कैलकुलस उदाहरण

$\int \frac{\sin (2 x)}{3 + \cos (2 x)} d x$

चरण 1

मान लीजिए $u_{2} = 3 + \cos (2 x)$ .फिर $d u_{2} = - 2 \sin (2 x) d x$ , तो $- \frac{1}{2} d u_{2} = \sin (2 x) d x$ . $u_{2}$ और $d$ $u_{2}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

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चरण 1.1

मान लें $u_{2} = 3 + \cos (2 x)$ . $\frac{d u_{2}}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

$3 + \cos (2 x)$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [3 + \cos (2 x)]$

चरण 1.1.2

अवकलन करें.

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चरण 1.1.2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $3 + \cos (2 x)$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ है.

$\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

चरण 1.1.2.2

चूंकि $x$ के संबंध में $3$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $3$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$0 + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

चरण 1.1.3

$\frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ का मान ज्ञात करें.

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चरण 1.1.3.1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \cos (x)$ और $g (x) = 2 x$ है.

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चरण 1.1.3.1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{1}$ को $2 x$ के रूप में सेट करें.

$0 + \frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]$

चरण 1.1.3.1.2

$u_{1}$ के संबंध में $\cos (u_{1})$ का व्युत्पन्न $- \sin (u_{1})$ है.

$0 - \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]$

चरण 1.1.3.1.3

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $2 x$ से बदलें.

$0 - \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

चरण 1.1.3.2

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$0 - \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

चरण 1.1.3.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$0 - \sin (2 x) (2 \cdot 1)$

चरण 1.1.3.4

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$0 - \sin (2 x) \cdot 2$

चरण 1.1.3.5

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$0 - 2 \sin (2 x)$

चरण 1.1.4

$0$ में से $2 \sin (2 x)$ घटाएं.

$- 2 \sin (2 x)$

चरण 1.2

$u_{2}$ और $d u_{2}$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{- 2} d u_{2}$

चरण 2

सरल करें.

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चरण 2.1

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\int \frac{1}{u_{2}} (- \frac{1}{2}) d u_{2}$

चरण 2.2

$\frac{1}{u_{2}}$ को $\frac{1}{2}$ से गुणा करें.

$\int - \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

चरण 2.3

$2$ को $u_{2}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\int - \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

चरण 3

चूँकि $- 1$ बटे $u_{2}$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$- \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

चरण 4

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $u_{2}$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$- (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

चरण 5

$u_{2}$ के संबंध में $\frac{1}{u_{2}}$ का इंटीग्रल $\ln (| u_{2} |)$ है.

$- \frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C)$

चरण 6

सरल करें.

$- \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |) + C$

चरण 7

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $3 + \cos (2 x)$ से बदलें.

$- \frac{1}{2} \ln (| 3 + \cos (2 x) |) + C$