कैलकुलस उदाहरण

$\int_{1}^{2} 2 e^{- 4 x} - \frac{1}{x^{2}} d x$

चरण 1

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$\int_{1}^{2} 2 e^{- 4 x} d x + \int_{1}^{2} - \frac{1}{x^{2}} d x$

चरण 2

चूँकि $2$ बटे $x$ अचर है, $2$ को समाकलन से हटा दें.

$2 \int_{1}^{2} e^{- 4 x} d x + \int_{1}^{2} - \frac{1}{x^{2}} d x$

चरण 3

मान लीजिए $u = - 4 x$ .फिर $d u = - 4 d x$ , तो $- \frac{1}{4} d u = d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

मान लें $u = - 4 x$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.1

$- 4 x$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [- 4 x]$

चरण 3.1.2

चूंकि $- 4$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 4 x$ का व्युत्पन्न $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$- 4 \frac{d}{d x} [x]$

चरण 3.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$- 4 \cdot 1$

चरण 3.1.4

$- 4$ को $1$ से गुणा करें.

$- 4$

चरण 3.2

$x$ के लिए $u = - 4 x$ में निचली सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{lower} = - 4 \cdot 1$

चरण 3.3

$- 4$ को $1$ से गुणा करें.

$u_{lower} = - 4$

चरण 3.4

$x$ के लिए $u = - 4 x$ में ऊपरी सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{upper} = - 4 \cdot 2$

चरण 3.5

$- 4$ को $2$ से गुणा करें.

$u_{upper} = - 8$

चरण 3.6

$u_{lower}$ और $u_{upper}$ के लिए पाए गए मानों का उपयोग निश्चित समाकल का मूल्यांकन करने के लिए किया जाएगा.

$u_{lower} = - 4$

$u_{upper} = - 8$

चरण 3.7

$u$ , $d u$ और समाकलन की नई सीमाओं का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$2 \int_{- 4}^{- 8} e^{u} \frac{1}{- 4} d u + \int_{1}^{2} - \frac{1}{x^{2}} d x$

चरण 4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$2 \int_{- 4}^{- 8} e^{u} (- \frac{1}{4}) d u + \int_{1}^{2} - \frac{1}{x^{2}} d x$

चरण 4.2

$e^{u}$ और $\frac{1}{4}$ को मिलाएं.

$2 \int_{- 4}^{- 8} - \frac{e^{u}}{4} d u + \int_{1}^{2} - \frac{1}{x^{2}} d x$

चरण 5

चूँकि $- 1$ बटे $u$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$2 (- \int_{- 4}^{- 8} \frac{e^{u}}{4} d u) + \int_{1}^{2} - \frac{1}{x^{2}} d x$

चरण 6

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$- 2 \int_{- 4}^{- 8} \frac{e^{u}}{4} d u + \int_{1}^{2} - \frac{1}{x^{2}} d x$

चरण 7

चूँकि $\frac{1}{4}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{1}{4}$ को समाकलन से हटा दें.

$- 2 (\frac{1}{4} \int_{- 4}^{- 8} e^{u} d u) + \int_{1}^{2} - \frac{1}{x^{2}} d x$

चरण 8

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

$\frac{1}{4}$ और $- 2$ को मिलाएं.

$\frac{- 2}{4} \int_{- 4}^{- 8} e^{u} d u + \int_{1}^{2} - \frac{1}{x^{2}} d x$

चरण 8.2

$- 2$ और $4$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.1

$- 2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 (- 1)}{4} \int_{- 4}^{- 8} e^{u} d u + \int_{1}^{2} - \frac{1}{x^{2}} d x$

चरण 8.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.2.1

$4$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2} \int_{- 4}^{- 8} e^{u} d u + \int_{1}^{2} - \frac{1}{x^{2}} d x$

चरण 8.2.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2} \int_{- 4}^{- 8} e^{u} d u + \int_{1}^{2} - \frac{1}{x^{2}} d x$

चरण 8.2.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{- 1}{2} \int_{- 4}^{- 8} e^{u} d u + \int_{1}^{2} - \frac{1}{x^{2}} d x$

चरण 8.3

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$- \frac{1}{2} \int_{- 4}^{- 8} e^{u} d u + \int_{1}^{2} - \frac{1}{x^{2}} d x$

चरण 9

$u$ के संबंध में $e^{u}$ का इंटीग्रल $e^{u}$ है.

$- \frac{1}{2} e^{u}]_{- 4}^{- 8} + \int_{1}^{2} - \frac{1}{x^{2}} d x$

चरण 10

चूँकि $- 1$ बटे $x$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$- \frac{1}{2} e^{u}]_{- 4}^{- 8} - \int_{1}^{2} \frac{1}{x^{2}} d x$

चरण 11

घातांक के बुनियादी नियम लागू करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1

$x^{2}$ को भाजक में से $- 1$ पावर तक बढ़ा कर हटा दें.

$- \frac{1}{2} e^{u}]_{- 4}^{- 8} - \int_{1}^{2} {(x^{2})}^{- 1} d x$

चरण 11.2

घातांक को ${(x^{2})}^{- 1}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.2.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{2} e^{u}]_{- 4}^{- 8} - \int_{1}^{2} x^{2 \cdot - 1} d x$

चरण 11.2.2

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$- \frac{1}{2} e^{u}]_{- 4}^{- 8} - \int_{1}^{2} x^{- 2} d x$

चरण 12

घात नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{- 2}$ का समाकलन $- x^{- 1}$ है.

$- \frac{1}{2} e^{u}]_{- 4}^{- 8} - (- x^{- 1}]_{1}^{2})$

चरण 13

प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.1

$- 8$ पर और $- 4$ पर $e^{u}$ का मान ज्ञात करें.

$- \frac{1}{2} ((e^{- 8}) - e^{- 4}) - (- x^{- 1}]_{1}^{2})$

चरण 13.2

$2$ पर और $1$ पर $- x^{- 1}$ का मान ज्ञात करें.

$- \frac{1}{2} ((e^{- 8}) - e^{- 4}) - ((- 2^{- 1}) + 1^{- 1})$

चरण 13.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.3.1

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$- \frac{1}{2} (e^{- 8} - e^{- 4}) - (- \frac{1}{2} + 1^{- 1})$

चरण 13.3.2

एक का कोई भी घात एक होता है.

$- \frac{1}{2} (e^{- 8} - e^{- 4}) - (- \frac{1}{2} + 1)$

चरण 13.3.3

एक सामान्य भाजक के साथ $1$ को भिन्न के रूप में लिखें.

$- \frac{1}{2} (e^{- 8} - e^{- 4}) - (- \frac{1}{2} + \frac{2}{2})$

चरण 13.3.4

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$- \frac{1}{2} (e^{- 8} - e^{- 4}) - \frac{- 1 + 2}{2}$

चरण 13.3.5

$- 1$ और $2$ जोड़ें.

$- \frac{1}{2} (e^{- 8} - e^{- 4}) - \frac{1}{2}$

चरण 13.3.6

$- \frac{1}{2} (e^{- 8} - e^{- 4})$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$- \frac{1}{2} (e^{- 8} - e^{- 4}) \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

चरण 13.3.7

$- \frac{1}{2} (e^{- 8} - e^{- 4})$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{- \frac{1}{2} (e^{- 8} - e^{- 4}) \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}$

चरण 13.3.8

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{- \frac{1}{2} (e^{- 8} - e^{- 4}) \cdot 2 - 1}{2}$

चरण 13.3.9

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{- 2 (\frac{1}{2}) (e^{- 8} - e^{- 4}) - 1}{2}$

चरण 13.3.10

$- 2$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{\frac{- 2}{2} (e^{- 8} - e^{- 4}) - 1}{2}$

चरण 13.3.11

$- 2$ और $2$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.3.11.1

$- 2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{\frac{2 \cdot - 1}{2} (e^{- 8} - e^{- 4}) - 1}{2}$

चरण 13.3.11.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.3.11.2.1

$2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} (e^{- 8} - e^{- 4}) - 1}{2}$

चरण 13.3.11.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} (e^{- 8} - e^{- 4}) - 1}{2}$

चरण 13.3.11.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{\frac{- 1}{1} (e^{- 8} - e^{- 4}) - 1}{2}$

चरण 13.3.11.2.4

$- 1$ को $1$ से विभाजित करें.

$\frac{- (e^{- 8} - e^{- 4}) - 1}{2}$

चरण 14

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.1

$- 1$ को $- 1 (1)$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{- (e^{- 8} - e^{- 4}) - 1 (1)}{2}$

चरण 14.2

$- (e^{- 8} - e^{- 4}) - 1 (1)$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$\frac{- (e^{- 8} - e^{- 4} + 1)}{2}$

चरण 14.3

$- (e^{- 8} - e^{- 4} + 1)$ को $- 1 (e^{- 8} - e^{- 4} + 1)$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{- 1 (e^{- 8} - e^{- 4} + 1)}{2}$

चरण 14.4

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$- \frac{e^{- 8} - e^{- 4} + 1}{2}$

चरण 15

परिणाम कई रूपों में दिखाया जा सकता है.

सटीक रूप:

$- \frac{e^{- 8} - e^{- 4} + 1}{2}$

दशमलव रूप:

$- 0.49100991 \dots$

चरण 16