कैलकुलस उदाहरण

$\int_{0.3}^{1.1} x^{3} \cot (x^{4}) d x$

चरण 1

मान लीजिए $u_{1} = x^{2}$ .फिर $d u_{1} = 2 x d x$ , तो $\frac{1}{2} d u_{1} = x d x$ . $u_{1}$ और $d$ $u_{1}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

मान लें $u_{1} = x^{2}$ . $\frac{d u_{1}}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

$x^{2}$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

चरण 1.1.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$2 x$

चरण 1.2

$x$ के लिए $u_{1} = x^{2}$ में निचली सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{lower} = {0.3}^{2}$

चरण 1.3

$0.3$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$u_{lower} = 0.09$

चरण 1.4

$x$ के लिए $u_{1} = x^{2}$ में ऊपरी सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{upper} = {1.1}^{2}$

चरण 1.5

$1.1$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$u_{upper} = 1.21$

चरण 1.6

$u_{lower}$ और $u_{upper}$ के लिए पाए गए मानों का उपयोग निश्चित समाकल का मूल्यांकन करने के लिए किया जाएगा.

$u_{lower} = 0.09$

$u_{upper} = 1.21$

चरण 1.7

$u_{1}$ , $d u_{1}$ और समाकलन की नई सीमाओं का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int_{0.09}^{1.21} u_{1} \cot ({\sqrt{u_{1}}}^{4}) \frac{1}{2} d u_{1}$

चरण 2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

${\sqrt{u_{1}}}^{4}$ को ${u_{1}}^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

$\sqrt{u_{1}}$ को ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$\int_{0.09}^{1.21} u_{1} \cot ({({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{4}) \frac{1}{2} d u_{1}$

चरण 2.1.2

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{0.09}^{1.21} u_{1} \cot ({u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot 4}) \frac{1}{2} d u_{1}$

चरण 2.1.3

$\frac{1}{2}$ और $4$ को मिलाएं.

$\int_{0.09}^{1.21} u_{1} \cot ({u_{1}}^{\frac{4}{2}}) \frac{1}{2} d u_{1}$

चरण 2.1.4

$4$ और $2$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.4.1

$4$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\int_{0.09}^{1.21} u_{1} \cot ({u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2}}) \frac{1}{2} d u_{1}$

चरण 2.1.4.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.4.2.1

$2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\int_{0.09}^{1.21} u_{1} \cot ({u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}) \frac{1}{2} d u_{1}$

चरण 2.1.4.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\int_{0.09}^{1.21} u_{1} \cot ({u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}) \frac{1}{2} d u_{1}$

चरण 2.1.4.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\int_{0.09}^{1.21} u_{1} \cot ({u_{1}}^{\frac{2}{1}}) \frac{1}{2} d u_{1}$

चरण 2.1.4.2.4

$2$ को $1$ से विभाजित करें.

$\int_{0.09}^{1.21} u_{1} \cot ({u_{1}}^{2}) \frac{1}{2} d u_{1}$

चरण 2.2

$\frac{1}{2}$ और $u_{1}$ को मिलाएं.

$\int_{0.09}^{1.21} \frac{u_{1}}{2} \cot ({u_{1}}^{2}) d u_{1}$

चरण 2.3

$\frac{u_{1}}{2}$ और $\cot ({u_{1}}^{2})$ को मिलाएं.

$\int_{0.09}^{1.21} \frac{u_{1} \cot ({u_{1}}^{2})}{2} d u_{1}$

चरण 3

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $u_{1}$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{2} \int_{0.09}^{1.21} u_{1} \cot ({u_{1}}^{2}) d u_{1}$

चरण 4

मान लीजिए $u_{2} = {u_{1}}^{2}$ .फिर $d u_{2} = 2 u_{1} d u_{1}$ , तो $\frac{1}{2} d u_{2} = u_{1} d u_{1}$ . $u_{2}$ और $d$ $u_{2}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

मान लें $u_{2} = {u_{1}}^{2}$ . $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1

${u_{1}}^{2}$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}]$

चरण 4.1.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ $n {u_{1}}^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$2 u_{1}$

चरण 4.2

$u_{1}$ के लिए $u_{2} = {u_{1}}^{2}$ में निचली सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{lower} = {0.09}^{2}$

चरण 4.3

$0.09$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$u_{lower} = 0.0081$

चरण 4.4

$u_{1}$ के लिए $u_{2} = {u_{1}}^{2}$ में ऊपरी सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{upper} = {1.21}^{2}$

चरण 4.5

$1.21$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$u_{upper} = 1.4641$

चरण 4.6

$u_{lower} = 0.0081$

$u_{upper} = 1.4641$

चरण 4.7

$u_{2}$ , $d u_{2}$ और समाकलन की नई सीमाओं का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\frac{1}{2} \int_{0.0081}^{1.4641} \cot (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2}$

चरण 5

$\cot (u_{2})$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{2} \int_{0.0081}^{1.4641} \frac{\cot (u_{2})}{2} d u_{2}$

चरण 6

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $u_{2}$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int_{0.0081}^{1.4641} \cot (u_{2}) d u_{2})$

चरण 7

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

$\frac{1}{2}$ को $\frac{1}{2}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2 \cdot 2} \int_{0.0081}^{1.4641} \cot (u_{2}) d u_{2}$

चरण 7.2

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{1}{4} \int_{0.0081}^{1.4641} \cot (u_{2}) d u_{2}$

चरण 8

$u_{2}$ के संबंध में $\cot (u_{2})$ का इंटीग्रल $\ln (| \sin (u_{2}) |)$ है.

$\frac{1}{4} \ln (| \sin (u_{2}) |)]_{0.0081}^{1.4641}$

चरण 9

$1.4641$ पर और $0.0081$ पर $\ln (| \sin (u_{2}) |)$ का मान ज्ञात करें.

$\frac{1}{4} (\ln (| \sin (1.4641) |) - \ln (| \sin (0.0081) |))$

चरण 10

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1

लघुगणक के भागफल गुण $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ का प्रयोग करें.

$\frac{1}{4} \ln (\frac{| \sin (1.4641) |}{| \sin (0.0081) |})$

चरण 10.2

$\frac{1}{4}$ और $\ln (\frac{| \sin (1.4641) |}{| \sin (0.0081) |})$ को मिलाएं.

$\frac{\ln (\frac{| \sin (1.4641) |}{| \sin (0.0081) |})}{4}$

चरण 11

परिणाम कई रूपों में दिखाया जा सकता है.

सटीक रूप:

$\frac{\ln (\frac{| \sin (1.4641) |}{| \sin (0.0081) |})}{4}$

दशमलव रूप:

$2.21460382 \dots$