कैलकुलस उदाहरण

$\int_{0}^{π} {(1 + \cos (7 t))}^{2} \sin (7 t) d t$

चरण 1

मान लीजिए $u_{2} = 1 + \cos (7 t)$ .फिर $d u_{2} = - 7 \sin (7 t) d t$ , तो $- \frac{1}{7} d u_{2} = \sin (7 t) d t$ . $u_{2}$ और $d$ $u_{2}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

मान लें $u_{2} = 1 + \cos (7 t)$ . $\frac{d u_{2}}{d t}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

$1 + \cos (7 t)$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d t} [1 + \cos (7 t)]$

चरण 1.1.2

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.1

योग नियम के अनुसार, $t$ के संबंध में $1 + \cos (7 t)$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [\cos (7 t)]$ है.

$\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [\cos (7 t)]$

चरण 1.1.2.2

चूंकि $t$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $t$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$0 + \frac{d}{d t} [\cos (7 t)]$

चरण 1.1.3

$\frac{d}{d t} [\cos (7 t)]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.3.1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ $f' (g (t)) g' (t)$ है, जहाँ $f (t) = \cos (t)$ और $g (t) = 7 t$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.3.1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{1}$ को $7 t$ के रूप में सेट करें.

$0 + \frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d t} [7 t]$

चरण 1.1.3.1.2

$u_{1}$ के संबंध में $\cos (u_{1})$ का व्युत्पन्न $- \sin (u_{1})$ है.

$0 - \sin (u_{1}) \frac{d}{d t} [7 t]$

चरण 1.1.3.1.3

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $7 t$ से बदलें.

$0 - \sin (7 t) \frac{d}{d t} [7 t]$

चरण 1.1.3.2

चूंकि $7$ , $t$ के संबंध में स्थिर है, $t$ के संबंध में $7 t$ का व्युत्पन्न $7 \frac{d}{d t} [t]$ है.

$0 - \sin (7 t) (7 \frac{d}{d t} [t])$

चरण 1.1.3.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ $n t^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$0 - \sin (7 t) (7 \cdot 1)$

चरण 1.1.3.4

$7$ को $1$ से गुणा करें.

$0 - \sin (7 t) \cdot 7$

चरण 1.1.3.5

$7$ को $- 1$ से गुणा करें.

$0 - 7 \sin (7 t)$

चरण 1.1.4

$0$ में से $7 \sin (7 t)$ घटाएं.

$- 7 \sin (7 t)$

चरण 1.2

$t$ के लिए $u_{2} = 1 + \cos (7 t)$ में निचली सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{lower} = 1 + \cos (7 \cdot 0)$

चरण 1.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1.1

$7$ को $0$ से गुणा करें.

$u_{lower} = 1 + \cos (0)$

चरण 1.3.1.2

$\cos (0)$ का सटीक मान $1$ है.

$u_{lower} = 1 + 1$

चरण 1.3.2

$1$ और $1$ जोड़ें.

$u_{lower} = 2$

चरण 1.4

$t$ के लिए $u_{2} = 1 + \cos (7 t)$ में ऊपरी सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{upper} = 1 + \cos (7 π)$

चरण 1.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.1.1

$2 π$ का पूरा घुमाव घटाएं जब तक कि कोण $0$ से बड़ा या उसके बराबर और $2 π$ से कम न हो जाए.

$u_{upper} = 1 + \cos (π)$

चरण 1.5.1.2

पहले चतुर्थांश में तुल्य त्रिभुज मानों वाला कोण ज्ञात करके संदर्भ कोण लागू करें. व्यंजक को ऋणात्मक बनाएंं क्योंकि दूसरे चतुर्थांश में कोज्या ऋणात्मक है.

$u_{upper} = 1 - \cos (0)$

चरण 1.5.1.3

$\cos (0)$ का सटीक मान $1$ है.

$u_{upper} = 1 - 1 \cdot 1$

चरण 1.5.1.4

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$u_{upper} = 1 - 1$

चरण 1.5.2

$1$ में से $1$ घटाएं.

$u_{upper} = 0$

चरण 1.6

$u_{lower}$ और $u_{upper}$ के लिए पाए गए मानों का उपयोग निश्चित समाकल का मूल्यांकन करने के लिए किया जाएगा.

$u_{lower} = 2$

$u_{upper} = 0$

चरण 1.7

$u_{2}$ , $d u_{2}$ और समाकलन की नई सीमाओं का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int_{2}^{0} {u_{2}}^{2} \frac{1}{- 7} d u_{2}$

चरण 2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\int_{2}^{0} {u_{2}}^{2} (- \frac{1}{7}) d u_{2}$

चरण 2.2

${u_{2}}^{2}$ और $\frac{1}{7}$ को मिलाएं.

$\int_{2}^{0} - \frac{{u_{2}}^{2}}{7} d u_{2}$

चरण 3

चूँकि $- 1$ बटे $u_{2}$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$- \int_{2}^{0} \frac{{u_{2}}^{2}}{7} d u_{2}$

चरण 4

चूँकि $\frac{1}{7}$ बटे $u_{2}$ अचर है, $\frac{1}{7}$ को समाकलन से हटा दें.

$- (\frac{1}{7} \int_{2}^{0} {u_{2}}^{2} d u_{2})$

चरण 5

घात नियम के अनुसार, $u_{2}$ के संबंध में ${u_{2}}^{2}$ का समाकलन $\frac{1}{3} {u_{2}}^{3}$ है.

$- \frac{1}{7} \frac{1}{3} {u_{2}}^{3}]_{2}^{0}$

चरण 6

प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

$0$ पर और $2$ पर $\frac{1}{3} {u_{2}}^{3}$ का मान ज्ञात करें.

$- \frac{1}{7} ((\frac{1}{3} \cdot 0^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 2^{3})$

चरण 6.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$- \frac{1}{7} (\frac{1}{3} \cdot 0 - \frac{1}{3} \cdot 2^{3})$

चरण 6.2.2

$\frac{1}{3}$ को $0$ से गुणा करें.

$- \frac{1}{7} (0 - \frac{1}{3} \cdot 2^{3})$

चरण 6.2.3

$2$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$- \frac{1}{7} (0 - \frac{1}{3} \cdot 8)$

चरण 6.2.4

$8$ को $- 1$ से गुणा करें.

$- \frac{1}{7} (0 - 8 (\frac{1}{3}))$

चरण 6.2.5

$- 8$ और $\frac{1}{3}$ को मिलाएं.

$- \frac{1}{7} (0 + \frac{- 8}{3})$

चरण 6.2.6

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$- \frac{1}{7} (0 - \frac{8}{3})$

चरण 6.2.7

$0$ में से $\frac{8}{3}$ घटाएं.

$- \frac{1}{7} (- \frac{8}{3})$

चरण 6.2.8

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$1 (\frac{1}{7}) \frac{8}{3}$

चरण 6.2.9

$\frac{1}{7}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{7} \cdot \frac{8}{3}$

चरण 6.2.10

$\frac{1}{7}$ को $\frac{8}{3}$ से गुणा करें.

$\frac{8}{7 \cdot 3}$

चरण 6.2.11

$7$ को $3$ से गुणा करें.

$\frac{8}{21}$

चरण 7

परिणाम कई रूपों में दिखाया जा सकता है.

सटीक रूप:

$\frac{8}{21}$

दशमलव रूप:

$0.\overline{380952}$