कैलकुलस उदाहरण

$\int_{0}^{2} 3 \sqrt{4 u + 1} d u$

चरण 1

चूँकि $3$ बटे $u$ अचर है, $3$ को समाकलन से हटा दें.

$3 \int_{0}^{2} \sqrt{4 u + 1} d u$

चरण 2

मान लीजिए $u_{1} = 4 u + 1$ .फिर $d u_{1} = 4 d u$ , तो $\frac{1}{4} d u_{1} = d u$ . $u_{1}$ और $d$ $u_{1}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

मान लें $u_{1} = 4 u + 1$ . $\frac{d u_{1}}{d u}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

$4 u + 1$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d u} [4 u + 1]$

चरण 2.1.2

योग नियम के अनुसार, $u$ के संबंध में $4 u + 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d u} [4 u] + \frac{d}{d u} [1]$ है.

$\frac{d}{d u} [4 u] + \frac{d}{d u} [1]$

चरण 2.1.3

$\frac{d}{d u} [4 u]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.3.1

चूंकि $4$ , $u$ के संबंध में स्थिर है, $u$ के संबंध में $4 u$ का व्युत्पन्न $4 \frac{d}{d u} [u]$ है.

$4 \frac{d}{d u} [u] + \frac{d}{d u} [1]$

चरण 2.1.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d u} [1]$

चरण 2.1.3.3

$4$ को $1$ से गुणा करें.

$4 + \frac{d}{d u} [1]$

चरण 2.1.4

स्थिरांक नियम का उपयोग करके अंतर करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.4.1

चूंकि $u$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $u$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$4 + 0$

चरण 2.1.4.2

$4$ और $0$ जोड़ें.

$4$

चरण 2.2

$u$ के लिए $u_{1} = 4 u + 1$ में निचली सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{lower} = 4 \cdot 0 + 1$

चरण 2.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

$4$ को $0$ से गुणा करें.

$u_{lower} = 0 + 1$

चरण 2.3.2

$0$ और $1$ जोड़ें.

$u_{lower} = 1$

चरण 2.4

$u$ के लिए $u_{1} = 4 u + 1$ में ऊपरी सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{upper} = 4 \cdot 2 + 1$

चरण 2.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.1

$4$ को $2$ से गुणा करें.

$u_{upper} = 8 + 1$

चरण 2.5.2

$8$ और $1$ जोड़ें.

$u_{upper} = 9$

चरण 2.6

$u_{lower}$ और $u_{upper}$ के लिए पाए गए मानों का उपयोग निश्चित समाकल का मूल्यांकन करने के लिए किया जाएगा.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 9$

चरण 2.7

$u_{1}$ , $d u_{1}$ और समाकलन की नई सीमाओं का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$3 \int_{1}^{9} \sqrt{u_{1}} \frac{1}{4} d u_{1}$

चरण 3

$\sqrt{u_{1}}$ और $\frac{1}{4}$ को मिलाएं.

$3 \int_{1}^{9} \frac{\sqrt{u_{1}}}{4} d u_{1}$

चरण 4

चूँकि $\frac{1}{4}$ बटे $u_{1}$ अचर है, $\frac{1}{4}$ को समाकलन से हटा दें.

$3 (\frac{1}{4} \int_{1}^{9} \sqrt{u_{1}} d u_{1})$

चरण 5

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

$\frac{1}{4}$ और $3$ को मिलाएं.

$\frac{3}{4} \int_{1}^{9} \sqrt{u_{1}} d u_{1}$

चरण 5.2

$\sqrt{u_{1}}$ को ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$\frac{3}{4} \int_{1}^{9} {u_{1}}^{\frac{1}{2}} d u_{1}$

चरण 6

घात नियम के अनुसार, $u_{1}$ के संबंध में ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ का समाकलन $\frac{2}{3} {u_{1}}^{\frac{3}{2}}$ है.

$\frac{3}{4} \frac{2}{3} {u_{1}}^{\frac{3}{2}}]_{1}^{9}$

चरण 7

प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

$9$ पर और $1$ पर $\frac{2}{3} {u_{1}}^{\frac{3}{2}}$ का मान ज्ञात करें.

$\frac{3}{4} ((\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

चरण 7.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1

$9$ को $3^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{3}{4} (\frac{2}{3} \cdot {(3^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

चरण 7.2.2

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3}{4} (\frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

चरण 7.2.3

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.3.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{3}{4} (\frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

चरण 7.2.3.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{3}{4} (\frac{2}{3} \cdot 3^{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

चरण 7.2.4

$3$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{3}{4} (\frac{2}{3} \cdot 27 - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

चरण 7.2.5

$\frac{2}{3}$ और $27$ को मिलाएं.

$\frac{3}{4} (\frac{2 \cdot 27}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

चरण 7.2.6

$2$ को $27$ से गुणा करें.

$\frac{3}{4} (\frac{54}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

चरण 7.2.7

$54$ और $3$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.7.1

$54$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$\frac{3}{4} (\frac{3 \cdot 18}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

चरण 7.2.7.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.7.2.1

$3$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$\frac{3}{4} (\frac{3 \cdot 18}{3 (1)} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

चरण 7.2.7.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{3}{4} (\frac{3 \cdot 18}{3 \cdot 1} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

चरण 7.2.7.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{3}{4} (\frac{18}{1} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

चरण 7.2.7.2.4

$18$ को $1$ से विभाजित करें.

$\frac{3}{4} (18 - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

चरण 7.2.8

एक का कोई भी घात एक होता है.

$\frac{3}{4} (18 - \frac{2}{3} \cdot 1)$

चरण 7.2.9

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{3}{4} (18 - \frac{2}{3})$

चरण 7.2.10

$18$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{3}{3}$ से गुणा करें.

$\frac{3}{4} (18 \cdot \frac{3}{3} - \frac{2}{3})$

चरण 7.2.11

$18$ और $\frac{3}{3}$ को मिलाएं.

$\frac{3}{4} (\frac{18 \cdot 3}{3} - \frac{2}{3})$

चरण 7.2.12

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{3}{4} \cdot \frac{18 \cdot 3 - 2}{3}$

चरण 7.2.13

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.13.1

$18$ को $3$ से गुणा करें.

$\frac{3}{4} \cdot \frac{54 - 2}{3}$

चरण 7.2.13.2

$54$ में से $2$ घटाएं.

$\frac{3}{4} \cdot \frac{52}{3}$

चरण 7.2.14

$\frac{3}{4}$ को $\frac{52}{3}$ से गुणा करें.

$\frac{3 \cdot 52}{4 \cdot 3}$

चरण 7.2.15

$3$ को $52$ से गुणा करें.

$\frac{156}{4 \cdot 3}$

चरण 7.2.16

$4$ को $3$ से गुणा करें.

$\frac{156}{12}$

चरण 7.2.17

$156$ और $12$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.17.1

$156$ में से $12$ का गुणनखंड करें.

$\frac{12 \cdot 13}{12}$

चरण 7.2.17.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.17.2.1

$12$ में से $12$ का गुणनखंड करें.

$\frac{12 \cdot 13}{12 (1)}$

चरण 7.2.17.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{12 \cdot 13}{12 \cdot 1}$

चरण 7.2.17.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{13}{1}$

चरण 7.2.17.2.4

$13$ को $1$ से विभाजित करें.

$13$

चरण 8