कैलकुलस उदाहरण

$\int \sin^{5} (4 x) d x$

चरण 1

मान लीजिए $u_{1} = 4 x$ .फिर $d u_{1} = 4 d x$ , तो $\frac{1}{4} d u_{1} = d x$ . $u_{1}$ और $d$ $u_{1}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

मान लें $u_{1} = 4 x$ . $\frac{d u_{1}}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

$4 x$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [4 x]$

चरण 1.1.2

चूंकि $4$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $4 x$ का व्युत्पन्न $4 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$4 \frac{d}{d x} [x]$

चरण 1.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$4 \cdot 1$

चरण 1.1.4

$4$ को $1$ से गुणा करें.

$4$

चरण 1.2

$u_{1}$ और $d u_{1}$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int \sin^{5} (u_{1}) \frac{1}{4} d u_{1}$

चरण 2

$\sin^{5} (u_{1})$ और $\frac{1}{4}$ को मिलाएं.

$\int \frac{\sin^{5} (u_{1})}{4} d u_{1}$

चरण 3

चूँकि $\frac{1}{4}$ बटे $u_{1}$ अचर है, $\frac{1}{4}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{4} \int \sin^{5} (u_{1}) d u_{1}$

चरण 4

$\sin^{4} (u_{1})$ का गुणनखंड करें.

$\frac{1}{4} \int \sin^{4} (u_{1}) \sin (u_{1}) d u_{1}$

चरण 5

गुणनखंड निकालकर सरलीकृत करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

$4$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{1}{4} \int {\sin (u_{1})}^{2 (2)} \sin (u_{1}) d u_{1}$

चरण 5.2

${\sin (u_{1})}^{2 (2)}$ को घातांक के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{1}{4} \int {(\sin^{2} (u_{1}))}^{2} \sin (u_{1}) d u_{1}$

चरण 6

पाइथागोरस पहचान का उपयोग करते हुए, $\sin^{2} (u_{1})$ को $1 - \cos^{2} (u_{1})$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{1}{4} \int {(1 - \cos^{2} (u_{1}))}^{2} \sin (u_{1}) d u_{1}$

चरण 7

मान लीजिए $u_{2} = \cos (u_{1})$ .फिर $d u_{2} = - \sin (u_{1}) d u_{1}$ , तो $- \frac{1}{\sin (u_{1})} d u_{2} = d u_{1}$ . $u_{2}$ और $d$ $u_{2}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

मान लें $u_{2} = \cos (u_{1})$ . $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1.1

$\cos (u_{1})$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})]$

चरण 7.1.2

$u_{1}$ के संबंध में $\cos (u_{1})$ का व्युत्पन्न $- \sin (u_{1})$ है.

$- \sin (u_{1})$

चरण 7.2

$u_{2}$ और $d u_{2}$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\frac{1}{4} \int - {(1 - {u_{2}}^{2})}^{2} d u_{2}$

चरण 8

चूँकि $- 1$ बटे $u_{2}$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{4} (- \int {(1 - {u_{2}}^{2})}^{2} d u_{2})$

चरण 9

${(1 - {u_{2}}^{2})}^{2}$ का प्रसार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

${(1 - {u_{2}}^{2})}^{2}$ को $(1 - {u_{2}}^{2}) (1 - {u_{2}}^{2})$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{1}{4} (- \int (1 - {u_{2}}^{2}) (1 - {u_{2}}^{2}) d u_{2})$

चरण 9.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{1}{4} (- \int 1 (1 - {u_{2}}^{2}) - {u_{2}}^{2} (1 - {u_{2}}^{2}) d u_{2})$

चरण 9.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{1}{4} (- \int 1 \cdot 1 + 1 (- {u_{2}}^{2}) - {u_{2}}^{2} (1 - {u_{2}}^{2}) d u_{2})$

चरण 9.4

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{1}{4} (- \int 1 \cdot 1 + 1 (- {u_{2}}^{2}) - {u_{2}}^{2} \cdot 1 - {u_{2}}^{2} (- {u_{2}}^{2}) d u_{2})$

चरण 9.5

${u_{2}}^{2}$ ले जाएं.

$\frac{1}{4} (- \int 1 \cdot 1 + 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} - 1 \cdot 1 {u_{2}}^{2} - {u_{2}}^{2} (- {u_{2}}^{2}) d u_{2})$

चरण 9.6

${u_{2}}^{2}$ ले जाएं.

$\frac{1}{4} (- \int 1 \cdot 1 + 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} - 1 \cdot 1 {u_{2}}^{2} - 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2})$

चरण 9.7

$1$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{4} (- \int 1 + 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} - 1 \cdot 1 {u_{2}}^{2} - 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2})$

चरण 9.8

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{4} (- \int 1 - {u_{2}}^{2} - 1 \cdot 1 {u_{2}}^{2} - 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2})$

चरण 9.9

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{4} (- \int 1 - {u_{2}}^{2} - {u_{2}}^{2} - 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2})$

चरण 9.10

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{4} (- \int 1 - {u_{2}}^{2} - {u_{2}}^{2} + 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2})$

चरण 9.11

${u_{2}}^{2}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{4} (- \int 1 - {u_{2}}^{2} - {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2})$

चरण 9.12

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{1}{4} (- \int 1 - {u_{2}}^{2} - {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{2 + 2} d u_{2})$

चरण 9.13

$2$ और $2$ जोड़ें.

$\frac{1}{4} (- \int 1 - {u_{2}}^{2} - {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{4} d u_{2})$

चरण 9.14

$- {u_{2}}^{2}$ में से ${u_{2}}^{2}$ घटाएं.

$\frac{1}{4} (- \int 1 - 2 {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{4} d u_{2})$

चरण 9.15

$- 2 {u_{2}}^{2}$ और ${u_{2}}^{4}$ को पुन: क्रमित करें.

$\frac{1}{4} (- \int 1 + {u_{2}}^{4} - 2 {u_{2}}^{2} d u_{2})$

चरण 9.16

$1$ ले जाएं.

$\frac{1}{4} (- \int {u_{2}}^{4} - 2 {u_{2}}^{2} + 1 d u_{2})$

चरण 10

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$\frac{1}{4} (- (\int {u_{2}}^{4} d u_{2} + \int - 2 {u_{2}}^{2} d u_{2} + \int d u_{2}))$

चरण 11

घात नियम के अनुसार, $u_{2}$ के संबंध में ${u_{2}}^{4}$ का समाकलन $\frac{1}{5} {u_{2}}^{5}$ है.

$\frac{1}{4} (- (\frac{1}{5} {u_{2}}^{5} + C + \int - 2 {u_{2}}^{2} d u_{2} + \int d u_{2}))$

चरण 12

चूँकि $- 2$ बटे $u_{2}$ अचर है, $- 2$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{4} (- (\frac{1}{5} {u_{2}}^{5} + C - 2 \int {u_{2}}^{2} d u_{2} + \int d u_{2}))$

चरण 13

घात नियम के अनुसार, $u_{2}$ के संबंध में ${u_{2}}^{2}$ का समाकलन $\frac{1}{3} {u_{2}}^{3}$ है.

$\frac{1}{4} (- (\frac{1}{5} {u_{2}}^{5} + C - 2 (\frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + C) + \int d u_{2}))$

चरण 14

स्थिरांक नियम लागू करें.

$\frac{1}{4} (- (\frac{1}{5} {u_{2}}^{5} + C - 2 (\frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + C) + u_{2} + C))$

चरण 15

सरल करें.

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चरण 15.1

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 15.1.1

$\frac{1}{3}$ और ${u_{2}}^{3}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{4} (- (\frac{1}{5} {u_{2}}^{5} + C - 2 (\frac{{u_{2}}^{3}}{3} + C) + u_{2} + C))$

चरण 15.1.2

$\frac{1}{5}$ और ${u_{2}}^{5}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{4} (- (\frac{{u_{2}}^{5}}{5} + C - 2 (\frac{{u_{2}}^{3}}{3} + C) + u_{2} + C))$

चरण 15.2

सरल करें.

$\frac{1}{4} (- (\frac{{u_{2}}^{5}}{5} - \frac{2 {u_{2}}^{3}}{3} + u_{2})) + C$

चरण 16

प्रत्येक एकीकरण प्रतिस्थापन चर के लिए वापस प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 16.1

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $\cos (u_{1})$ से बदलें.

$\frac{1}{4} (- (\frac{\cos^{5} (u_{1})}{5} - \frac{2 \cos^{3} (u_{1})}{3} + \cos (u_{1}))) + C$

चरण 16.2

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $4 x$ से बदलें.

$\frac{1}{4} (- (\frac{\cos^{5} (4 x)}{5} - \frac{2 \cos^{3} (4 x)}{3} + \cos (4 x))) + C$

चरण 17

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{1}{4} (- (\frac{1}{5} \cos^{5} (4 x) - \frac{2}{3} \cos^{3} (4 x) + \cos (4 x))) + C$