कैलकुलस उदाहरण

$\int_{0}^{1} x e^{- 9 x^{2}} d x$

चरण 1

मान लीजिए $u_{2} = e^{- 9 x^{2}}$ .फिर $d u_{2} = - 18 x e^{- 9 x^{2}} d x$ , तो $- \frac{1}{18} d u_{2} = x e^{- 9 x^{2}} d x$ . $u_{2}$ और $d$ $u_{2}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

मान लें $u_{2} = e^{- 9 x^{2}}$ . $\frac{d u_{2}}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

$e^{- 9 x^{2}}$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [e^{- 9 x^{2}}]$

चरण 1.1.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = e^{x}$ और $g (x) = - 9 x^{2}$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{1}$ को $- 9 x^{2}$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

चरण 1.1.2.2

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ $a^{u_{1}} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

चरण 1.1.2.3

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $- 9 x^{2}$ से बदलें.

$e^{- 9 x^{2}} \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

चरण 1.1.3

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.3.1

चूंकि $- 9$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 9 x^{2}$ का व्युत्पन्न $- 9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ है.

$e^{- 9 x^{2}} (- 9 \frac{d}{d x} [x^{2}])$

चरण 1.1.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$e^{- 9 x^{2}} (- 9 (2 x))$

चरण 1.1.3.3

$2$ को $- 9$ से गुणा करें.

$e^{- 9 x^{2}} (- 18 x)$

चरण 1.1.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.4.1

$e^{- 9 x^{2}} (- 18 x)$ के गुणनखंडों को फिर से क्रमित करें.

$- 18 e^{- 9 x^{2}} x$

चरण 1.1.4.2

गुणनखंडों को $- 18 e^{- 9 x^{2}} x$ में पुन: क्रमित करें.

$- 18 x e^{- 9 x^{2}}$

चरण 1.2

$x$ के लिए $u_{2} = e^{- 9 x^{2}}$ में निचली सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{lower} = e^{- 9 \cdot 0^{2}}$

चरण 1.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$u_{lower} = e^{- 9 \cdot 0}$

चरण 1.3.2

$- 9$ को $0$ से गुणा करें.

$u_{lower} = e^{0}$

चरण 1.3.3

$0$ तक बढ़ाई गई कोई भी चीज़ $1$ होती है.

$u_{lower} = 1$

चरण 1.4

$x$ के लिए $u_{2} = e^{- 9 x^{2}}$ में ऊपरी सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{upper} = e^{- 9 \cdot 1^{2}}$

चरण 1.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.1

एक का कोई भी घात एक होता है.

$u_{upper} = e^{- 9 \cdot 1}$

चरण 1.5.2

$- 9$ को $1$ से गुणा करें.

$u_{upper} = e^{- 9}$

चरण 1.5.3

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$u_{upper} = \frac{1}{e^{9}}$

चरण 1.6

$u_{lower}$ और $u_{upper}$ के लिए पाए गए मानों का उपयोग निश्चित समाकल का मूल्यांकन करने के लिए किया जाएगा.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = \frac{1}{e^{9}}$

चरण 1.7

$u_{2}$ , $d u_{2}$ और समाकलन की नई सीमाओं का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int_{1}^{\frac{1}{e^{9}}} \frac{1}{- 18} d u_{2}$

चरण 2

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\int_{1}^{\frac{1}{e^{9}}} - \frac{1}{18} d u_{2}$

चरण 3

स्थिरांक नियम लागू करें.

$- \frac{1}{18} u_{2}]_{1}^{\frac{1}{e^{9}}}$

चरण 4

प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$\frac{1}{e^{9}}$ पर और $1$ पर $- \frac{1}{18} u_{2}$ का मान ज्ञात करें.

$(- \frac{1}{18} \cdot \frac{1}{e^{9}}) + \frac{1}{18} \cdot 1$

चरण 4.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1

$\frac{1}{e^{9}}$ को $\frac{1}{18}$ से गुणा करें.

$- \frac{1}{e^{9} \cdot 18} + \frac{1}{18} \cdot 1$

चरण 4.2.2

$18$ को $e^{9}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$- \frac{1}{18 \cdot e^{9}} + \frac{1}{18} \cdot 1$

चरण 4.2.3

$\frac{1}{18}$ को $1$ से गुणा करें.

$- \frac{1}{18 e^{9}} + \frac{1}{18}$

चरण 5

परिणाम कई रूपों में दिखाया जा सकता है.

सटीक रूप:

$- \frac{1}{18 e^{9}} + \frac{1}{18}$

दशमलव रूप:

$0.05554869 \dots$

चरण 6