{2} (\frac{2 (32)}{6} - \frac{1}{6} \cdot 1^{6})$

चरण 5.2.3.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.3.2.1

$6$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 32}{2 \cdot 3} - \frac{1}{6} \cdot 1^{6})$

चरण 5.2.3.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 32}{2 \cdot 3} - \frac{1}{6} \cdot 1^{6})$

चरण 5.2.3.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{2} (\frac{32}{3} - \frac{1}{6} \cdot 1^{6})$

चरण 5.2.4

एक का कोई भी घात एक होता है.

$\frac{1}{2} (\frac{32}{3} - \frac{1}{6} \cdot 1)$

चरण 5.2.5

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2} (\frac{32}{3} - \frac{1}{6})$

चरण 5.2.6

$\frac{32}{3}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2} (\frac{32}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{6})$

चरण 5.2.7

प्रत्येक व्यंजक को $6$ के सामान्य भाजक के साथ लिखें, प्रत्येक को $1$ के उपयुक्त गुणनखंड से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.7.1

$\frac{32}{3}$ को $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2} (\frac{32 \cdot 2}{3 \cdot 2} - \frac{1}{6})$

चरण 5.2.7.2

$3$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2} (\frac{32 \cdot 2}{6} - \frac{1}{6})$

चरण 5.2.8

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{32 \cdot 2 - 1}{6}$

चरण 5.2.9

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.9.1

$32$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{64 - 1}{6}$

चरण 5.2.9.2

$64$ में से $1$ घटाएं.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{63}{6}$

चरण 5.2.10

$63$ और $6$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.10.1

$63$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 (21)}{6}$

चरण 5.2.10.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.10.2.1

$6$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 \cdot 21}{3 \cdot 2}$

चरण 5.2.10.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 \cdot 21}{3 \cdot 2}$

चरण 5.2.10.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{21}{2}$

चरण 5.2.11

$\frac{1}{2}$ को $\frac{21}{2}$ से गुणा करें.

$\frac{21}{2 \cdot 2}$

चरण 5.2.12

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{21}{4}$

चरण 6

परिणाम कई रूपों में दिखाया जा सकता है.

सटीक रूप:

$\frac{21}{4}$

दशमलव रूप:

$5.25$

मिश्रित संख्या रूप:

$5 \frac{1}{4}$

चरण 7