कैलकुलस उदाहरण

$\int_{0}^{\ln (2)} \frac{e^{x} + e^{- x}}{3} d x$

चरण 1

चूँकि $\frac{1}{3}$ बटे $x$ अचर है, $\frac{1}{3}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{3} \int_{0}^{\ln (2)} e^{x} + e^{- x} d x$

चरण 2

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$\frac{1}{3} (\int_{0}^{\ln (2)} e^{x} d x + \int_{0}^{\ln (2)} e^{- x} d x)$

चरण 3

$x$ के संबंध में $e^{x}$ का इंटीग्रल $e^{x}$ है.

$\frac{1}{3} (e^{x}]_{0}^{\ln (2)} + \int_{0}^{\ln (2)} e^{- x} d x)$

चरण 4

मान लीजिए $u = - x$ .फिर $d u = - d x$ , तो $- d u = d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

मान लें $u = - x$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1

$- x$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [- x]$

चरण 4.1.2

चूंकि $- 1$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- x$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d x} [x]$ है.

$- \frac{d}{d x} [x]$

चरण 4.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$- 1 \cdot 1$

चरण 4.1.4

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$- 1$

चरण 4.2

$x$ के लिए $u = - x$ में निचली सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{lower} = - 0$

चरण 4.3

$- 1$ को $0$ से गुणा करें.

$u_{lower} = 0$

चरण 4.4

$x$ के लिए $u = - x$ में ऊपरी सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{upper} = - \ln (2)$

चरण 4.5

$u_{lower}$ और $u_{upper}$ के लिए पाए गए मानों का उपयोग निश्चित समाकल का मूल्यांकन करने के लिए किया जाएगा.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - \ln (2)$

चरण 4.6

$u$ , $d u$ और समाकलन की नई सीमाओं का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\frac{1}{3} (e^{x}]_{0}^{\ln (2)} + \int_{0}^{- \ln (2)} - e^{u} d u)$

चरण 5

चूँकि $- 1$ बटे $u$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{3} (e^{x}]_{0}^{\ln (2)} - \int_{0}^{- \ln (2)} e^{u} d u)$

चरण 6

$u$ के संबंध में $e^{u}$ का इंटीग्रल $e^{u}$ है.

$\frac{1}{3} (e^{x}]_{0}^{\ln (2)} - (e^{u}]_{0}^{- \ln (2)}))$

चरण 7

प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

$\ln (2)$ पर और $0$ पर $e^{x}$ का मान ज्ञात करें.

$\frac{1}{3} ((e^{\ln (2)}) - e^{0} - (e^{u}]_{0}^{- \ln (2)}))$

चरण 7.2

$- \ln (2)$ पर और $0$ पर $e^{u}$ का मान ज्ञात करें.

$\frac{1}{3} ((e^{\ln (2)}) - e^{0} - ((e^{- \ln (2)}) - e^{0}))$

चरण 7.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.3.1

चरघातांक और लघुगणक व्युत्क्रम फलन होते हैं

$\frac{1}{3} (2 - e^{0} - ((e^{- \ln (2)}) - e^{0}))$

चरण 7.3.2

$0$ तक बढ़ाई गई कोई भी चीज़ $1$ होती है.

$\frac{1}{3} (2 - 1 \cdot 1 - ((e^{- \ln (2)}) - e^{0}))$

चरण 7.3.3

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{3} (2 - 1 - ((e^{- \ln (2)}) - e^{0}))$

चरण 7.3.4

$2$ में से $1$ घटाएं.

$\frac{1}{3} (1 - ((e^{- \ln (2)}) - e^{0}))$

चरण 7.3.5

$0$ तक बढ़ाई गई कोई भी चीज़ $1$ होती है.

$\frac{1}{3} (1 - (e^{- \ln (2)} - 1 \cdot 1))$

चरण 7.3.6

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{3} (1 - (e^{- \ln (2)} - 1))$

चरण 8

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1.1.1

$- 1$ को लघुगणक के अंदर ले जाकर $- \ln (2)$ को सरल करें.

$\frac{1}{3} (1 - (e^{\ln (2^{- 1})} - 1))$

चरण 8.1.1.2

चरघातांक और लघुगणक व्युत्क्रम फलन होते हैं

$\frac{1}{3} (1 - (2^{- 1} - 1))$

चरण 8.1.1.3

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{3} (1 - (\frac{1}{2} - 1))$

चरण 8.1.2

$- 1$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{3} (1 - (\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}))$

चरण 8.1.3

$- 1$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{3} (1 - (\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}))$

चरण 8.1.4

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{1}{3} (1 - \frac{1 - 1 \cdot 2}{2})$

चरण 8.1.5

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1.5.1

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{1}{3} (1 - \frac{1 - 2}{2})$

चरण 8.1.5.2

$1$ में से $2$ घटाएं.

$\frac{1}{3} (1 - \frac{- 1}{2})$

चरण 8.1.6

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\frac{1}{3} (1 - - \frac{1}{2})$

चरण 8.1.7

$- - \frac{1}{2}$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1.7.1

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{3} (1 + 1 (\frac{1}{2}))$

चरण 8.1.7.2

$\frac{1}{2}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{3} (1 + \frac{1}{2})$

चरण 8.2

एक सामान्य भाजक के साथ $1$ को भिन्न के रूप में लिखें.

$\frac{1}{3} (\frac{2}{2} + \frac{1}{2})$

चरण 8.3

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2 + 1}{2}$

चरण 8.4

$2$ और $1$ जोड़ें.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{2}$

चरण 8.5

$3$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.5.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{2}$

चरण 8.5.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{2}$

चरण 9

परिणाम कई रूपों में दिखाया जा सकता है.

सटीक रूप:

$\frac{1}{2}$

दशमलव रूप:

$0.5$

चरण 10