कैलकुलस उदाहरण

$\int_{0}^{π} x \cos (3 x) d x$

चरण 1

$\int u d v = u v - \int v d u$ , जहां $u = x$ और $d v = \cos (3 x)$ सूत्र का उपयोग करके भागों द्वारा एकीकृत करें.

$x (\frac{1}{3} \sin (3 x))]_{0}^{π} - \int_{0}^{π} \frac{1}{3} \sin (3 x) d x$

चरण 2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$\frac{1}{3}$ और $\sin (3 x)$ को मिलाएं.

$x \frac{\sin (3 x)}{3}]_{0}^{π} - \int_{0}^{π} \frac{1}{3} \sin (3 x) d x$

चरण 2.2

$x$ और $\frac{\sin (3 x)}{3}$ को मिलाएं.

$\frac{x \sin (3 x)}{3}]_{0}^{π} - \int_{0}^{π} \frac{1}{3} \sin (3 x) d x$

चरण 3

चूँकि $\frac{1}{3}$ बटे $x$ अचर है, $\frac{1}{3}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{x \sin (3 x)}{3}]_{0}^{π} - (\frac{1}{3} \int_{0}^{π} \sin (3 x) d x)$

चरण 4

मान लीजिए $u = 3 x$ .फिर $d u = 3 d x$ , तो $\frac{1}{3} d u = d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

मान लें $u = 3 x$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1

$3 x$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [3 x]$

चरण 4.1.2

चूंकि $3$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $3 x$ का व्युत्पन्न $3 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$3 \frac{d}{d x} [x]$

चरण 4.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$3 \cdot 1$

चरण 4.1.4

$3$ को $1$ से गुणा करें.

$3$

चरण 4.2

$x$ के लिए $u = 3 x$ में निचली सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{lower} = 3 \cdot 0$

चरण 4.3

$3$ को $0$ से गुणा करें.

$u_{lower} = 0$

चरण 4.4

$x$ के लिए $u = 3 x$ में ऊपरी सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{upper} = 3 π$

चरण 4.5

$u_{lower}$ और $u_{upper}$ के लिए पाए गए मानों का उपयोग निश्चित समाकल का मूल्यांकन करने के लिए किया जाएगा.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 3 π$

चरण 4.6

$u$ , $d u$ और समाकलन की नई सीमाओं का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\frac{x \sin (3 x)}{3}]_{0}^{π} - \frac{1}{3} \int_{0}^{3 π} \sin (u) \frac{1}{3} d u$

चरण 5

$\sin (u)$ और $\frac{1}{3}$ को मिलाएं.

$\frac{x \sin (3 x)}{3}]_{0}^{π} - \frac{1}{3} \int_{0}^{3 π} \frac{\sin (u)}{3} d u$

चरण 6

चूँकि $\frac{1}{3}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{1}{3}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{x \sin (3 x)}{3}]_{0}^{π} - \frac{1}{3} (\frac{1}{3} \int_{0}^{3 π} \sin (u) d u)$

चरण 7

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

$\frac{1}{3}$ को $\frac{1}{3}$ से गुणा करें.

$\frac{x \sin (3 x)}{3}]_{0}^{π} - \frac{1}{3 \cdot 3} \int_{0}^{3 π} \sin (u) d u$

चरण 7.2

$3$ को $3$ से गुणा करें.

$\frac{x \sin (3 x)}{3}]_{0}^{π} - \frac{1}{9} \int_{0}^{3 π} \sin (u) d u$

चरण 8

$u$ के संबंध में $\sin (u)$ का इंटीग्रल $- \cos (u)$ है.

$\frac{x \sin (3 x)}{3}]_{0}^{π} - \frac{1}{9} - \cos (u)]_{0}^{3 π}$

चरण 9

प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

$π$ पर और $0$ पर $\frac{x \sin (3 x)}{3}$ का मान ज्ञात करें.

$(\frac{π \sin (3 π)}{3}) - \frac{0 \sin (3 \cdot 0)}{3} - \frac{1}{9} - \cos (u)]_{0}^{3 π}$

चरण 9.2

$3 π$ पर और $0$ पर $- \cos (u)$ का मान ज्ञात करें.

$(\frac{π \sin (3 π)}{3}) - \frac{0 \sin (3 \cdot 0)}{3} - \frac{1}{9} ((- \cos (3 π)) + \cos (0))$

चरण 9.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.3.1

$3$ को $0$ से गुणा करें.

$\frac{π \sin (3 π)}{3} - \frac{0 \sin (0)}{3} - \frac{1}{9} ((- \cos (3 π)) + \cos (0))$

चरण 9.3.2

$0$ को $\sin (0)$ से गुणा करें.

$\frac{π \sin (3 π)}{3} - \frac{0}{3} - \frac{1}{9} ((- \cos (3 π)) + \cos (0))$

चरण 9.3.3

$0$ और $3$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.3.3.1

$0$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$\frac{π \sin (3 π)}{3} - \frac{3 (0)}{3} - \frac{1}{9} ((- \cos (3 π)) + \cos (0))$

चरण 9.3.3.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.3.3.2.1

$3$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$\frac{π \sin (3 π)}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{1}{9} ((- \cos (3 π)) + \cos (0))$

चरण 9.3.3.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{π \sin (3 π)}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{1}{9} ((- \cos (3 π)) + \cos (0))$

चरण 9.3.3.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{π \sin (3 π)}{3} - \frac{0}{1} - \frac{1}{9} ((- \cos (3 π)) + \cos (0))$

चरण 9.3.3.2.4

$0$ को $1$ से विभाजित करें.

$\frac{π \sin (3 π)}{3} - 0 - \frac{1}{9} ((- \cos (3 π)) + \cos (0))$

चरण 9.3.4

$- 1$ को $0$ से गुणा करें.

$\frac{π \sin (3 π)}{3} + 0 - \frac{1}{9} ((- \cos (3 π)) + \cos (0))$

चरण 9.3.5

$\frac{π \sin (3 π)}{3}$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{π \sin (3 π)}{3} - \frac{1}{9} ((- \cos (3 π)) + \cos (0))$

चरण 9.3.6

$- \frac{1}{9} (- \cos (3 π) + \cos (0))$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{3}{3}$ से गुणा करें.

$\frac{π \sin (3 π)}{3} - \frac{1}{9} (- \cos (3 π) + \cos (0)) \cdot \frac{3}{3}$

चरण 9.3.7

$- \frac{1}{9} (- \cos (3 π) + \cos (0))$ और $\frac{3}{3}$ को मिलाएं.

$\frac{π \sin (3 π)}{3} + \frac{- \frac{1}{9} (- \cos (3 π) + \cos (0)) \cdot 3}{3}$

चरण 9.3.8

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{π \sin (3 π) - \frac{1}{9} (- \cos (3 π) + \cos (0)) \cdot 3}{3}$

चरण 9.3.9

$3$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{π \sin (3 π) - 3 (\frac{1}{9}) (- \cos (3 π) + \cos (0))}{3}$

चरण 9.3.10

$- 3$ और $\frac{1}{9}$ को मिलाएं.

$\frac{π \sin (3 π) + \frac{- 3}{9} (- \cos (3 π) + \cos (0))}{3}$

चरण 9.3.11

$- 3$ और $9$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.3.11.1

$- 3$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$\frac{π \sin (3 π) + \frac{3 (- 1)}{9} (- \cos (3 π) + \cos (0))}{3}$

चरण 9.3.11.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.3.11.2.1

$9$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$\frac{π \sin (3 π) + \frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 3} (- \cos (3 π) + \cos (0))}{3}$

चरण 9.3.11.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{π \sin (3 π) + \frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 3} (- \cos (3 π) + \cos (0))}{3}$

चरण 9.3.11.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{π \sin (3 π) + \frac{- 1}{3} (- \cos (3 π) + \cos (0))}{3}$

चरण 9.3.12

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\frac{π \sin (3 π) - \frac{1}{3} (- \cos (3 π) + \cos (0))}{3}$

चरण 10

$\cos (0)$ का सटीक मान $1$ है.

$\frac{π \sin (3 π) - \frac{1}{3} (- \cos (3 π) + 1)}{3}$

चरण 11

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1

$2 π$ का पूरा घुमाव घटाएं जब तक कि कोण $0$ से बड़ा या उसके बराबर और $2 π$ से कम न हो जाए.

$\frac{π \sin (π) - \frac{1}{3} (- \cos (3 π) + 1)}{3}$

चरण 11.2

पहले चतुर्थांश में तुल्य त्रिभुज मानों वाला कोण ज्ञात करके संदर्भ कोण लागू करें.

$\frac{π \sin (0) - \frac{1}{3} (- \cos (3 π) + 1)}{3}$

चरण 11.3

$\sin (0)$ का सटीक मान $0$ है.

$\frac{π \cdot 0 - \frac{1}{3} (- \cos (3 π) + 1)}{3}$

चरण 11.4

$π$ को $0$ से गुणा करें.

$\frac{0 - \frac{1}{3} (- \cos (3 π) + 1)}{3}$

चरण 11.5

$2 π$ का पूरा घुमाव घटाएं जब तक कि कोण $0$ से बड़ा या उसके बराबर और $2 π$ से कम न हो जाए.

$\frac{0 - \frac{1}{3} (- \cos (π) + 1)}{3}$

चरण 11.6

पहले चतुर्थांश में तुल्य त्रिभुज मानों वाला कोण ज्ञात करके संदर्भ कोण लागू करें. व्यंजक को ऋणात्मक बनाएंं क्योंकि दूसरे चतुर्थांश में कोज्या ऋणात्मक है.

$\frac{0 - \frac{1}{3} (- - \cos (0) + 1)}{3}$

चरण 11.7

$\cos (0)$ का सटीक मान $1$ है.

$\frac{0 - \frac{1}{3} (- (- 1 \cdot 1) + 1)}{3}$

चरण 11.8

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{0 - \frac{1}{3} (- - 1 + 1)}{3}$

चरण 11.9

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{0 - \frac{1}{3} (1 + 1)}{3}$

चरण 11.10

$1$ और $1$ जोड़ें.

$\frac{0 - \frac{1}{3} \cdot 2}{3}$

चरण 11.11

$- \frac{1}{3} \cdot 2$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.11.1

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{0 - 2 (\frac{1}{3})}{3}$

चरण 11.11.2

$- 2$ और $\frac{1}{3}$ को मिलाएं.

$\frac{0 + \frac{- 2}{3}}{3}$

चरण 11.12

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\frac{0 - \frac{2}{3}}{3}$

चरण 11.13

$0$ में से $\frac{2}{3}$ घटाएं.

$\frac{- \frac{2}{3}}{3}$

चरण 11.14

भाजक के प्रतिलोम से न्यूमेरेटर को गुणा करें.

$- \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3}$

चरण 11.15

$- \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3}$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.15.1

$\frac{1}{3}$ को $\frac{2}{3}$ से गुणा करें.

$- \frac{2}{3 \cdot 3}$

चरण 11.15.2

$3$ को $3$ से गुणा करें.

$- \frac{2}{9}$

चरण 12

परिणाम कई रूपों में दिखाया जा सकता है.

सटीक रूप:

$- \frac{2}{9}$

दशमलव रूप:

$- 0.\overline{2}$