कैलकुलस उदाहरण

$\int_{0}^{1} 5 x e^{2 x} d x$

चरण 1

चूँकि $5$ बटे $x$ अचर है, $5$ को समाकलन से हटा दें.

$5 \int_{0}^{1} x e^{2 x} d x$

चरण 2

$\int u d v = u v - \int v d u$ , जहां $u = x$ और $d v = e^{2 x}$ सूत्र का उपयोग करके भागों द्वारा एकीकृत करें.

$5 (x (\frac{1}{2} e^{2 x})]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{1}{2} e^{2 x} d x)$

चरण 3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$\frac{1}{2}$ और $e^{2 x}$ को मिलाएं.

$5 (x \frac{e^{2 x}}{2}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{1}{2} e^{2 x} d x)$

चरण 3.2

$x$ और $\frac{e^{2 x}}{2}$ को मिलाएं.

$5 (\frac{x e^{2 x}}{2}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{1}{2} e^{2 x} d x)$

चरण 3.3

$\frac{1}{2}$ और $e^{2 x}$ को मिलाएं.

$5 (\frac{x e^{2 x}}{2}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{e^{2 x}}{2} d x)$

चरण 4

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $x$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$5 (\frac{x e^{2 x}}{2}]_{0}^{1} - (\frac{1}{2} \int_{0}^{1} e^{2 x} d x))$

चरण 5

मान लीजिए $u = 2 x$ .फिर $d u = 2 d x$ , तो $\frac{1}{2} d u = d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

मान लें $u = 2 x$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.1

$2 x$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [2 x]$

चरण 5.1.2

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$2 \frac{d}{d x} [x]$

चरण 5.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$2 \cdot 1$

चरण 5.1.4

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$2$

चरण 5.2

$x$ के लिए $u = 2 x$ में निचली सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

चरण 5.3

$2$ को $0$ से गुणा करें.

$u_{lower} = 0$

चरण 5.4

$x$ के लिए $u = 2 x$ में ऊपरी सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{upper} = 2 \cdot 1$

चरण 5.5

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$u_{upper} = 2$

चरण 5.6

$u_{lower}$ और $u_{upper}$ के लिए पाए गए मानों का उपयोग निश्चित समाकल का मूल्यांकन करने के लिए किया जाएगा.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 2$

चरण 5.7

$u$ , $d u$ और समाकलन की नई सीमाओं का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$5 (\frac{x e^{2 x}}{2}]_{0}^{1} - \frac{1}{2} \int_{0}^{2} e^{u} \frac{1}{2} d u)$

चरण 6

$e^{u}$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$5 (\frac{x e^{2 x}}{2}]_{0}^{1} - \frac{1}{2} \int_{0}^{2} \frac{e^{u}}{2} d u)$

चरण 7

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$5 (\frac{x e^{2 x}}{2}]_{0}^{1} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int_{0}^{2} e^{u} d u))$

चरण 8

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

$\frac{1}{2}$ को $\frac{1}{2}$ से गुणा करें.

$5 (\frac{x e^{2 x}}{2}]_{0}^{1} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int_{0}^{2} e^{u} d u)$

चरण 8.2

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$5 (\frac{x e^{2 x}}{2}]_{0}^{1} - \frac{1}{4} \int_{0}^{2} e^{u} d u)$

चरण 9

$u$ के संबंध में $e^{u}$ का इंटीग्रल $e^{u}$ है.

$5 (\frac{x e^{2 x}}{2}]_{0}^{1} - \frac{1}{4} e^{u}]_{0}^{2})$

चरण 10

$e^{u}]_{0}^{2}$ और $\frac{1}{4}$ को मिलाएं.

$5 (\frac{x e^{2 x}}{2}]_{0}^{1} - \frac{e^{u}]_{0}^{2}}{4})$

चरण 11

प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1

$1$ पर और $0$ पर $\frac{x e^{2 x}}{2}$ का मान ज्ञात करें.

$5 ((\frac{1 e^{2 \cdot 1}}{2}) - \frac{0 e^{2 \cdot 0}}{2} - \frac{e^{u}]_{0}^{2}}{4})$

चरण 11.2

$2$ पर और $0$ पर $e^{u}$ का मान ज्ञात करें.

$5 ((\frac{1 e^{2 \cdot 1}}{2}) - \frac{0 e^{2 \cdot 0}}{2} - \frac{(e^{2}) - e^{0}}{4})$

चरण 11.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.3.1

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$5 (\frac{1 e^{2}}{2} - \frac{0 e^{2 \cdot 0}}{2} - \frac{(e^{2}) - e^{0}}{4})$

चरण 11.3.2

$e^{2}$ को $1$ से गुणा करें.

$5 (\frac{e^{2}}{2} - \frac{0 e^{2 \cdot 0}}{2} - \frac{(e^{2}) - e^{0}}{4})$

चरण 11.3.3

$2$ को $0$ से गुणा करें.

$5 (\frac{e^{2}}{2} - \frac{0 e^{0}}{2} - \frac{(e^{2}) - e^{0}}{4})$

चरण 11.3.4

$0$ तक बढ़ाई गई कोई भी चीज़ $1$ होती है.

$5 (\frac{e^{2}}{2} - \frac{0 \cdot 1}{2} - \frac{(e^{2}) - e^{0}}{4})$

चरण 11.3.5

$0$ को $1$ से गुणा करें.

$5 (\frac{e^{2}}{2} - \frac{0}{2} - \frac{(e^{2}) - e^{0}}{4})$

चरण 11.3.6

$0$ और $2$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.3.6.1

$0$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$5 (\frac{e^{2}}{2} - \frac{2 (0)}{2} - \frac{(e^{2}) - e^{0}}{4})$

चरण 11.3.6.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.3.6.2.1

$2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$5 (\frac{e^{2}}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{(e^{2}) - e^{0}}{4})$

चरण 11.3.6.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$5 (\frac{e^{2}}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{(e^{2}) - e^{0}}{4})$

चरण 11.3.6.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$5 (\frac{e^{2}}{2} - \frac{0}{1} - \frac{(e^{2}) - e^{0}}{4})$

चरण 11.3.6.2.4

$0$ को $1$ से विभाजित करें.

$5 (\frac{e^{2}}{2} - 0 - \frac{(e^{2}) - e^{0}}{4})$

चरण 11.3.7

$- 1$ को $0$ से गुणा करें.

$5 (\frac{e^{2}}{2} + 0 - \frac{(e^{2}) - e^{0}}{4})$

चरण 11.3.8

$\frac{e^{2}}{2}$ और $0$ जोड़ें.

$5 (\frac{e^{2}}{2} - \frac{(e^{2}) - e^{0}}{4})$

चरण 11.3.9

$0$ तक बढ़ाई गई कोई भी चीज़ $1$ होती है.

$5 (\frac{e^{2}}{2} - \frac{e^{2} - 1 \cdot 1}{4})$

चरण 11.3.10

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$5 (\frac{e^{2}}{2} - \frac{e^{2} - 1}{4})$

चरण 11.3.11

$\frac{e^{2}}{2}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$5 (\frac{e^{2}}{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{e^{2} - 1}{4})$

चरण 11.3.12

प्रत्येक व्यंजक को $4$ के सामान्य भाजक के साथ लिखें, प्रत्येक को $1$ के उपयुक्त गुणनखंड से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.3.12.1

$\frac{e^{2}}{2}$ को $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$5 (\frac{e^{2} \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{e^{2} - 1}{4})$

चरण 11.3.12.2

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$5 (\frac{e^{2} \cdot 2}{4} - \frac{e^{2} - 1}{4})$

चरण 11.3.13

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$5 \frac{e^{2} \cdot 2 - (e^{2} - 1)}{4}$

चरण 11.3.14

$2$ को $e^{2}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$5 \frac{2 \cdot e^{2} - (e^{2} - 1)}{4}$

चरण 11.3.15

$5$ और $\frac{2 e^{2} - (e^{2} - 1)}{4}$ को मिलाएं.

$\frac{5 (2 e^{2} - (e^{2} - 1))}{4}$

चरण 12

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{5 (2 e^{2} - e^{2} - - 1)}{4}$

चरण 12.2

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{5 (2 e^{2} - e^{2} + 1)}{4}$

चरण 12.3

$2 e^{2}$ में से $e^{2}$ घटाएं.

$\frac{5 (e^{2} + 1)}{4}$

चरण 13

परिणाम कई रूपों में दिखाया जा सकता है.

सटीक रूप:

$\frac{5 (e^{2} + 1)}{4}$

दशमलव रूप:

$10.48632012 \dots$

चरण 14