कैलकुलस उदाहरण

$\int_{1}^{5} x \sqrt{2 x^{2} - 1} d x$

चरण 1

मान लीजिए $u = 2 x^{2} - 1$ .फिर $d u = 4 x d x$ , तो $\frac{1}{4} d u = x d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

मान लें $u = 2 x^{2} - 1$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

$2 x^{2} - 1$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [2 x^{2} - 1]$

चरण 1.1.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $2 x^{2} - 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ है.

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

चरण 1.1.3

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.3.1

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x^{2}$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ है.

$2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

चरण 1.1.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 1]$

चरण 1.1.3.3

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$4 x + \frac{d}{d x} [- 1]$

चरण 1.1.4

स्थिरांक नियम का उपयोग करके अंतर करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.4.1

चूंकि $x$ के संबंध में $- 1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$4 x + 0$

चरण 1.1.4.2

$4 x$ और $0$ जोड़ें.

$4 x$

चरण 1.2

$x$ के लिए $u = 2 x^{2} - 1$ में निचली सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{lower} = 2 \cdot 1^{2} - 1$

चरण 1.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1.1

एक का कोई भी घात एक होता है.

$u_{lower} = 2 \cdot 1 - 1$

चरण 1.3.1.2

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$u_{lower} = 2 - 1$

चरण 1.3.2

$2$ में से $1$ घटाएं.

$u_{lower} = 1$

चरण 1.4

$x$ के लिए $u = 2 x^{2} - 1$ में ऊपरी सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{upper} = 2 \cdot 5^{2} - 1$

चरण 1.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.1.1

$5$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$u_{upper} = 2 \cdot 25 - 1$

चरण 1.5.1.2

$2$ को $25$ से गुणा करें.

$u_{upper} = 50 - 1$

चरण 1.5.2

$50$ में से $1$ घटाएं.

$u_{upper} = 49$

चरण 1.6

$u_{lower}$ और $u_{upper}$ के लिए पाए गए मानों का उपयोग निश्चित समाकल का मूल्यांकन करने के लिए किया जाएगा.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 49$

चरण 1.7

$u$ , $d u$ और समाकलन की नई सीमाओं का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int_{1}^{49} \sqrt{u} \frac{1}{4} d u$

चरण 2

$\sqrt{u}$ और $\frac{1}{4}$ को मिलाएं.

$\int_{1}^{49} \frac{\sqrt{u}}{4} d u$

चरण 3

चूँकि $\frac{1}{4}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{1}{4}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{4} \int_{1}^{49} \sqrt{u} d u$

चरण 4

$\sqrt{u}$ को $u^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$\frac{1}{4} \int_{1}^{49} u^{\frac{1}{2}} d u$

चरण 5

घात नियम के अनुसार, $u$ के संबंध में $u^{\frac{1}{2}}$ का समाकलन $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ है.

$\frac{1}{4} \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{49}$

चरण 6

प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

$49$ पर और $1$ पर $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ का मान ज्ञात करें.

$\frac{1}{4} ((\frac{2}{3} \cdot 49^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

चरण 6.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1

$49$ को $7^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{1}{4} (\frac{2}{3} \cdot {(7^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

चरण 6.2.2

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2}{3} \cdot 7^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

चरण 6.2.3

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.3.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{1}{4} (\frac{2}{3} \cdot 7^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

चरण 6.2.3.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{4} (\frac{2}{3} \cdot 7^{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

चरण 6.2.4

$7$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{1}{4} (\frac{2}{3} \cdot 343 - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

चरण 6.2.5

$\frac{2}{3}$ और $343$ को मिलाएं.

$\frac{1}{4} (\frac{2 \cdot 343}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

चरण 6.2.6

$2$ को $343$ से गुणा करें.

$\frac{1}{4} (\frac{686}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

चरण 6.2.7

एक का कोई भी घात एक होता है.

$\frac{1}{4} (\frac{686}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1)$

चरण 6.2.8

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{4} (\frac{686}{3} - \frac{2}{3})$

चरण 6.2.9

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{686 - 2}{3}$

चरण 6.2.10

$686$ में से $2$ घटाएं.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{684}{3}$

चरण 6.2.11

$684$ और $3$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.11.1

$684$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{3 \cdot 228}{3}$

चरण 6.2.11.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.11.2.1

$3$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{3 \cdot 228}{3 (1)}$

चरण 6.2.11.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{3 \cdot 228}{3 \cdot 1}$

चरण 6.2.11.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{228}{1}$

चरण 6.2.11.2.4

$228$ को $1$ से विभाजित करें.

$\frac{1}{4} \cdot 228$

चरण 6.2.12

$\frac{1}{4}$ और $228$ को मिलाएं.

$\frac{228}{4}$

चरण 6.2.13

$228$ और $4$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.13.1

$228$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$\frac{4 \cdot 57}{4}$

चरण 6.2.13.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.13.2.1

$4$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$\frac{4 \cdot 57}{4 (1)}$

चरण 6.2.13.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{4 \cdot 57}{4 \cdot 1}$

चरण 6.2.13.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{57}{1}$

चरण 6.2.13.2.4

$57$ को $1$ से विभाजित करें.

$57$

चरण 7