कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = 4 x^{3} - 9 x^{4}$

चरण 1

दूसरा व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $4 x^{3} - 9 x^{4}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{4}]$ है.

$f' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 9 x^{4})$

चरण 1.1.2

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.1

चूंकि $4$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $4 x^{3}$ का व्युत्पन्न $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ है.

$f' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 9 x^{4})$

चरण 1.1.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 3$ है.

$f' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 9 x^{4})$

चरण 1.1.2.3

$3$ को $4$ से गुणा करें.

$f' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 9 x^{4})$

चरण 1.1.3

$\frac{d}{d x} [- 9 x^{4}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.3.1

चूंकि $- 9$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 9 x^{4}$ का व्युत्पन्न $- 9 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ है.

$f' (x) = 12 x^{2} - 9 \frac{d}{d x} x^{4}$

चरण 1.1.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 4$ है.

$f' (x) = 12 x^{2} - 9 (4 x^{3})$

चरण 1.1.3.3

$4$ को $- 9$ से गुणा करें.

$f' (x) = 12 x^{2} - 36 x^{3}$

चरण 1.1.4

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$f' (x) = - 36 x^{3} + 12 x^{2}$

चरण 1.2

दूसरा व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $- 36 x^{3} + 12 x^{2}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [- 36 x^{3}] + \frac{d}{d x} [12 x^{2}]$ है.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 36 x^{3}) + \frac{d}{d x} (12 x^{2})$

चरण 1.2.2

$\frac{d}{d x} [- 36 x^{3}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.2.1

चूंकि $- 36$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 36 x^{3}$ का व्युत्पन्न $- 36 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ है.

$f'' (x) = - 36 \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (12 x^{2})$

चरण 1.2.2.2

$f'' (x) = - 36 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (12 x^{2})$

चरण 1.2.2.3

$3$ को $- 36$ से गुणा करें.

$f'' (x) = - 108 x^{2} + \frac{d}{d x} (12 x^{2})$

चरण 1.2.3

$\frac{d}{d x} [12 x^{2}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.3.1

चूंकि $12$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $12 x^{2}$ का व्युत्पन्न $12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ है.

$f'' (x) = - 108 x^{2} + 12 \frac{d}{d x} (x^{2})$

चरण 1.2.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$f'' (x) = - 108 x^{2} + 12 (2 x)$

चरण 1.2.3.3

$2$ को $12$ से गुणा करें.

$f'' (x) = - 108 x^{2} + 24 x$

चरण 1.3

$f (x)$ का दूसरा व्युत्पन्न बटे $x$ , $- 108 x^{2} + 24 x$ है.

$- 108 x^{2} + 24 x$

चरण 2

दूसरे व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें, फिर समीकरण $- 108 x^{2} + 24 x = 0$ को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

दूसरे व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें.

$- 108 x^{2} + 24 x = 0$

चरण 2.2

$- 108 x^{2} + 24 x$ में से $- 12 x$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

$- 108 x^{2}$ में से $- 12 x$ का गुणनखंड करें.

$- 12 x (9 x) + 24 x = 0$

चरण 2.2.2

$24 x$ में से $- 12 x$ का गुणनखंड करें.

$- 12 x (9 x) - 12 x \cdot - 2 = 0$

चरण 2.2.3

$- 12 x (9 x) - 12 x (- 2)$ में से $- 12 x$ का गुणनखंड करें.

$- 12 x (9 x - 2) = 0$

चरण 2.3

यदि समीकरण के बांये पक्ष में कोई अकेला गुणनखंड $0$ के बराबर हो, तो सम्पूर्ण व्यंजक $0$ के बराबर होगा.

$x = 0$

$9 x - 2 = 0$

चरण 2.4

$x$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x = 0$

चरण 2.5

$9 x - 2$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.1

$9 x - 2$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$9 x - 2 = 0$

चरण 2.5.2

$x$ के लिए $9 x - 2 = 0$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.2.1

समीकरण के दोनों पक्षों में $2$ जोड़ें.

$9 x = 2$

चरण 2.5.2.2

$9 x = 2$ के प्रत्येक पद को $9$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.2.2.1

$9 x = 2$ के प्रत्येक पद को $9$ से विभाजित करें.

$\frac{9 x}{9} = \frac{2}{9}$

चरण 2.5.2.2.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.2.2.2.1

$9$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.2.2.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{9 x}{9} = \frac{2}{9}$

चरण 2.5.2.2.2.1.2

$x$ को $1$ से विभाजित करें.

$x = \frac{2}{9}$

चरण 2.6

अंतिम हल वो सभी मान हैं जो $- 12 x (9 x - 2) = 0$ को सिद्ध करते हैं.

$x = 0, \frac{2}{9}$

चरण 3

उन बिंदुओं को पता करें जहां दूसरा व्युत्पन्न $0$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$y$ का मान ज्ञात करने के लिए $0$ को $f (x) = 4 x^{3} - 9 x^{4}$ में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.1

व्यंजक में चर $x$ को $0$ से बदलें.

$f (0) = 4 {(0)}^{3} - 9 {(0)}^{4}$

चरण 3.1.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.2.1.1

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$f (0) = 4 \cdot 0 - 9 {(0)}^{4}$

चरण 3.1.2.1.2

$4$ को $0$ से गुणा करें.

$f (0) = 0 - 9 {(0)}^{4}$

चरण 3.1.2.1.3

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$f (0) = 0 - 9 \cdot 0$

चरण 3.1.2.1.4

$- 9$ को $0$ से गुणा करें.

$f (0) = 0 + 0$

चरण 3.1.2.2

$0$ और $0$ जोड़ें.

$f (0) = 0$

चरण 3.1.2.3

अंतिम उत्तर $0$ है.

$0$

चरण 3.2

$0$ को $f (x) = 4 x^{3} - 9 x^{4}$ में प्रतिस्थापित करने पर पता किया जाने वाला बिंदु $(0, 0)$ है. यह बिंदु एक विभक्ति बिंदु हो सकता है.

$(0, 0)$

चरण 3.3

$y$ का मान ज्ञात करने के लिए $\frac{2}{9}$ को $f (x) = 4 x^{3} - 9 x^{4}$ में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

व्यंजक में चर $x$ को $\frac{2}{9}$ से बदलें.

$f (\frac{2}{9}) = 4 {(\frac{2}{9})}^{3} - 9 {(\frac{2}{9})}^{4}$

चरण 3.3.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.2.1.1

उत्पाद नियम को $\frac{2}{9}$ पर लागू करें.

$f (\frac{2}{9}) = 4 (\frac{2^{3}}{9^{3}}) - 9 {(\frac{2}{9})}^{4}$

चरण 3.3.2.1.2

$2$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$f (\frac{2}{9}) = 4 (\frac{8}{9^{3}}) - 9 {(\frac{2}{9})}^{4}$

चरण 3.3.2.1.3

$9$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$f (\frac{2}{9}) = 4 (\frac{8}{729}) - 9 {(\frac{2}{9})}^{4}$

चरण 3.3.2.1.4

$4 (\frac{8}{729})$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.2.1.4.1

$4$ और $\frac{8}{729}$ को मिलाएं.

$f (\frac{2}{9}) = \frac{4 \cdot 8}{729} - 9 {(\frac{2}{9})}^{4}$

चरण 3.3.2.1.4.2

$4$ को $8$ से गुणा करें.

$f (\frac{2}{9}) = \frac{32}{729} - 9 {(\frac{2}{9})}^{4}$

चरण 3.3.2.1.5

उत्पाद नियम को $\frac{2}{9}$ पर लागू करें.

$f (\frac{2}{9}) = \frac{32}{729} - 9 \frac{2^{4}}{9^{4}}$

चरण 3.3.2.1.6

$2$ को $4$ के घात तक बढ़ाएं.

$f (\frac{2}{9}) = \frac{32}{729} - 9 \frac{16}{9^{4}}$

चरण 3.3.2.1.7

$9$ को $4$ के घात तक बढ़ाएं.

$f (\frac{2}{9}) = \frac{32}{729} - 9 (\frac{16}{6561})$

चरण 3.3.2.1.8

$9$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.2.1.8.1

$- 9$ में से $9$ का गुणनखंड करें.

$f (\frac{2}{9}) = \frac{32}{729} + 9 (- 1) (\frac{16}{6561})$

चरण 3.3.2.1.8.2

$6561$ में से $9$ का गुणनखंड करें.

$f (\frac{2}{9}) = \frac{32}{729} + 9 \cdot (- 1 \frac{16}{9 \cdot 729})$

चरण 3.3.2.1.8.3

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f (\frac{2}{9}) = \frac{32}{729} + 9 \cdot (- 1 \frac{16}{9 \cdot 729})$

चरण 3.3.2.1.8.4

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f (\frac{2}{9}) = \frac{32}{729} - 1 (\frac{16}{729})$

चरण 3.3.2.1.9

$- 1 (\frac{16}{729})$ को $- (\frac{16}{729})$ के रूप में फिर से लिखें.

$f (\frac{2}{9}) = \frac{32}{729} - \frac{16}{729}$

चरण 3.3.2.2

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.2.2.1

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$f (\frac{2}{9}) = \frac{32 - 16}{729}$

चरण 3.3.2.2.2

$32$ में से $16$ घटाएं.

$f (\frac{2}{9}) = \frac{16}{729}$

चरण 3.3.2.3

अंतिम उत्तर $\frac{16}{729}$ है.

$\frac{16}{729}$

चरण 3.4

$\frac{2}{9}$ को $f (x) = 4 x^{3} - 9 x^{4}$ में प्रतिस्थापित करने पर पता किया जाने वाला बिंदु $(\frac{2}{9}, \frac{16}{729})$ है. यह बिंदु एक विभक्ति बिंदु हो सकता है.

$(\frac{2}{9}, \frac{16}{729})$

चरण 3.5

ऐसे बिंदु निर्धारित करें जो विभक्ति बिंदु हो सकते हैं.

$(0, 0), (\frac{2}{9}, \frac{16}{729})$

चरण 4

$(- \infty, \infty)$ को उन बिंदुओं के आसपास के अंतराल में विभाजित करें जो संभावित रूप से विभक्ति बिंदु हो सकते हैं.

$(- \infty, 0) \cup (0, \frac{2}{9}) \cup (\frac{2}{9}, \infty)$

चरण 5

यह निर्धारित करने के लिए कि यह बढ़ता या घटता है, अंतराल $(- \infty, 0)$ से एक मान को दूसरे व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

व्यंजक में चर $x$ को $- 0.1$ से बदलें.

$f'' (- 0.1) = - 108 {(- 0.1)}^{2} + 24 (- 0.1)$

चरण 5.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1.1

$- 0.1$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f'' (- 0.1) = - 108 \cdot 0.01 + 24 (- 0.1)$

चरण 5.2.1.2

$- 108$ को $0.01$ से गुणा करें.

$f'' (- 0.1) = - 1.08 + 24 (- 0.1)$

चरण 5.2.1.3

$24$ को $- 0.1$ से गुणा करें.

$f'' (- 0.1) = - 1.08 - 2.4$

चरण 5.2.2

$- 1.08$ में से $2.4$ घटाएं.

$f'' (- 0.1) = - 3.48$

चरण 5.2.3

अंतिम उत्तर $- 3.48$ है.

$- 3.48$

चरण 5.3

$- 0.1$ पर, दूसरा व्युत्पन्न $- 3.48$ है. चूँकि यह ऋणात्मक है, इसलिए अंतराल $(- \infty, 0)$ पर दूसरा व्युत्पन्न घट रहा है

$f'' (x) < 0$ से $(- \infty, 0)$ पर घटता हुआ

चरण 6

यह निर्धारित करने के लिए कि यह बढ़ता या घटता है, अंतराल $(0, \frac{2}{9})$ से एक मान को दूसरे व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

व्यंजक में चर $x$ को $0.\overline{1}$ से बदलें.

$f'' (0.\overline{1}) = - 108 {(0.\overline{1})}^{2} + 24 (0.\overline{1})$

चरण 6.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1.1

$0.\overline{1}$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f'' (0.\overline{1}) = - 108 \cdot 0.01234567 + 24 (0.\overline{1})$

चरण 6.2.1.2

$- 108$ को $0.01234567$ से गुणा करें.

$f'' (0.\overline{1}) = - 1.33333333 + 24 (0.\overline{1})$

चरण 6.2.1.3

$24$ को $0.\overline{1}$ से गुणा करें.

$f'' (0.\overline{1}) = - 1.33333333 + 2.\overline{6}$

चरण 6.2.2

$- 1.33333333$ और $2.\overline{6}$ जोड़ें.

$f'' (0.\overline{1}) = 1.33333333$

चरण 6.2.3

अंतिम उत्तर $1.33333333$ है.

$1.33333333$

चरण 6.3

$0.\overline{1}$ पर, दूसरा व्युत्पन्न $1.33333333$ है. चूंकि यह धनात्मक है, इसलिए दूसरा अवकलज अंतराल $(0, \frac{2}{9})$ पर बढ़ रहा है.

$f'' (x) > 0$ के बाद से $(0, \frac{2}{9})$ पर बढ़ रहा है

चरण 7

यह निर्धारित करने के लिए कि यह बढ़ता या घटता है, अंतराल $(\frac{2}{9}, \infty)$ से एक मान को दूसरे व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

व्यंजक में चर $x$ को $0.3\overline{2}$ से बदलें.

$f'' (0.3\overline{2}) = - 108 {(0.3\overline{2})}^{2} + 24 (0.3\overline{2})$

चरण 7.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1.1

$0.3\overline{2}$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f'' (0.3\overline{2}) = - 108 \cdot 0.10382716 + 24 (0.3\overline{2})$

चरण 7.2.1.2

$- 108$ को $0.10382716$ से गुणा करें.

$f'' (0.3\overline{2}) = - 11.21333333 + 24 (0.3\overline{2})$

चरण 7.2.1.3

$24$ को $0.3\overline{2}$ से गुणा करें.

$f'' (0.3\overline{2}) = - 11.21333333 + 7.73333333$

चरण 7.2.2

$- 11.21333333$ और $7.73333333$ जोड़ें.

$f'' (0.3\overline{2}) = - 3.48$

चरण 7.2.3

अंतिम उत्तर $- 3.48$ है.

$- 3.48$

चरण 7.3

$0.3\overline{2}$ पर, दूसरा व्युत्पन्न $- 3.48$ है. चूँकि यह ऋणात्मक है, इसलिए अंतराल $(\frac{2}{9}, \infty)$ पर दूसरा व्युत्पन्न घट रहा है

$f'' (x) < 0$ से $(\frac{2}{9}, \infty)$ पर घटता हुआ

चरण 8

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(0, 0), (\frac{2}{9}, \frac{16}{729})$ .

$(0, 0), (\frac{2}{9}, \frac{16}{729})$

चरण 9