कैलकुलस उदाहरण

$\int_{2 x}^{3 x + 1} \sin (t^{4}) d t$

चरण 1

समाकलन को दो समाकलन में विभाजित करें जहां $c$ $2 x$ और $3 x + 1$ के बीच का कुछ मान है.

$\frac{d}{d x} [\int_{2 x}^{c} \sin (t^{4}) d t + \int_{c}^{3 x + 1} \sin (t^{4}) d t]$

चरण 2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $\int_{2 x}^{c} \sin (t^{4}) d t + \int_{c}^{3 x + 1} \sin (t^{4}) d t$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [\int_{2 x}^{c} \sin (t^{4}) d t] + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{3 x + 1} \sin (t^{4}) d t]$ है.

$\frac{d}{d x} [\int_{2 x}^{c} \sin (t^{4}) d t] + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{3 x + 1} \sin (t^{4}) d t]$

चरण 3

समाकलन की सीमा की अदला-बदली करें.

$\frac{d}{d x} [- \int_{c}^{2 x} \sin (t^{4}) d t] + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{3 x + 1} \sin (t^{4}) d t]$

चरण 4

कलन के मौलिक प्रमेय और चेन रूल का उपयोग करके $x$ के संबंध में $- \int_{c}^{2 x} \sin (t^{4}) d t$ का व्युत्पन्न लें.

$\frac{d}{d x} [2 x] (- \sin ({(2 x)}^{4})) + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{3 x + 1} \sin (t^{4}) d t]$

चरण 5

अवकलन करें.

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चरण 5.1

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$2 \frac{d}{d x} [x] (- \sin ({(2 x)}^{4})) + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{3 x + 1} \sin (t^{4}) d t]$

चरण 5.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$2 \cdot 1 (- \sin ({(2 x)}^{4})) + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{3 x + 1} \sin (t^{4}) d t]$

चरण 5.3

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$2 (- \sin ({(2 x)}^{4})) + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{3 x + 1} \sin (t^{4}) d t]$

चरण 6

कलन के मौलिक प्रमेय और चेन रूल का उपयोग करके $x$ के संबंध में $\int_{c}^{3 x + 1} \sin (t^{4}) d t$ का व्युत्पन्न लें.

$2 (- \sin ({(2 x)}^{4})) + \frac{d}{d x} [3 x + 1] \sin ({(3 x + 1)}^{4})$

चरण 7

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $3 x + 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$ है.

$2 (- \sin ({(2 x)}^{4})) + (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]) \sin ({(3 x + 1)}^{4})$

चरण 8

$\frac{d}{d x} [3 x]$ का मान ज्ञात करें.

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चरण 8.1

चूंकि $3$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $3 x$ का व्युत्पन्न $3 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$2 (- \sin ({(2 x)}^{4})) + (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) \sin ({(3 x + 1)}^{4})$

चरण 8.2

$2 (- \sin ({(2 x)}^{4})) + (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]) \sin ({(3 x + 1)}^{4})$

चरण 8.3

$3$ को $1$ से गुणा करें.

$2 (- \sin ({(2 x)}^{4})) + (3 + \frac{d}{d x} [1]) \sin ({(3 x + 1)}^{4})$

चरण 9

स्थिरांक नियम का उपयोग करके अंतर करें.

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चरण 9.1

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$2 (- \sin ({(2 x)}^{4})) + (3 + 0) \sin ({(3 x + 1)}^{4})$

चरण 9.2

गुणनखंड निकालकर सरलीकृत करें.

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चरण 9.2.1

$3$ और $0$ जोड़ें.

$2 (- \sin ({(2 x)}^{4})) + 3 \sin ({(3 x + 1)}^{4})$

चरण 9.2.2

$2 x$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$2 (- \sin ({(2 (x))}^{4})) + 3 \sin ({(3 x + 1)}^{4})$

चरण 9.2.3

व्यंजक को सरल बनाएंं.

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चरण 9.2.3.1

उत्पाद नियम को $2 (x)$ पर लागू करें.

$2 (- \sin (2^{4} x^{4})) + 3 \sin ({(3 x + 1)}^{4})$

चरण 9.2.3.2

$2$ को $4$ के घात तक बढ़ाएं.

$2 (- \sin (16 x^{4})) + 3 \sin ({(3 x + 1)}^{4})$

चरण 9.2.3.3

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$- 2 \sin (16 x^{4}) + 3 \sin ({(3 x + 1)}^{4})$