कैलकुलस उदाहरण

$\int_{0}^{a} x \sqrt{a^{2} - x^{2}} d x$

चरण 1

मान लीजिए $u = a^{2} - x^{2}$ .फिर $d u = - 2 x d x$ , तो $- \frac{1}{2} d u = x d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

मान लें $u = a^{2} - x^{2}$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

$a^{2} - x^{2}$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [a^{2} - x^{2}]$

चरण 1.1.2

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $a^{2} - x^{2}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [a^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ है.

$\frac{d}{d x} [a^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

चरण 1.1.2.2

चूंकि $x$ के संबंध में $a^{2}$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $a^{2}$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

चरण 1.1.3

$\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.3.1

चूंकि $- 1$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- x^{2}$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ है.

$0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

चरण 1.1.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$0 - (2 x)$

चरण 1.1.3.3

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$0 - 2 x$

चरण 1.1.4

$0$ में से $2 x$ घटाएं.

$- 2 x$

चरण 1.2

$x$ के लिए $u = a^{2} - x^{2}$ में निचली सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{lower} = a^{2} - 0^{2}$

चरण 1.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1.1

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$u_{lower} = a^{2} - 0$

चरण 1.3.1.2

$- 1$ को $0$ से गुणा करें.

$u_{lower} = a^{2} + 0$

चरण 1.3.2

$a^{2}$ और $0$ जोड़ें.

$u_{lower} = a^{2}$

चरण 1.4

$x$ के लिए $u = a^{2} - x^{2}$ में ऊपरी सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{upper} = a^{2} - a^{2}$

चरण 1.5

$a^{2}$ में से $a^{2}$ घटाएं.

$u_{upper} = 0$

चरण 1.6

$u_{lower}$ और $u_{upper}$ के लिए पाए गए मानों का उपयोग निश्चित समाकल का मूल्यांकन करने के लिए किया जाएगा.

$u_{lower} = a^{2}$

$u_{upper} = 0$

चरण 1.7

$u$ , $d u$ और समाकलन की नई सीमाओं का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int_{a^{2}}^{0} \sqrt{u} \frac{1}{- 2} d u$

चरण 2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\int_{a^{2}}^{0} \sqrt{u} (- \frac{1}{2}) d u$

चरण 2.2

$\sqrt{u}$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$\int_{a^{2}}^{0} - \frac{\sqrt{u}}{2} d u$

चरण 3

चूँकि $- 1$ बटे $u$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$- \int_{a^{2}}^{0} \frac{\sqrt{u}}{2} d u$

चरण 4

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$- (\frac{1}{2} \int_{a^{2}}^{0} \sqrt{u} d u)$

चरण 5

$\sqrt{u}$ को $u^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$- \frac{1}{2} \int_{a^{2}}^{0} u^{\frac{1}{2}} d u$

चरण 6

घात नियम के अनुसार, $u$ के संबंध में $u^{\frac{1}{2}}$ का समाकलन $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ है.

$- \frac{1}{2} \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{a^{2}}^{0}$

चरण 7

प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

$0$ पर और $a^{2}$ पर $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ का मान ज्ञात करें.

$- \frac{1}{2} ((\frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} {(a^{2})}^{\frac{3}{2}})$

चरण 7.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1

$0$ को $0^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$- \frac{1}{2} (\frac{2}{3} \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} {(a^{2})}^{\frac{3}{2}})$

चरण 7.2.2

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{2} (\frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} {(a^{2})}^{\frac{3}{2}})$

चरण 7.2.3

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.3.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$- \frac{1}{2} (\frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} {(a^{2})}^{\frac{3}{2}})$

चरण 7.2.3.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$- \frac{1}{2} (\frac{2}{3} \cdot 0^{3} - \frac{2}{3} {(a^{2})}^{\frac{3}{2}})$

चरण 7.2.4

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$- \frac{1}{2} (\frac{2}{3} \cdot 0 - \frac{2}{3} {(a^{2})}^{\frac{3}{2}})$

चरण 7.2.5

$\frac{2}{3}$ को $0$ से गुणा करें.

$- \frac{1}{2} (0 - \frac{2}{3} {(a^{2})}^{\frac{3}{2}})$

चरण 7.2.6

घातांक को ${(a^{2})}^{\frac{3}{2}}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.6.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{2} (0 - \frac{2}{3} a^{2 (\frac{3}{2})})$

चरण 7.2.6.2

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.6.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$- \frac{1}{2} (0 - \frac{2}{3} a^{2 (\frac{3}{2})})$

चरण 7.2.6.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$- \frac{1}{2} (0 - \frac{2}{3} a^{3})$

चरण 7.2.7

$0$ में से $\frac{2}{3} a^{3}$ घटाएं.

$- \frac{1}{2} (- \frac{2}{3} a^{3})$

चरण 7.2.8

$a^{3}$ और $\frac{2}{3}$ को मिलाएं.

$- \frac{1}{2} (- \frac{a^{3} \cdot 2}{3})$

चरण 7.2.9

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$1 (\frac{1}{2}) \frac{a^{3} \cdot 2}{3}$

चरण 7.2.10

$\frac{1}{2}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{a^{3} \cdot 2}{3}$

चरण 7.2.11

$\frac{1}{2}$ को $\frac{a^{3} \cdot 2}{3}$ से गुणा करें.

$\frac{a^{3} \cdot 2}{2 \cdot 3}$

चरण 7.2.12

$2$ को $3$ से गुणा करें.

$\frac{a^{3} \cdot 2}{6}$

चरण 7.2.13

$2$ को $a^{3}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{2 \cdot a^{3}}{6}$

चरण 7.2.14

$2$ और $6$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.14.1

$2 a^{3}$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 (a^{3})}{6}$

चरण 7.2.14.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.14.2.1

$6$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 a^{3}}{2 \cdot 3}$

चरण 7.2.14.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 a^{3}}{2 \cdot 3}$

चरण 7.2.14.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{a^{3}}{3}$

चरण 8

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{1}{3} a^{3}$

चरण 9

$\frac{1}{3}$ और $a^{3}$ को मिलाएं.

$\frac{a^{3}}{3}$